Nou^ allons maintenant |réspi|^re pn aujrç problème im
CalcUfler tous l^ diviseur^ d'un noi[nhre donné.
CALCUL nj^ pivi3Pir93 D'un nombre. 67
On 4écpiiiso9« <di'a^r4 19 immbre eo W8 facttim pcevters ; «§8 faptenrs wnt i^ piv^mn 9mple$ du Dombre proposé. Tauê
les appelle-t-on quelquefois les diviseurs composée La r^le» poiic UQttvçr pes dlYi^epFç > ^X fo #4fiitl9i» pc^<d^^tef %f^ fioodeiit 9ur f^Up prpposiUQT).
ffmt iti il ^Hit, if ï«w fl^Q^§ /«ctowr pr^j^r 4t4 fiiviimr sait ut^
facteur premier du diviseur ne mrpifs^ pftf V^xpq^nt 4u Vdêvf^^
Siolf. ^ pQ i^fl^^t , N yiB qpffibirp dopné , w d^ l^$ divisj^urs , et q \^ qoofîpiit 4P f^ P^r p ; spppp^pni; P décQippo^é pp p^s f^cteprs pipepii^r^, pt ç^it D^2.Î^§?X7*. rjipiûs ayo»?J^f:5=|} X g, et par ^^e ]S :s? 2^ X 5? X 7^ )5C «• lî'api'ès pèu^ ég^é , op aurait N décqipppsé pn ^ f^ctppif premiers; , eo di^pppipp^^t q , pi mettapt Ips Uc^em W^f^^ 4q 9 ^ <^fé A» 2? X $• X 7\ U résulte de U, i^ fluiç ?', ^f 7* $ppt dps Jact^prç dp ff ; ^"^ qup l'fexpp$ant de 2 ^pp§ 1!^ pst au moiqs ^ , cplp| de $ ap pipip^ 2, et c^lui de 7 ap molQS k- Les cppd!^p3 ^nd^quéjç^ ^pp^ dpnc p^f^f^a^res. £//«5 sQnt wfflsaniçs : p^ effpt , fijRpp^Qps ]S 5:=: ?* X 5» X 7^ X iQ, et wlt UP pombre 4. == 2 J X 5' X 7t, rep»pji?s^pt à l'égard dç N le^teu copdlUops. N ef^ ^yffjpfpœep^ dU^i^P fiaf 2», p^ ^N p^ir 7*j « dlvisi})le par cjiafpp jJq pç? tfqls ffptnbres priçpppig pnjrç pui: ,. deùie ^ deux, est diyfs|J)le par lepr prp.dpl- A (91).
99. Nous allop§ cffprchçr Jfiç 4|y)^^l'^^ ^'^^^ pppbre dppp^ N , ^p ayant éj;af d à ppg ppfl(iU|pn?? et p^ ^PfipySP^ m (^^ ^^ifiî^^ ,4émpptré ; Tppt pppbrp ^l^i^k par B}p§i?»fs ^ul^eç pr^ipier^ 1 deux à dep^, e^t (jfvjçjljiç paf }^ur PFpdpi^
Spppp^qpç fp ppmbrp ^oppé j>f d^cqpipos^ pp ;^i^^ factçupf premiers, et soit N=:2'^ X 3* x 5* x 7.
Éyldepppent le? poip{}f pi| 4p tajjlç^u ^pfyapt $pnt ig;^ diyiçeprs
68 COURS d'arithmétique.
Ce tableau renferme tous les facteurs premiers de N et totUes les puissances de ces facteurs premiers^ quipeurent ou isolément diviser N , ou entrer par multiplication dans la composition d'un diviseur de N (98).
Par conséquent , on aura des diviseurs de N ^ et on aura taui ces diviseurs , en formant tous les produits différents des nombres de ce tableau multipliés deux à deux^ trois à trois, quatre à quatre , avec cette condition que Ton ne prendra jamais pour un même produit plus d'un facteur dans la même ligne horizontale. On est donc conduit à cette règle.
Pour former tous les diviseurs d'un nombre j décomposez "le en ses facteurs premiers (96}. Placez dans une première ligne horizontale runité et les puissances successives du plus petit facteur premier f depuis la première puissance jusqu'à celle qui entre comme facteur dans le nombre proposé , en suivant V ordre de grandeur des exposants; ces puissances doivent être calculées, non pas seulement indiquées. Écrivez de même Vunité et les puissances succès^ sives du facteur premier immédiatement supérieur au précédent j depuis la première puissance jusqu'à celle qui entre comme facteur dans le nombre donné y et ainsi de suite pour chacun des facteurs premiers du nombre donné. Ce tableau étant formé , multipliez tous les nombres de la première ligne successivement par chacun de ceux de la deuxième. Multipliez ensuite tous les produits obtenus par les nombres de la troisième ligne. Multipliez encore tous ces nouveaux produits par les nombres de la quatrième ligne , et ainsi de suite , jusqu'à ce que vous ayez employé toutes les lignes... Les derniers produits obtenus en multipliant par les nombres compris dans la dernière ligne du tableau^ composent la liste des diviseurs du nombre donné , y compris Vunité et le nombre lui-même.
