Théorème. Si on divise ou si on mulUpUe le dénomina
teur d*une fraction par un certain nombre , ftans changer le nu-
mérateur, la fraction est rendue ce nombre de fois plus grande ou
plus petite.
1"* Ex. : r^ ; en divisant le dénominateur par 4 , on trouve - ;
7 est quatre fois plus grande que -r-. En effet, les parties
qui composent - sont quatre fois plus grandes que celles de
— (120), et il y a le même nombre de parties dans les deux frac-
tiens.
Autrement: 1 tiers = 4 douzièmes; 7 tiers = 7 foisk douziè-
mes=4 /bis T douzièmes; x = ^ ft* 75 î c'est ce qu'il failt prou-
ver.
2"" Ex. : r ; en doublant le dénominateur, on trouve - , frac-
92 GOtIRS D'ARITAMÊtlQtJË.
lion â fa6 fiDbMre que --. En eflëU ^ parties ttf^ fâ j^rëtiilèfé fraction sont ^ fois mbindres que celles de la prçmfère (120)^ et il y a \k HAïhè npibiSré aé parties dans les deux d'actions.
Autrement , icomme plus haut : 1 quart =^ 2 liuitièmes , etc. ..
l2$". tMÊôrïme. Une friiction ne cKan§e pas de vateûr quand on multiplie ou divise ses deux termes par un même nombre,
Soit la fraction - y dont nous multiplierons les deux termes
par & , ce qui nous donnera — r. Chaque huitième vaut ^ trente-
aeUxièmes (129) ; 89itiitf«mbk vàl^m 3^i& '& tf«itté-d^biVèlM^; Va 12 trente-deuxièmes ; ce qu'il faut prouver.
Sn divîèkii't par 3 Tes <dèiix te'rniefs 'de la tfacttôn 7;- , on Vrouvê - ;
on dit de même : chaque sixième yaiajBt 3 dix-ttuiiîèmes i 5 sixièmes valent 5 fois 3 dix-huitièmes ^ ou 15 dix-huitièmes.
124. Pourrait-on de même augmenter ou diminuer d^nn même nombre les deux termes d'une fraction sans en changer la valeur?
éa |feût Voîf fàciïeMnt que non. ' .
&i ajoutant tin mtme tiombre (lux âeux ^més à*itne fraction , ^i^menie 'cette (inaction si elle VsX moindre que Vùn^tè^ on ïa diminue dans le cas contraire (*).
RÉDUCTION d'une FRACTION A UNE PLUS SIMPLE EXPRESSION , A SA PLUS SIMPLE EXPRsàsiÛN. DCS FRACTIONS IRft£j>lIGTJSLEà.
125. Simplifier une fraction c'est la remplacer par une frac- %ofi lègue 'Hfanl 'àes 'termes "moindres.
On y parvient en divisant les deux termes de cette fraction pSr
IcS ^^élirs Vommuns qu'ils peuvent avoir.
£x« : — . On trouve successivement — = — = -s- = - ,
. On a â*9^d divisé les deu tenue^ de ^ par t, ceax àe^^p»
par 3 ; enfin ceux de — par 7.
(*) La'âémonstTatloD , p. 103 (Appendice à la théorie des fractions }.
SIMPimCATIon DE!» mACTIONS. M
126. Une fraction est dite irréductible, ou bien réduite à sa plus Wnijf)te éxj)risï%on, quâna eiW ri^'st égale â aucune fracUbn â/ànl des termes respectivement moindres que les siens.
