THÉORÈMES SUR LES DIVISEURS OU FACTEURS PREMIERS

87. Théorème. Tout nombre qui divise un ptoduit de deux facteurs f et est premier avec l'un de ces facteurs , divise Vautre,

Ex. : 840 = 42 X 20 ; le nombre 21 qui divise 840^ et est premier avec 20^ doit diviser 42.

En effet 9 20 et 21 étant premiers entre eux^ leur p. g. c. d. est 1 . Si on considère les produits de ces deux nombres par 42, c'est-àdire, 20 X 42 et 21 X 42, on trouvera que le plus grand commun diviseur de ces produits est 1 x 42 ou 42 (79). Or, 21 divise par hypothèse 20 x 42 ou 840 ; il divise 21 x 42 son propre multiple.^ 21 divisant 20 x 42 et 21 x 42 , divise le p. c. g. d. 42 , de çe^, produits (76). C'est ce qu'il fallait prouver.

88w Théorème. Tout nombre premier qui divise un produit fjhit diviser au moins un des facteurs de ce prpduU.;.

THÉORËMBtf SUR LES fàXmXStS PRIMIERS. 6t

Je yals d'abord démontrer ce principe pour un produit de deux facteurs, A xB. Soit P un nombre premier absolu qui divise ce produit : -ou bien P divise ▲ , et la proportion est démontrée ; ou bien P est premier avec A , et alors puisqu'il divise le produit A X B, il doit diviser l'autre facteur B (87) ; P divise donc nécessairement un des deux facteurs.

Considérons maintenant un produit de plus de deux facteurs , de quatre facteurs par exemple ; un nombre premier absolu , P , qui divise le produit A x B X G x E doit diviser Tun des facteurs. En effet; A B. C. £ peut être regardé comme un produit de deux facteurs, par exemple, comme égal au produit effectué (A x B x G) multiplié par £ ; P divisant ce produit doit diviser Tun des facteurs, £ , ou (A X B X G). SU divise E , notre proposition est démon^ trée ; s'il ne divise pas £ , il devra diviser A x B x G , que nous pouvons regarder comme un produit de deux facteurs (A x B) et C. Nous dirons encore : ou P divise C , et le théorème est démontré 'y ou bien il divise l'autre facteur A x B , et alors il tievra diviser Fun des facteurs, A ou B , de ce produit De toutes ma-^ nières P doit diviser un des facteurs du produit A X B x C X £«

89. Corollaire. J'oui nombre premier absolu qui diviêe une puissance d'un nombre doit diviser ce nombre» Ex. : un nombre premier 3 qui divise 12^ doit diviser 12,

En effet, 12^ ^ 12 x 12 x 12 x 12. Le nombre premier 3 divisant ce produit, doit diviser Tun des facteurs 12.

90. Corollaire. Lorsque deux nombres sont premier s entre eux ^ deux puissances quelconques de ces nombres sontpremiêres entre elles,

Ex. : 8 et 15 sont premiers entre eux; 8* et 15* sont des nombres premiers entre eux.

Supposons, en effet, que 8' et 15* aient un commun diviseur 0;'soit/'un facteur premier de D; (si D était un nombre premier absolu, f serait lui-même] ; /*, divisant D, diviserait 8* et 15*y ttiiilti|[)les de D ; /; nombre premier, divisant 8' , diviserait 8 ; f divisant 15' diviserait 15. Donc 8 et 15 auraient un commun diviséuf /*, ce qui serait contre Thypothèse. Il est donc impossible que 8^ et 15^ aient un commun diviseur; ces nombres sont pre-» miers entre eux.

^'#1 V ^HfiORtftÈ. Zonçu'un nombre est dif)isible par plusieurs autres premiers , 2 d 2 \' '^7 ^éhtdibmbiè par kùr prcfduiir

41 ÇOi/M i^'4|ii'EmfÉT«^|i.

