CAS. La fraction périodique donnée est mixte. £x
0,372èi.28/i. 284.284
La fraction ordinaire cherchée est la limite vers laquelle doit tendre la snite périodique proposée lorsque, l'ayant limitée d'«ibord^ on y prend ensuite , de gauche à droite , un nombre de chiffres décimaux de plus ep plus grand. Commeuçons donc par prendre un nombre limité de périodes, 3 par ex. Pour abréger le discours y appelons f la fraction décimale terminée ainsi obtenue :
Nous pouvons écrire , après comparaison :
100/=: 37,284284 + 284 biliionièmes.
Soustrayant 100 /"de 100000 /, partie par partie, nous aurons
100000 — 100 ou 99900 f= 37284 — 37 — 284 biliionièmes.
37284 37 D'où / = -^^.7 la 99900»^»»« partie de 284 biUiouièmes j
cette QQQOÔ'*""* partie est moindre qu un cent billionième ; car là fractiou
La fraction décimale terminée^ 0,37284284284, diffère de la fraction ordinaire ■■■■■■ ■ de moins d'une Unité décimale de
*J i# •/ vV
àfbn (feinter ordre, té raisonnement est général , et ne dépend nullement du nombre
qu*engendrerait — , soumise à la règle du n« 183. (Y. la note page 126.) On pour-
rait éTidemment conclure après la phrase précédemment soulignée dans le texte} si nous ne l'avons pas fait, c'est afm de ne pas trop changer ce qui se dit habituellement.
des périodes que Ton a prises ; la concinsion subsiste évidemment quelque grand que soit le nombre de ces périodes ; lors donc que ce nombre de périodes croit indéfiniment , la différence entre la
fraction décimale » et la fraction ordinaire — — devient
moindre qu'une, unité décimale quelconque , si petite qu'on puisse Timaginer. Donc, à la limite (190) ,
37284 37 Autrement dit , ■ ^^^^^ est la firaction génératrice de
Ainsi donc,
THÉonÈME. La fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale périodique mixte , sans partie entière , a pour numérateur le nombre formé par la partie non périodique, et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique»
On réduit, s'il y a lieu, cette fraction ordinaire à sa plus simple expression.
On peut facilement démontrer que le numérateur de la fraction ordinaire immédiatement fournie par le théorème précédent n'est jamais divisible par 10 {**),
193. Dans ce qui précède , nous avons supposé ehaque fraction décimale périodique non précédée d'une partie enUère ; il est facile de lever cette restriction.
Si une fraction décimale périodique est précédée d'une partie entière, on aura un nombre fractionnaire équivalent an nombre décimal donné, en écrivant, à la suite de la partie entière, la fraction ordinaire équivalente à la fraction périodique qui suit la virgule. On obtient cette fraction ordinaire par une des règles précédentes.
(•) Même observation que pour le vj cas (note précédente). D Voir, si on veut, cette démonstration , et une addition à ce n» 192 à l'Appendice, page 130. '
FRAenONS DÉCIMALES PÊRÏODIQUES. 129
.«•ir^oi.-, .«.367 19(1000 — «) + 367
!•' ex. : 199)67367... «= 19 +7:?:^ = — ^^J
2* ex: 19,48367367... =
Dans Tan et Tautre de ces exemples, on peut supprimer d^abord la virgule ; ce qui produit une fraction périodique sans partie entière ; transformer celle-ci en fraction ordinaire » puis rendre cette fraction ordinaire cent fois plus grande.
194. Théorème. Toute fraction périodique dont la période est un 9, peut être remplacée par un nombre entier ou décimal que Von obtient en supprimant la partie périodique , et augmentant d'une unité le chiffre qui la précède immédiatement.
Par ex. : 57,999. ... = 58.
En effet , en s'arrétant à un cliiffre décimal quelconque » on a une fraction décimale terminée qui diffère de 58^ en moins, d*une unité décimale de son dernier ordre.
La fraction décimale étant continuée indéfiniment, cette différence devient moindre que tout nombre , si petit qu'il soiL
Deuxième exemple : N = 57,629999
donc N = -— -- = 57,43.