127. Théorème. Quand les termes d'une fraction sontj^miers m&e mxi cette ffwtidh }èêl 1tfMiiC^¥fU&.
Bn fffidt;
QtMud Us termes d'une fraction sont premiers entre eue ; fottlb ftfêikM égm â j^f- mmei m ^fur-rhûlti^ Us Hàn^ ne êette
Ex.: ;z , dont lés termes S et 7 sont premiers enù'e ew ;6q[)î>osons que Ton ait - = -. Si nous réduisons ces fractions au même
dénomuiateur, les numérateurs obtenus devront être égaux ; on
trbu^ ainsi : ^^ ék ^ ,. a^oû à ^ ^ ^ S '^ B. Lte licriniré ^
cttWIM te 2«pW)dÔtt tUvKfe fé ÔttWtttt ^al a 'x 7*, hiàis 5 ^àl ptèiBfef avec 1; ibtt il Bbft tfiVîsèi* fiaiitt^ fiittear 'aj bn «bit avoir a 3= 5 x,m, m éUot un nombre entier, Si dans T^alit^ ax7 = 5xfr, on remplace ft par la valeur 5 x m, il vient 5xmx7=5x6; "tfbtf , ct dWSàrit 1i^8 8«1* t>arti îHi# 9, »H bbbdùt ^ rbr 7 ^ M. lëi a«bi )lbH)B>ks it ëU «bht dbitë deit é^inlttitfpiesi 5 X *«; T :k « flb 5 et a« 7. C« tt»iMI ntltett t*btl^lr.
m étant au moins égal à 1 , a égale au moiilâ 5 y 8 ë^M iiâ
BMta» 7 ; doM^ atcwid fraelion r- ^gale à ^ n'a des termes aïoivv
dres que 5 et 7. Lors donc qu'une fJrUcttôâ H M lei-méâ t^lr'éiiil^rs ^iilt^ eut , ëlië 'èk ittédu6hm^. iJè là iehè fèglë :
pf'é5<to;t , on cherché le pUs ^^dnà boàMVi Hvû'éui' dé 'sM dèUdé termes, et on Simèe ieh deux tâ'iheé )[>⥠le )). ^. 6, à.
En effet, quand on a divisé les deux termes de la fraction pro« posée par leur p. g. c. d., on a^pour quotients deux nombres premiers entre eux (81)^ qui , d'après le théorème précédent y for^ ment une Iractrôà irrêduaibfé.
EK. : «T^. te fl^ g. Ci H. de 2id «t 932 lest ilT^ 210 et 252 divisés
Si COURS d'abithmétique.
respectivement par iii donnent les quotients 5 et 6 ; - est la frac^
lion H^ réduite à sa plus simple expreàion. .
189. Théorème. Toute fretction égale à une fraction ùrrédue^ tible a ses termes équi-multiples des termes de cette fraetkm irré^ ductible.
. En effet, les termes d'une fraction irréductible sont éfidem* ment premiers entre eux ; or, quand les termes d'ijne fraction sont premiers entre eux, toute fraction égale, etc. (n" 127, 2« énoncé).
130. Corollaire. Si deux fractions irréductibles sont égales ,
leurs termes doivent être égaux j chacun d chacun.
soient =- , t » <leux fractions irréductibles. La fraction - étant
égale à la fraction irréductible -^ , on doit avoir c = 5 x m ,
d = 7 X m, m étant un nombre entier. Mais, dans notre hypothèse, on doit avoir m = 1 ; autrement^ ceid admettant un di-
viseur commun m autre que 1 , ^ ne serait pas irréductible ; ce
qui est contre rbypothèse ; donc c = 5, d = 7.
131. Corollaire. Deux fractions égales réduites à leurs plus simples expressions donnent lieu à la même fraction irréductible, terme pour terme.
Ou bien, de quelque manière qu^on s^y prenne pour réduire une fraction à saplus simple expression, on arrive d la même fraction irréductible , terme pour terme.
132. Remarque. Pour obtenir toutes les fractions égales à une fraction donnée , il suffit de réduire cette fraction à sa plus simple expression , puis de multiplier les deux termes de la fraction irîré* ductible successivement par les nombres 1, 2, 3, h, etc.!.
Réduction des fractions au même dénominateur.
133. Quand des fractions ont le même dénominateur, on peut voir laquelle est la plus grande d'entre elles, on peut les additionner, les soustraire Tune de l'autre ; il est donc très-futile de savoir réduire les fractions au même dénominateur.
BÊDUCTION AU MÊME DÉNOMmATEUR. 85
Réduire des fractions au même dénomênateur^ c^esi trouver de$ fraetions égales à ces (radions données, et ayant toutes k m^â dénominateur.