100. Ce calcul fait, on fera bien de compter les diviseurs, pour voir si on n'en a omis aucun.
Pour trouver le nombre de ces diviseurs , ajoutez une unité à Veocposant de chaque facteur premier dans le nombre proposé ; multipliez ces exposants ainsi augmentés; le produit obtenu exprime le nombre des diviseurs du nombre donné.
Pour prouver la vérité de cette dernière proposition , il suffit d'observer que le calcul des diviseurs revient à la formation du produit suivant :
CALCUL 0SS DHlSEimS D'DN NOMBRE. 69
en supposant N=:2* x 3* x 5* X 7.
Les termes de ce produit seront les diyisenrs de N. n est facile de Toir qu'A y en a (8 + 1) (2 + 1) (4 + 1) (1 + 1),
101. Dans la pratique, on abrège le calcul par la remarque suiTante :
Quand on fait la multiplication d'une série de nombres déjà calculés et écrits, par une suite de nombres telle que celle-ci : 1 +5 + 5'+ 5'+... , on conserve d'abord simplement les nombres écrits , comme étant les produits de ces nombres eux-mêmes par 1 . On les multiplie par 5 ; et on écrit les produits à la suite ou au-dessous. Pour avoir les produits contenant 5', il suffit de multiplier, par 5 , ceux que l'on vient d'obtenir, en employant une première fois ce facteur 5 ; on aura les produits contenant 5* en multipliant par 5 les derniers obtenus, qui renferment 5*, et ainsi de suite.
102. On donne ordinairement au calcul la disposition suivante, que nous expliquons en détail.
Trouver tous les diviseurs de 76440.
Il faut d'abord décomposer ce nombre en ses facteurs premiers ; on continue par le calcul des diviseurs.
Tous les facteurs premiers trouvés , on a formé les puissances successives de 2, en multipliant 1 par le premier facteur 2, puis 2 par le deuxième facteur 2 , la deuxième puissance de 2 par le
76 COURS ififtiTfiMfïI^OÉ.
troisième fdcteuf 2 i ôh a ëcHt fcliâ^nb j^rbûkAî i côté dfa kiiiltiplicateur qui le fommit. On a ensuite mulUplié l'unité et toutes les puissances de 2 par 3^ et on a ^crit loiis. les produits^ à droite, suf la même ligne qîîe le ipultipiicateuf 3.^i î avait été deux i^ois fâc* teiir comme pliis bas t, pin aurait iùultiplîé par ^lui-même ions les produits ëchtâ îi la droite de 3 ; tnàis if ii'y à pas lieil d^s nofre exemple. On a multiplié par 5 tous les diviseurs obtenus (depuis i ihcliisivèpienl jusqu'au aéfnlef 2i&; ^t 8n a écrit tous ces ][)fo(lùits à la suite lék iîtis Ms iixitek à iâ ârotik de 5. Cela ^àit , dfi a multiplié par 7 Hôiià les diviseurs bbte{{{is JtLs^u'îci dé 1 à 1^0 , et on a écrit ious ces produits à la droite de 7. tour àvôli* lés prdcluits qui renferment 7', dn miilltpiie àk nouveau , par 7, tous îès produits que niius veiions d'ôl)tenir en ëSploySiit 7; tliië prëîiii^fë fois , comme facteur, te^ jifbdtîit^ s'^trivâni à là droite du second 7. âli y avait feu un tt-disièiilè facteur 7, bii aiirdit mHltiptlè par ce troisième facteili* cetix qu'oiî vient de jïiacer à la droite dû deuxième facteur 7, et on aurait écrit tous ces produits à la droite du troisième 7.
Il ne restait plus qu'à multiplier par 13 iôiis les diviseurs déjS obtenus à partir de 1 inclusii^emënt , c^est ce qiië iibtis kvoiis fait. Noiis avons Séparé les tacletirs premiers de la tible des tiiWsèurs par un trait vertical Nous i.\Mi tùiehx aiiiii^ les tëcfirè iibur bieii distinguer les divers multiplicateurs et les diverses séries de diviseurs correspondants.