195. Corollaire. Étant donné un nombre décimal contenant un nombre de chiffres décimaux limité ou illimité , si on supprime tous les chiffres décimaux placés à la droite d'un chiffre quelcon^ que^ V erreur commise est moindre qu'une unité de l^ ordre de ce dernier chiffre conservé.
Soit pour exemple 57,4328451.
Supprimons tous les chiffres décimaux qui suivent le troisième ; nous obtiendrons 57^632. Nous avons
ou 57,432 < 57,4328451 < 57,433.
Le nombre proposé étant compris entre deux nombres 57,432
150 cows p\M(|tlW£riQpp# ^
et $7^439 f dia^ê9t ^tre wi^ de 0,001^ diffère de chacQn d^eiix de motns0eP,ûOl.
Il résulte de là que si ua noqabra est équivalent à une suite décimale connue , ou qu'on po\irrfiit trouver, composée d'un nombre de chiffres décimaux^ limité ou illimité » on aura la valeur de ce
nofflbrç à 77^ près, en écrivant les n premiers chiffres décimaux
de son e^ipressip».
On obtint ia valeur du nombre ëoniié 9i moins d« | unité
décimale de l'ordre n , en plus ou w ^iqUis^ d^ c^tto P^^r^ -
Ayant appliqué la règle précédante, on lai^e f^ q%'il est le
chiffre décimal de l'ordre n , $ile chiffre mpprimé ^ui le iuivail
est moindre que ?• On augmente le d^rni^ chiffre cçn^içrt^é d'une
unité si le chiffre supprimé suivant est 5 ouplu§ grand f^C Çt AXf^^f
dans rexemple précédent, 57^/i33 est la valeur 4a nombre pro-
posé 57,4328431 à - millième près^ par excès.
On le voit facilement en rem^rqpaQt qv'OA ajçatf QiQOt ^ QIft'on
wtr^nçbe O,O0O8ft5t On wgmçme 4« QMi -" OjQ0<»ftSi =
appendicb a la th^q^q^ jm fraçt^qj^is décimales périodiques
(non exigé).
Rappelons ici une prepositioii démontrée n* ISO.
Théorème I. Pour qu'une fraction ordinaire irréductible puisse être convertie fn «m^ frasHon iécinuik terminée, il fadt et il sii«fi9 que sê» dénominateur ne r^fervike aucun fauteur premier 4iffér^ de % ou 4^^
196. é^ddition g,u n* m* Le dénominateur 4l( 1« &«|ti(»P |éi|(ir^rlc9 û'^ne fractioq périodigue simple, tel qu'il eçt iimaé4iAtei][)QAt fourni p^r le thégp^e
énoncé n« 191, Ex. : -^, étant terminé par un 9» li-admet n\ le fiacUtur % ni
le facteur 5; Il en sera de même , à plus forte vaison , da déBominàteur obtenu . pKT lii t^^fxeiipn ^ «0tte fr9QlV00 ^ W PU$ «impie eipfBBSions eov, pt tédnisant , on supprime des facteurs 4$u)a ep inlfodtiire a\;ic)in (||9]« Pf9)Ç ;
Théorème II. Le dénominateur de la fraction irrédwtihle génératrice d'une fraction décimale pMoH^^i^ siti^le m f^iriM ni le faeteur 2 ni le facteur 5.
197. Addition au n^ 19^, Le nuqi4îiltQW 4e |a {rafitiQtl Otf inaire imnMia-
tement fourni par le tli^orèpie^nQDçé or 193, M» i ^ w^^ ^m ' ^ n*o$\ )a
nAcnspi 8fi«WAI« 9fiM9i>iQUB8- Ui
terminé pur un léro, et par snite n'est Jamais diTislble par 10. En effet, ee qumératenr est le résultat d'une soustraction (Ex. : 37284— 37). Pour qu'il fût terminé par un zéro , il faudrait que le dernier chiffire de la période fût égal au dernier chicnre de la paHIe nos périedique. Ainsi, dana notre exemple, Il faudrait quMl y eût un 7 à la place du 4, ou un 4 à la place du 7. Dans le premier ^3, l9 fraction 4éciip.«lç sçrajt 0,?l?87W?87Mf,; *I09 te dçpxl*m^, «l)e serait 0,342^4284284.... Lfi partie non périodique n'aurait qu'un ctiiffre , ce qui est contre l'hypothèse dans laquelle nous ayons raisonné et opéré, pour trouver la flractloB ofdinaln g^éntrlat.