D>J^r4, $&#0 pM 1» prpfJvit 4« .3 par »n DQmbrfs epUer 91 54/^ f= 9 K 4 i 4 qpi (fivise 54^0 , ^tii^ l^ pro<lait ég4l ^ x â^;

mais U est premier avec 3 , donp U df^it 4ivfeeir g ,- nous APTO^ qrmfi X ^^ j[^éMPtiu^nwibrf$iwUejr} ; gs^vmfitj^^h&Q^ixk^q'' I4 pQm}Nrff ^5 QUI jdivl^i^ ô4^0 ou 6 x 4, et est premier i^v^iç 3 ^ 4<)i( diyiser 9; fliai^g:;? (^ X 9' 9 35 divisant &X 9' 5 et étaot preff^f ^ffiÇ A, 4oH, ^îfti^T «' $ AQUcq' «^ 3S X 9", et ô&fiQ ;^ 9 ;< A >^ 3# X 9''> PI» ^460 "=? A36 K 9' '• PoDC 5&e0 etit divisible par 42Q.

99< Aii¥À9QUiES. Si up nombre A est divisibla par if nombre» pr^mters i ki,il est divîMble par les produits de ces n nombre ^ IBOlMplîés 2 à 2 ^ 3 ^ 3 » ft k 4 , etc , o— 1 à 1»— 1.

GQBÛUAIBI&. Z.^ p/i44 }>«^t^ nomln-e divitikk par plusmrti nmrr bf^ffit premws 2 à 2^ e^t le produit pnême d$ eef nombres,

QJf. Ea combinant , d'après le principe précédent , les ciMriie^ tares de divi^ibilil^é relatifs à 3 , 4» 8, 3^ 6 1 8» on arrivera h 4» conséquences Reliée que les suivantes :

Lorsqu'un nombre est diWsible par S et par 3 , il est divbible pir S X 3 PU fi f si un nombre est divisible à la fois par 2 et par 8^ il est divisible par 2 x 9 , ou ij}. Tout nombre recoppv 4MriftiM^ PiT $ et per $ est divisible par 19 ; tout nombre diyisUgeiar $ et par 9 est divisible par 9 X §, ou 45 ^ etc..

(Ces principes peuvent ainsi s'énoncer.

I^orsque la somme des valeurs absolues des cbUTres d'un noipbr^^ W^ e$t diyi4ible par 3 ou par 9 » le nombre luinnême est divisible par 6 ou par 18. Lorsque la somme des valeurs absplnp$ de^ cMA'es d'on nombre terminé par ou $ est divisible par 3 o^ par 9, }e nombre est divisible par 15 ou &5.

OÊCOIIPOSmOK d'un NOMBBE en SBà PACTEU&S PBEj^IEBS.

K0tt9 pouvons maintenant nous occuper de la décomposiUon d'nq nombre en ses facteurs premiers.

94. Théorème. Un nombre donné N n*es$ décomposabU qu'em Md 9eul 9y8ién^e de facteun premiers.

En efiet^ admettons qiie deux produit» de faeteurs premiers re-

DÉCOMPOSITION WM f ACTE018 SilBMlEtU». f|

présenteBt Ums dent la valcpr du menus nombre N ; cm dtut produits sont égaux ; cela étante nous allons montrer d'abord que tout facteur premier de Tun de ces produits est un facteur de l'autre; supposons 5 en effet y que 5 soit un f^cteijr du pjrefpjer produit ; 5 , diyisant le premierproduit, diyis9 le second PF^d^^^ ^?^^ ^^ premier ; divisant ce second produit , il doit diviser au molnff Tun 4e 9^s facteurs; mais chacun des facteurs du second produit est un nombre premier absolu qui n'est djvisi^l^ qu^ par liii-méme ; celui de ces facteurs qui est divisible par S n'est dQn.c dutre que 5.

Nous allons faire voir en second lieu que tout facteur premier qui se trouve répété plusieurs fois dans l'un des deux produits ég^tàx à N i se trouve répété le même nombre de fèls dans le second produit.

En effet, admettons que le premier produit admette deux facteurs 6^ et le second trois. Si nous supprimons deux facteurs 5 dans ebaque produit ^ les deux nouveaux produits de facteurs premiers devront être égaux entre eux. Mais cela ne serait pas dans notre hypothèse ; car le second de ces nouveaux produits contiendrait un facteur 5 qui ne se trouve pas dans le 'premier. On ne peut donc supposer que le facteur 5 se trouve répété plus de fois dans i'un des produits égaux il N que dans Tautre. On conclut de laque ehaque facteur premier qui se trouve dans l'un de ces produits , une, deux , trois.. . fois, se trouve aussi dansTautre lemômenomr bre de Ms ; ces deux produits sont donc identiques.

