Nous allons résoudre cette question inverse
Étant donnée une fraction décimale périodique , trouver la firactiou ordinaire génératrice.
1*' CAS. La fraction périodique donnée est simple. Ex. :
(1) Cette propriété distingue essentiellement la fraction décimale périodique engendrée par la conversion d'une fraction ordinaire donnée; on peut la reconnaître à ce caractère seul ; car il ne saurait évidemment y avoir deux suites décimales différentes remplissant la même condition générale relativement à la fraction ordinaire donnée.
La fraction ordioaire cherchée est la litflUe Vers Inquellc doit tendi'e la suite périodKjue donnée , lorsque , rayant llnlitée d'abord , on y prend ensuite , de gauche à droite , un nombre de chiffres décimaux de plus en plus grand. Commençons donc par prendre un nombre limité de périodes , k par ex. ; et pour abréger le discours^ appelons/ la fraction décimale terminée ainsi obtenue.
nous pouvons écrire après comparateon :
f= 0,282828 + 28 cent millionièmes.
Retranchant /"de 100 fy partie par partie, nous aurons :
99 f= 28 — 28 cent mUlionièmes -,
d'où enfin /^= 35 — Ia99»^»»«pa^tiede28cent millionièmes; cette
ggifeiM partie est moindre qu'un cent millionième.
La fraction décimah limitée 0,28282828 est inférieure à la frac^
lion ordinaire^ ^9 àe moins d'une unité décimale de ivn dermer
ordre.
Ce raisonnement est général , et ne dépend aucunement dli nombre des périodes que l'on a prises ; la conclusion subsiste évidemtaenl, quelque grand que soit le nombre de ces périodes ; lors donc que ce nombre de périodes croit indéfiniment, la dif-
férence entre ^ et la fraction décimale devient moUidre qu'une
unité décimale quelconque, si petite qu'on puisse l'imaginer donc,
à la limite ,
28' ainsi donc y -reaila fracOan génératrice de 0,282828 (*)•
(*) Cette conclusion est d'autant plus juste que la fraction 0,28282828.... jouit de la propriété qui distingue essentiellement la fraction décimale périodique
DES FRACtIOMS DÉCIMALES PÉitlOOIQUES. 127
TMËoftfelHË. AiHH dbftc la fractlnn génératrice d'une fraction pétio'diqûti ^mple^ sani j^ariie entière ^ a pou¥ numérateur la période^ ti peur dénùminalmr un nombre formé ddutant de 9 quHÎ y a de chiffres dans la période,