Le numérateur 37284 - 87 n'étant pas diylsUi\f Hl |9i fil |i(f é #• Nn (|e9 facteur? } ou ( , au mpipA; «Q»U ta déomlA^tqvr 4q Ûi Wéipe (riction
"jééoô ' "" ^^*"* «"HQ^^ tf m fovtajbi nonkro éi^aïUvlf Ovtwi é$ séros
qu'il y a de chlfflres dans la partie non périodique, renferme chacun des factann et Jfc préalalpeiic autant da lais que Vlndiqua aa nombie 4e aéraa.
l4>r| HimP m'a» l^ura f^Utt ¥^ ^iptum 1 4ft fk^s f^Unirtq «Kpcfs^ , #'U y a Heu , le dénominateur de la fraction inMi^çV^^l? Ql>t^QQÇ renfermçr^ ^j^re au moins l'un des facteurs 2 et h, tïelui qui manque au numérateur, avec un exposant précisément égal au nombre des zéros susdits , c'est-à-dire au nombre des chiflnres de la partie qqh péclo4^^(]<) Aq Ifl (nçtlW décimale. Il est d'ailleurs évident qu'il conservera aussi au moins un facteur différent de 2 et 5, puisque \fL Ifzcfion décimal^ ^i périodique. On peut donc établir cette proposition :
Théorème III. Le dénominateur de la fraction irréductible génératrice d*une fraction décimale périodique mixte contient avêé «m ou phuieurê faeteuvt différifilf d« 2 ou &, CN» «uitnt un de ce* fa§t€%»9 ay€mê %n CQMMMyrifciitfviililf égal ou fMMA&r^ de^ chiffra 4« kk jm^^ non périodique^ Upeut qfltui con^ir l'gutre t^çw le mémf exposqnt^ ou çLvec un exposant moindre.
Chacun des théo^èpies II et II) a une réciproque qui est vraie.
198. 1« lor^qfue le dénominateur d*une fraction ordinaire irréductible ne renferme ni le facteur iniU facteur 5, cette ftacHon engenére une froôtion éé" HmaU péfioéique nmfk.
In afftt , eli^ m Ptut ^mn^rir upel^F^oM^P ^Mm^ WHfM^ (tMw^ I) ; |Ue4APne donc lion ^ up^lracV^u périodique ( 1^3] « ^Ue ne peut donner n^iss^ce i une fraction périodique mixte (Théor. III], donc elle se convertira en une fraction périodique simple.
199. 2* Quand le dénominateur d'une fraction ordinaire irréductibU fen-^ ferme Vun des facteurs 2 et 5, ou tous les deux, anee «l'aufre* faetewrs, la fraction êngm^e urne ff$H(m éé^imki p4fi^ifm ^^H t 4o»i km^lle W nati^hfe des Mffret de la poMie tm pém^quê eH ég^l «u 9iH9 9f^¥l^ <^ ^m^f^mîi d^ 2 êtdêh conteim dans k démwmUiuf d^ J9 /ri^tton wc^imixff,
£n affet, cette CraQUo» no Be^t «e réduiro W un^ fraction décifla^le tf freinée (théor. 1); elle donne donc nai8SfiA<;;o à HRO fraction pérlodiqve (q* 188); d'ailleurs elle ne saurait engendrer une fraction périodique simple [théor. Il) ; donc elle engendre une fraction périodique mixte ; le reste résulte du théo« rtoie III.
133 COURS D*ARITIIMÊTIQl)Eé