Ainsi donc un nombre n'est décomposable qu'en un seul système de facteurs premiers.

Remarque. Si un acteur premier se trouve répété plusieurs foi| dans la décomposition d'un nombre N , on ne récrit qu'une ibis en l'affectant d'un exposant marquant le nombre de fois qu'il doU être employé comme facteur dans le nombre.

fx. ; 720=2*x3«x5.

95. Il résulte de la proposition précédente que , pour décontr poser un nombre en ses facteurs premiers, on peut suivre la marche qui parait la plus commode , sûr que Ton est d'arriver, de toutes les manières, au même résultat Nous allons exposer la méthode ordinairement suivie.

Soit proposé de décomposer 76^40 en ses fadeuis preh^ert-

64 OOUBS D'AaiTHMÊTIQUS.

Voici le tableau du calcul^ nous rexpliquerons ensuite :

On voit d'abord , par Finspection du dernier chiffre à droite > si le nombre proposé est pair ou impair; le nôtre est pair. On le divise alors par 2^ en posant la division comme à Tordinaire; mais on écrit le quotient sous le dividende, comme il est indiqué; ce quotient est ici 38220. On remarque alors que 76ft/i0 = 2 X 38220 : par suite les facteurs premiers de 76/i/iO sont 2 , et les facteurs premiers de 38220. Nous avons donc à chercher les facteurs premiers de 38220 ; ce nombre est divisible par 2 ; en faisant la division comme il est indiqué , on trouve le quotient 19110. Par suite 38220, = 2 x 19110, et 764&0 = 2 X 2 X 19110. Nous avons donc encore à trouver les facteurs premiers de 19110. Ce nombre est divisible par 2, et le quotient est 9555. Ce dernier nombre n'étant plus, divisible par 2, on cherche s'il Test par 3 d'après le caractère connu ; c'est ce qui arrive ; on trouve ainsi que 9555 = 3 x 3185. Le nombre 3185 n'est plus divisible par 3 , mais il l'est par 5 ; on le divise par 5 , en écrivant toujours le diviseur 5 à la droite du nombre 3185^ et le quotient 637 au-dessous^ comme il est indiqué. Il nous reste à chercher les facteurs de 637, qui n'est plus divisible par 5. On essaye la division par 7 ; cette division réussit et donne le quotient 91. 91 est encore divisible par 7; le qaotient est 13, que l'on reconnaît facilement être un nombre premier.

Ayant écrit les égalités ci-dessus , conséquences des divisions effectuées, on arrivera facilement à Tégalité dernière, en multipliant toutes les précédentes, membres à membres, et supprimant d'avance les facteurs qui seront évidemment communs aux deux produits obtenus.

DÉGOMPOSlXIOlff BR FAGTECBS.nEMIEBS. 65

Cette égaillé, pnnnre qae-76&40 est le produit des-fiK^ars |nremiers écrits en colonne verticale , lesquels employés comme divl-* seurs ont donné successivement les quotients exacts écrits à gauclie. Ce qui précède apprend suffisamment ce qu'il y a à faire pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers. Cependant nous allons le résumer dans la règle suivante :

96. RÈGLE. Pour décomposer un nombre en facteurs pre^ miersj on essaye successivement la division de ce nombre par

chacun des nombres premiers 2, 3, 5 , essayés par ordre de

grandeurs croissantes , jusqu'à ce qu'une division essayée donne ^e reste zéro.

Si aucune division fC ayant donné le reste zéro, on arrive à en faire une dans laquelle le quotient est moindre que le diviseur, on en conclut que le nombre donné N est premier. Si, au contraire , la division de 'S par un nombre premier f donne le reste zéro, on înscrit f comme facteur premier de N ; puis on divise le quotient obtenu par f ; si cette division donne le reste zéro y on divise le quo^ Hent par t, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient N' qui ne soit plus divisible par f. On verra alors que N est égal à N' multiplié par une puissance de i, dont l'exposant est le nombre de fois que la division par f a donné le reste zéro. On applique ensuite à N' exactement la même méthode qu'à N ; seulement on n'essaye comme diviseurs que les nombres premiers supérieurs à f . Si un de ces nombres premiers f divise exactement K, on divise le quotient par f, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient N" qui ne soit pas divisible par f ; on applique la même méthode d'If' en prenant les nombres premiers plus grands que f, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un qt^tient reconnu premier.