RÈGLE. Pour réduire des fractions au même dénominateur, U
suffit de mult^lier les deux termes de chacune par le prodmi des
dénominateurs de toutes les autres*
2 3 4 il Soient pour exemple les fractioDs: t> T» T * 7ô*
Multiplions les termes 2 et 3 de la première par le produit effectué > ft X 5 x 12 = 2&0^ des autres dénominateurs.
Opérant de même pour y, on trouve
4 "^ 4 X (3 X 5 X 12) ^ ft X 180 "^ 720:
On trouve de la même manière :
Et enfin
En observant cette règle , on ne cbange pas la valeur de chaque fraction^ car on multiplié ses deux termes par un même nombre; on est sûr d'avoir pour toutes les fractions le même dénominateur; car on voit facilement dans le calcul précédent que chaque dénominateur nouveau est le produit de tous ies dénominateurs des fractions données ; seulement. Tordre de multiplication de ces dénominateurs est différent d'une fraction ù l'autre (45).
ftËMARQUE. Quand on a appliqué la règle à la première fraction, on connaît le dénominateur commun. Â partir de là, on
peut continuer comme il suit : Pour transformer -r, au lieu de
M COVRS D*ARlTHaiÉTXQU«.
tùtmev le prodait des antres dénooitaialftaTs» on peitl diYiiec ie dénaminateur cominun 7S0 » que r^m vien^ de tcouver, par le dé-
nominateur U de S/Zi; et multtolier les. deux termes de - par le
quotient trpuvé^ }8ft. Il est évident cpi'iûn obtiendra^ de cette n^a* nière 720 pour dénominateur d'une nouvelle fraction égale à a/4 ; on pourra opérer de la même msinièrç siu' l^s autres fractions.
Il y a d'autres moyens qae le précédent d'oët'enir mi dénominateur commun pour des fractions données.
154. Touê multiple commun des dénominateurs des^ fractions données peut leur être àonné pour dénominateur commun; on remploie de la manii^je suif^fnfe ;
On divise ce mt^ftifh cçiptçMp ^aj {^ ^snonfinateur de la première fraction, et l'on multiplie les deux termes de cette fraction par le nombre entier o^Unv^ j^çur g^QtiefU;, gji fjfi^e milite de la même manière et successivement pour lés autres fractions données.
2 3 4 il
n est facile de voir que 60 est un multiple commun de toos les
dénominateurs. Je divise 60 par 3 ; le quotient est 20 ; Je mnlti-
plie les deux termçi de - pfir 2$t i j'.9btteQS aiio^i la fraction ^
o ou
égale à". Je divi^Q ^^^^^^ ^ PF ^f ^^ ^f^ multiplie par le
quotient. 15, les deux termes de r ; j'obtiens ainsi — = -; de ^ 4 60 4
même : '^ ï=3 42 ; pat siolte 5 ^œ ^•-^-«^ =;? 3^- Bofin ?^ ^ ^*
chaque fwçtloft , çt qn e^f, ç^r, tf^^qlr )e dmkjKïD^ Ç«W»W B<H»
sidéré ) par un quotient ; on doit nécessairement reproduire le dhidéilde qui , chaque lÔls, éiil*'le mùi^fe'côâftnd^r " "" " ''
RÊDUCTiqif ^V ]|lt«||S ])Cm»|IQ|ATEUR. SI
de tou^ k\ a^t^f s, f p.» /^ i?>rf n4 it^A potir éétaorninoteur çomf^ mun.
Qtielquef^U tfJH ^4%?^VM(^> «( ^'m«ifc(e |)at 9kskttr& attiré;^ sans V être par tous; dans notre exemple^ 12 est divisible par 3 et par U. Alors f il suffit de trouver un nombre ^i soit multiple de \2 et des dénomvk^leuri qui î^e divigtnt pis 12.' On sera sûr qu^un pareil nombre se^ divisible fiar tom let dénominateurs.
12 étant premier a\[QC 5^ pQus a?jQns pris plus baut 12x£k£=:69.