Le nombre des diviseurs doit être
COMPOSITION ou PLUS GRAND GOMMU^' 0IVISÉÙR ET DCl PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN DE PLUSIBUBS NOMBRES DONNES.
105. On peu^ trouver immédiatement le ptûs grand commun dimeeur de plusieurs nombres décomposés en ieurs facteurs pre' miers.
Règle. On prend tous les facteurs premiers communs aux nombres donnés; oH donne à ehoeun de ^es facêemrê Is plus fedble des exposants ^'«/ a dans h$ nùti^ts dùnnéê ^ le pit» Atif de ces fùciews e$t k p. 9. c, d, eherehé.
DU p. G, G. a j ET t)D Pius i>ETÎT MCJtTIPLE COMMUN. 74
Prenons ponr exeiti|)le les tibmiiirës t A = 2\3».5»xl3, B = 2»X«*X5*Xl9, C*ii2»X3»X5xil.
Èh âiiplî^tiaîit la f^giè > bii trôiivè D :éi= 2* x 3* x 5.
DÉMONSTRATION. Deux condiUons sont nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit diMSetir (iôtHWHn âéâ bottbi^e§ Hbhûé. Ce nombre étant décomposé en ses facteurs premiers ^ l"" ne doit renfermer qixe Ûhk làètedfs ptemiers existant dans tous les nombres donnés , c'est-à-dire communs à tous ces nombres (96); i"* il lie doit rën^ëriiiei' liuèun i^ ces tdcteiirs doidmtin^ avëb bh ëxpbisant jiliis élevé que le iilus fôible dëk èi|)6sant^ (iii'a ëe fdcteur dafaiilfes iaonibrësni'bpdàési {{kè ëiëmple, il We kdurdlt èeHfëtmét 3*, car alors il ne serait pas diviseiif de A, ^ul renferme seulement 3*. Or le nombre D composé suivant notre t'ëgle r^idpUi évidemmeiit ëës deilx cdnditiôtis ^ mais ne leâ f ënitilirart plu â ki ôH tiiangeàll iiii seul de ses facteub ^ où si on îiil dbnniit uii setli faëteiif premier de plus; ddhc b e^t ûil ilivlsëdi' cbnllliutl des fabiU-
fcres dBtiiés, et c'est lëdt p. fe. c: d:
à04. Corollaire, fout iwiseùr commun ae plusieurs mnibY'es divise leur plus hirmà c6minuh diviseùh
Ikh è\kt; ii mm âe i^ d^lfaaiisttiUon ^yëédeiite iiùe të {i: i:
c. a. renferme tdlis lë^ fàclëdH premiers qiië pëiit tenfël'lïier tjH îlivtsëur commun qûèlëdhqùe ; et ëhàcùn de tes factëdts avec titi
éibbsânt au WdirisàlikstéieVé qtié lié aiMsëdr auèlëo^Ufe (8^
l^a réciproque de cette proposition est éViileiiië: Tom hom^rk qui 'èk Ûivise deux àutrhè ÏÏliîsé Mr jj: ^; c: d:
105. OU déduit de là tln^ të'glë t)bd^ bbiëilir tbtis les dlvlséUl^à faititiâàaë^iiôiiibi'ë^dôm^:
Tl Éuj^t ai i^Hàer ieUr jl^tus gràUd èHmm&n àiv%h)sûir \it âk iM'^ ckeîr tous Ikè 'diêis'éûH âé é ^M q\ t. tfc
106. Proposons-nous encore de trouver le plus pMt fÂuttip^ tôfn'Mn âe pMteùh nomMs dùhkéi; ë'ëàt-â-dll^é ; lé ptùi ^etU ndihhre divislbre à îà /«S p'àr tM his Hbhimh:
Règle. Pour avoir le plus petit multiple commun de plusi^H nomihs ià\inéi, oVl l'es d.Mkposè e^ l^iuri fhcié\iH ji^rimèfsj on prend ensuite touè ïéi fictè^H 'âifféY^ih qui èiitireàt da^s la ct{mp8éitlon des noMr^i dtkàU^ ôA Mhrie à chdcûft âè cd jVihMfis le
72 COURS D'ARirmiÊTIQnE.
plus fort des exposants qu'il a dans ces nombres ; le produit de ces facteurs est le plus petit multiple commun demandé. Prenons pour exemple les nombres :
A = 2*X3«X5»X13;B=2^X3*X5*X19;C=2»XS»X5X11.
