Théorème. Les puissances d'une fraction irrédwHbie tant
des frcu^tions irréductibles.
7 /7\* 7* Ex. : -; 1 - l =5;. Or 7 et 9 étant premiers entre eux, 7* et 9*
sont aussi premiers entre eux (90).
181. Le produit ^autant de fractions ou de nombres fractionnaires qu'on voudra ne change pas quand on intervertit V ordre des facteurs.
En effets le changement de place dans l'ordre deS'facteurs fractionnaires , produit tout simplement, pour le produit, un changement de place correspondant dans les facteurs entiers du numérateur ejt dans ceux du dénominateur ; ce qui ne change ni Fun ni l'autre de ces termes du produit
Soit proposé de calculer les - des - des - de 2^ ^ les - de
8 3 8 / 8\ 3 5 24=24Xx; les r des- de 24= ( 24 X r ) Xr; enfin les -
des 7 des r- de 24 égalent 24x 7: X tX-^. Nous avons à multi-
99 COUM T3fèMrmUtTUèV%*
Sli^F Ymtlàf eir te Pr94f4( fie mtsê le» fractlpi» grapoiiis* c^
que nous venons de faire s'appelle prendre des fractions de fpucrf tfpn$ d'ip npm]^re donné.
€^ defni^r nombre donné peut être aussi bien un nombre fractionnaire; on raisonnera a^spliimpqÇ d^ mépe. pn p^u| évi^em-r ment faire la multiplication dçs poinbre^ propos^ dan; l*or()f e d^ réïjQBpé, pe qui apRPersiit
rtrf r ^ ' !Hi BjI rn • •" ' T-i f I j ir
On peut simplifier ce résultat
Divisio|i de;^ fRipric^s.
152. Diviser un S^6re gar ^n o^tre « ç'ctf ^(m)?er un troisième nombre appelé quotient , tel que multiplié par le second nombre donné {le div^e^r)^ il reproduise le premier (le dividende) (35).
Nous considjgrerons quatre cas pour les divisions où Â t ^ des
1"" CAS. Division d'une fraction par ^^ ngmPjrç ^tier.
RÈGLE. Pour diviser une fraction par un enfier, jl s^ifUt de multiplier h dénominateur par ce nombre entier^ ffims c^fifnfifr le numérateur.
Soit, par exemple , - à diviser par 5.
Le dividende - étant égal au quotient multiplié par le diviseur
suite un nombre cinq fols plus petit que le dividende ' ^ on l'ob-
tiendra d'après le principe (122), m W^UbUmI te âA»M»i|»atei]r
çée.
Si le numérateur ^t divisible par j[*entier, on aurait le quotient en divisant le nun)jérat|ur p^r l'entier^ sans tpuçhfr au ()jSno« minateur. %
fil- : |; & s 91 Piiwe le guptiçBt d9(t S(»npn9B4Nri?a9|tre fois moindre me rr.
RiGLB. iP(îttr d|>Hcr 919 fipin^rff $[ift>r par {«iff; fracfm, pp
le numératmn m We», PB m^ Ûd RPlsj «» rftP^K W «Rfî^T par un0 fraction , m «It^lf MlîfUf^ ^fl W% ««T 1(4 fr^Çl W ^^-
S Soit à diviser 1& par ^•
Le quoUeot im^^ fflBWflW par 5 dqlt rçproflplre U | jtu-
trement dit, les - du quotient égalent 14 ; donc - du qnotient
■V if
est égal à la huitième partie de 14, ou à —; et enfin les -dnquo-
14 X 9 tient, ou le quotient lui-même, égalent ^ ^' > ,
«D coinpjirsint ce FéSlrttat «n PPiqbre^ d8BP^i 99 t^Qm ^ règle énonG04 ;
3" CAS. Division éPune fraction par une fraction. Il|GLE. Patff ({tuis^ une fj['action par une fraction, on muttipliê la fraction div\defide par Içl fro^ctioii diviseur renversée,
Le produit du quotient par ^ doit êtie égal y u dirideada -;
autrement dit , les ^ du qqolient éjgalent ^ ; doçe s du quotient
?aut trois fois moins que - ou = r ; donc le quotient )ui-flitaic
égal à quatre fois son quart vaut =-~r >< 4 = tt^t-i-
100 COURS d'arithmétique.
5 ti
En écrivant ce résultat ainsi , s X -» et le comparant aux fractions données^ on trouvé la règle énoncée.
Remarque. Le quotient d*un nombre quelconque par une fraction moindre que l'unité est toujours plus grand que le dividende. En effets le dividende étant le produit du quotient par une fraction moindre que 1 , est moindre que ce quotient ; donc réciproquement, le quotient est plus grand que le dividende.
U^ CAS. Division des nombres fractionnaires.
Lorsque Vun des termes de la division ou tous les deux sont des nombres fractionnaires, il faut joindre dans chacun l'entier à la fraction , puis effectuer la division d'après les règles précédentes.
Ex. : 5 â diviser par 3 + ;r. On divisera 5 par — •
Remarque générale.
153. Ce théorème fondamental : Un produit ne change pas de valeur quand on intervertit arbitrairement V ordre de ses facteurs , étant vrai pour les fractions et les nombres fractionnaires, comme pour les nombres entiers, toutes les conséquences de ce principe sont applicables aux fractions et aux nombres fractionnaires.
Ainsi, on peut dire, en général, que :
l"* Pour multiplier ou diviser un nombre par le produit effectué de plusieurs facteurs , il suffit de multiplier ou diviser ce nombre par le premier facteur j le résultat obtenu par le second facteur, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les facteurs aient été employés. '
2^ Pour multiplier deux produits., il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et du multiplicateur (48).
3^ Dans un produit de plusieurs facteurs , on peut remplacer un nombre quelconqtie de facteurs par leur produit effectué (49).
4"* Pour multiplier ou diviser un produit par un nombre, il suffit de multiplier ou diviser Fun des facteurs du produit par ce nombre (47).
.5*" Les théorèmes relatifs aux produits ou quotients de plusieurs puissances d'un même nombre sont vrais pour les puissances d'un nombre quelconque (56).