Réduction des ffjç^çltioffjf à k(iàf plm P^M dénominateur commun.
i^. BteliE. ^our TédsinrA de$ pr^xUons données à leur plus pBJiki (^90inîtiak|ir eommuMj oii kt téèuit d'abord à leurs plus sim^ pkfi eûsprefsiions ; ala fait, tm cherche lé plus petit mukiple eom^ i2Bf(f» <jkl <Maotntti<Metfrt de ces pradions irréductibles (l06) ] puis on Ifl i^nm pour, diMiiimqÀeiuar commun à ces mêmes fractions en nsifÇfmA l(k régie 4( «? 1»4.
nous prenons irc^ctibtes ^ si les fractions données né rétaient pas> OB comiqeM(eralt paf les réduire. Gela posé, on voit fàci\eméat que tqut dénc^ipçteur ecà^nion des fractions proposées Test UB moUiiAe oommiip des dâaqniinatéurs . actuels. Fn effet , soit i im dteominateur coipuimi quelconque ; les fractions étant réduites à ce dénominateur^ supposons que r*oti ait :
7~5' s~5' Ï2~5' a-rf' "*'••••
La fraction ^ étant éfifale ii la fraction irréductible -, a et d
^i^?Pftt %§ AÇ8 ^q?rt-»B^^»lPf d§ 4 ftt: ? ; m partiiccitot 4 est un "3l?,Wî.ç|i^-. iiV PflW HP? ï^^i»» ss«l*UW«i^4 Ml un piuHipte ^e S, up' multiple de 12, de ^, de 2, de 10. En résumée, d est un multil|e coDiUann des •dénomiuàtèârs*'<fe nbïmictîfons irri^ducnbîes. Nous ne pouvons donc choj^r notre dénomipateur commun ^jçj^ parmi les multiples comigçris'ifecW dénominateurs; mais nous
poQfODS prendre le multiple que nous voudrons. Pour avoir le plus petit dénominateur commun ^ nous devons prendre évidem* ment le plus petit de ces multiples communs.
Nous mettons ici le calcul pour les fractions données.
iii=2».8.5.7 7 3 2*3 2« 2 2X5
Nous avons écrit les dénominateurs décomposés en facteurs premiers au-dessous des fractions proposées. Le plus petit multiple commun étant 2*. 3. 5.7 = /i20^ nous Favons divisé successivement par les dénominateurs des fractions , soit par la division ordinaire , soit en nous servant de la décomposition en facteurs premiers. Gela fait 9 nous avons écrit au-dessous de chaque fraction le quotient qu'a fourni son dénominateur ; nous avons enfin multiplié chaque numérateur par le quotient correspondant, et donné à chaque produit , pour dénominateur, le multiple &20.
Est'il indispensable de réduire les fractions proposées â leurs plus simples expressions y iwant de leur appliquer la partie de la régie qui consiste d employer le plus peUt multiple commun comme dénominateur commun? Oui, si Ton veut opérer avec certiiude d'avoir le plus petit dénominateur commun possible.
Pour le prouver, prenons des fractions irréductibles , comme les précédentes ; par exemple ,
Multiplions les deux termes de Tune des fractions par un facteur premier que nous savons être étranger à tous les dénomina-
teurs proposés. Multiplions^ par exemple, les deux termes de -
par 13, nous aurons la fraction égale =;r.
ADDlllON DES VRACTIONS. 89
Supposons que l'on donne , à priori , pour les réduire au même dénominateur^ les fractions
Il est évident qu'en employant immédiatement, sans avoir réduit aucune fraction , le plus petit multiple commun des dénominateurs proposés f on aurait pour dénominateur commun U20 x 13=7 5^60 ; tandis que, d'après ce que nous savons , il est possible d'avoir des fractions égales aux fractions données , ayant le dénominateur commun &20.
n est aussi facile d'avoir des exemples où le plus petit multiple employé immédiatement est le plus petit dénominateur conmiun des fractions qui ne sont pas toutes irréductibles.
136. Pour comparer entre elles les grandeurs de plusieurs firac' lions données, il suffit de réduire ces fractions au même dénominateur.
7 11 £x. : —9 — ; le nombre 36 étant multiple de 12 et 18^ nous
le prenons pour dénominateur commun.
S6:12=3;i=L>il=?l '12 12X3 36