En appliquant la règle nous trouvons
DÉMONSTRATION. Dcux condltlons sont nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit divisible à la fois pour tous les nombres donnés : ce nombre étant décomposé en ses facteurs premiers, 1* doit renfermer tous les facteurs premiers différents qui existent dans les nombres donnés; car s'il lui en manquait un seul, par exemple 19, Une serait pas multiple du nombre B qui a le facteur 19 (96); 2° il doit renfermer chacun de ces facteurs premiers avec un exposant au moins égal au plus fort des exposants qu*a ce facteur dans les nombres donnés; en effet, s'il renfermait seulement 2S par exemple, il ne serait pas divisible par le nombre G qui renferme 2^^ (96). Or le nombre m, composé suivant notre règle , remplit évidemment les deux conditions que nous venons d'énoncer, mais ne les remplirait plus si on changeait un seul de ses fac^ teursy ou si on lui donnait un seul facteur de moins. Ce nombre m est donc un multiple commun des nombres donnés, et c'est leur plus petit multiple commun.
107. Corollaire. Tout multiple commun de plusieurs nombres donnés est divisible par leur plus petit multiple commun.
En effet, en vertu des deux conditions ci -dessus exprimées, chaque facteur de m doit exister dans un multiple commun quelconque avec un exposant au moins égal à celui qu'il a dans m (96) .
Lorsque plusieurs nombres sont premiers entre eux , deux à deux, leur plus petit multiple commun est le produit mime de ces nom* bres.
En effet, ce plus petit multiple commun doit être divisible par coproduit (91); il n'est donc pas moindre que lui.
THÊORiiUE à démontrer. En multipliant le plus petit multiple
DIVISIBILITÉ t>AR H. 73
commun de deux nombres par leur plus g* c. d., on obtient un produit égal à celui des deux nombres proposés eux-mêmes (*)•
APPENBICB A LA DIVISIBILITÉ.
Dimsibilité par 11.
* 108. RftCLE. Pour trouver le retts de la division d'un nombre pw 11, on opère de la manière suivante :
On fait d'une part la eomme des valeurs absolues des chiffres de rang impair à partir de la droite , de Vautre la somme des valeur* absolues des chiffres de rang pair; on retranche la seconde somme de la première. Si le reste est xéro, le nombre proposé est divisible par 11. Si on trouve un reste différent de zéro, la division de ce reste par 1 1 donnera le même reste que la division du nombre proposé par 11. Si la soustraction indiquée ne peut se faire parce que la première somme est plus petite que la seconde , on augmente cette somme trop faible d'un multiple deii strictement suffisant pour que la soustraction puisse se faire; puis on effectue cette soustraction; le reste obtenu est le reste cherché de la division du nombre proposé par 11.
ComoLLAiak. Pour qu'un nombre soit divisible par 11, il faut et il suffit que la différence entre la somme des valeurs absolues de ses chiffres de rang impair, à partir de la droite , et la somme des chiffres de rang pair soit xéro ou un multiple de il.
i^ Ex. : 66487 ; 1" somme 7 + 4 + 6 = 17
r id. 8 + 5=18
Différence : 4 6S487 n'est pas divisible par 11, et le reste de sa division par 11 est 4.
2« Ex. 5 885487; l** somme 7 + 4 + 3 = 14
2* id. 8 + 5 + 8 = 21
La soustraction ne pouvant se faire, on augmente 14 d'une fois U, ce qui donne 25; puis on soustrait 21 de 25; il reste 4; la division de 835487 par 11 donne le reste 4.
Tout cela est fondé sur les principes suivants :
L'unité suivie d'un nombre pair de xéros exprime un multiple de U, augmenté de 1.
L'unité suivie à^un nombre impair de xéros exprime un multiple deit diminué de 1.
Conunençons la division par U d'une puissance quelconque de 10.
(*) Il y a une autre théorie du plus petit multiple commun dans laquelle on le déduit du p. g. c. d. , d'après ce dernier théorème ; mais la précédente nous paridt plus simple.
54 CtiVïiÉ l)*ARiTHMÈTIQUE.
tH)9Kè
Dans cette division, comme on le viSl tte aôlie , il n'y a que deux restes différents , 10 et 1 . Quand on a employé un nombre pair !de zéros, on a le reste 1 quand on en « emplayé un noflibre impair, oh a le reste Ib. Si dtôc li y l; en tout, dans le dividende, un nombre pair de zéros,, le reste flnàl sera 1) a}>pelôii8 m le quotient écrit, nous aurons alera une égalité comme ceUe«cl t
lOOÔO = 11 X w 4- 1 = un mulUpie de il, plu» l.
