Théorème. Quand une fraction ordinaire ne peut pas être

exactemenJt convertie en fraction décimale^ elle te convertit m une

fraction décimale périodique.

Prenons^ pour exemple^ la fraction — = -; — -.

Si on applique indéflniment à cette fraction la règle du n* 183 , on n'arrivera jamais au reste zéro (186) ; les restes successife seront tous compris dans la suite des nombres 1 , 2^ 3. .. 27^ inférieurs au diviseur ; par conséquent , il y aura au plus 27 restes différents les uns des autres. Si donc , durant les 27 premières divisions , un même reste n'a pas été trouvé au moins deux fois^ il est certain que le reste de la vingt-huitième sera égal à l'an des restes précédents 3 autrement on aurait trouvé 28 restes différents; ce qui est impossible.

Puisque , dans une pareille division , un des restes doit toujours se reproduire , voyons celai qui se reproduira le premier dans notre exemple.

C'est le reste 24. Ayant ajouté un zéro à la droite de 24^ nous sommes dans la même position que la première fois^ quand à ce reste 24 , nous avons déjà ajouté un zéro. Nous avons le même dividende 240 , et le même diviseur 28 ; nous devons opérer exactement de la même manière; tout ce qui s'est passé depuis le premier reste 24, va se reproduire exactement ; on aura au quotient la même série de chiffres » 857142 y et les mêmes restes obtenus de 24 à 24. Ayant retrouvé 24 après six nouvelles divisions , on recommencera la même chose ; on écrira encore au quotient la même période 857142 , et ainsi de suite , aussi longtemps qu'on le voudra. La fraction décimale écrite au quotient sera donc périodique.