Nous avons dit qu'un nombre N est premier quand aucune divi- Mon précédente n'ayant réussi, on arrive à en faire une dans laquelle le quotient est moindre que le diviseur.

£u effet , une fois qu'on est arrivé à une division dans laquelle le quotient est plus faible que le diviseur^ il est évident que, si l'on continuait les essais , dans chaque division suivante , le quotient serait , à fortiori , plus petit que le diviseur. Aucune de ces divisions ne saurait réussir; en effet, supposons que Tune d'elles donne, sans reste, N = ax?, ç étant moindre que a, chaque facteur premier de q devrait diviser N; serait donc divisible au

66 CDU^S O'ABITPMÊIIQUË.

' iQQjps ^^f! :{}K| ;u^n})f:e pif oûq): rapû^r q giie g .* pe gui p^t iœpossijt)|e; pic pu iB^f 3f:4KP ^^ di¥|?eur a, aprè? f^yaif pss^y^ WuUlpment la divi^ioa (je N p^f 10113 le$ ]ipin|)r^s pr^o^j^f^ KooiufJir^ç

gue'a. Aupupç'fliyision ne pftflyant r^i^sift fP flfifl^ft^P ^ ps^ prefpier absf^Ju.

Remarque. Le calcul restanf à faire ^ à quefque fioiv^ g^uç, l'on soit rendu ? revient toujours à trouver tous les facteurs premiers du dernier quotient eçeact obtçn^. (yo}f le? ég^lit^§ de V§^ej|jple.)

Chaque q^otiejjtt n'admet aucu^ diviseur preneur tjaoindrç q'^e le ^ivisçur qui Va fourni, pour le prpuvçr, ob^erypns qi|e cç qup7 tieDt a pour multiples tous les nombres écrits au-dessus dp lu| ^ y ppigprj§ le opmbre propos^ Iw-p^ipe. pela fiO^, ^}ifm 4es npml^re? Pfepalers inférip^rs ^u 4iv|seiir qui ^ fpunU le gifotiqp^ considéré. P'apfès nplre r,ègle, /"fjiji a été pécps^alfem^ot essayé upe fois^ pu pi|isj[eurs f9|s , compie djvj^eur^ a # ^r^ ^b^ficf^^^^ ppq^Qfp ne d|yi$ant pas aia moins pn f|es apn^j^res écrits ^q-dessus de npfrç quotient; doue fne (Jiyjse pa? ce qupU^^; car ?'il Ip diwisa^U W diyiser4t tqus çpç ppp)|)re? prépédeot^ , ce gui n'est pas.

Co^S]^QP£Nf;::E. 4^1 un .q'\iiQtient n*esf pq^ dlivisib^f psf/r le divi(Se\(,r pC^iaiLiçr qui l\a fouf.^i , ii fsf inutUe , goj^r f^ntitt^er^ d'e^sayifr ^a division pftr fes n^btfis jt^r^iVrs il^f^^fWS 4 ^€ der^er diviseur.

97: ^^ méthode précéd^te |^|; Ja plu? régulière 9 la plfîs sfirp f^pqr ifi décpipppsitipif d'un nqmbre en sgs facteurs prçpfiers. i^^ pn p'est pas toi^ofirs obligé de I4 cuivre. On opère squvppt p^ps simplement et pliis rapidement en décomposant le ppmbre en facjçur? ^Q^ pf emiers 4ont pn cqpnaît d'avance la ppnjpqsffion particulière , pu bjen auicquels il çst plus facile .^'^ppliguer la r è|;le générale;.

px. ; 5/fpO. pï} yqit de §j|ite q^e 5.MÙ == $A >^ ipo == 9 X 6 ^ 2* X 5» == 3'X 2 X 3 :>< r X 5» = 3» ><: 2' X 5».

1320 =132 X l.Q = ,6 :>< 3? X2 :^ 5==2 x> ><: il ><C 2 X? ><: Sf =;2'x3:^5xll.

Qn fejra ainsi quand jp ïf pp||?re $era terï»fp0 par 4ps zéros , qij que les caractères 4.e diyj3ibilité fcropt ^ecpnpoîjre l'exisfepce ^g facteurs composés tels gup 4, 8, 6, 9, g|;p...