Si ^u contraire le dividen4e est Tunitô suivie d'un noçabre impair de léfos , le reste final étant 10, on aura une égalité eomme eeUe^ei t
lOOOob = 11 X w + 10 = 11 X w + U -- 1 aat un miiuiplè de u, molng l.
Notre proposition est donc démontrée.
GoROJULAmK. Un chiffre tignifidaîif suitfi éPûn nombre pair de xéros est un multiple de 1 1 , plus to vakur absolue de ee thiffré.
Un chiffre ngnifioatif suivi d'un némbre impenr de nérôs est m multiple dé 11, diminué de la valeur absolue de ce chiffre.
Exemple :
60000=ilp00dx8 = (li:îÇm + i)X6 = llX(wX6)-f 6. (42) 6000 =ïlOOO X8=s(llXw— 1)X6=11X mX6 —6. (43)
Passant maintenant à un nombre quelconque , nous observerons que la valeur relative d*un ^hiffire de raipg imj^ir,, en allant de drp\tç|i gapchO), est égale à ce chiffre suivi d'autant 4e zéros qu'U y a de chiffres après lui dans le nombre, c'est-à-dire, à ce chiffre suivi d'un nombre pair de zéros; cette valeur relative est donc un multiple de 11, plus la valeur absolue de ce chiffre. f On voit de même que la valeur relative d'un chiffre de rang pair est égale a lin multiple ile 11 diminue dé là vàléùî' absolue de ce chiffre; de là oii conclurait comme pour 9. Prenons un exemple : 35487.
Nous poserons
80 « un m« de U — ' «
400 = un m. de 11 + 4
6690 3n un m. de 11 — ^
30000 = uniBr deJl + i
86487 =: im m. de 11 + (7+4+3) — (8 -h*).
Un nombre quelconque est donc égal à un multiple deU, ptilà tàt, soiïkmè tes
DÏTlSlfiltltÈ ^AK 7, 19. 15
valeur t absolues des chiffres de rang impair, en aUant de droite à gauche* moine la tomrnê des ehitPree de rang pair*
N=:llXw + S-S' (1).
en appelant S et S' les deui iottiibes dini l'orAri Indiqué.
Il peut arriver trois cas : on peut avoir S=S', S> S', et S'>S.
!•', QAs. Sa S*. La cUiTérence S— 6' étant nulle, le nombre N est un multiple de ii; lï=liXm.
2* CAS. S>S'. SoitS— S'=D; alors N=nxw + D.
N se composant d'un multiple de il; pliis D, le reste de la division de D par 11 est le même que celui de la division de N lui-même par 11 (65).
Si D est un multiple dé 11, N est divisible par 11.
3« CAS. S est moindre que S'; la soustraction n'est pas possible; on augmente S d'un multiple de 11 ginrfplement suffisant pour que la soustraction puisse se faire ; soit 1 1 Xn, ce multiple de 1 1; on peut écrire «
N=rUXm — llXn+llXn-f S— S'.
Supposons aue (11 Xn+S) — S'=D'
OnaN=tlXm^llXfl4-tt'.
N se composant d'un multiple de 11, (11m— 11x^1)1 et du nombre D', oiblnM «tde 11 Ji est ëvideht qde D" est le reëfé tiè la aivlsloii A^ N ilb^ u. V. le deuttèfaie ëiemple elté.
Remarque. Oq peut faire la preuve de la multiplication ou de la divisioi^ par 1 1 comme on la fait par 9. Dites 1 1 au lieu de 9 ^s tout ce qui a *éié expliqué sur ces preuves, et vous aurez les règles ou explications relatives aux preuves susdites p^r 11: bette preuve ii'ëst paè sûre.
109. Divisibilité par 7. Pour trouver le reste de la division d'un nôM^e par 7, 'Skié jpartagi en trànûhéh de ïrhis ôhtffhi c^iiciitife ; de 'â^'ôHk â getiàhe , la dernière traHthe à gauche poUvdnï seule n*emif qu'un ml dbusi ûhiffteê. On faitj d^une part, la somme des tranches de rang pair, considérées AOf»m# des nombres isolés; on additionne d^autrepart Ifis tranches de rang impair, On retranche ta seconde somme délai". Et la différence est %éro ou un muliîjfïe de 7, le nombre est diffisible par 7. Si on trouve un reste différent de kéro, etc...', la fin tomme pour u.
.Mettes U au U^u de 7 dans oa qui précède» et vous aures un caractère de divisibilité par 13.
Tout cela se fonde sur ce que 100Ô = muli. dfet— l,ou IsX wi- 1; ickibdob = iriùltdè7 + l,Ôd iàxtn + 1.
