DÉCIMALE D*UN ORDRE DONNÉ
200. Il snflBit ordinairement, dans les applications, d'obtenir les nombres demandés à moins d'une unité décimale d'un ordre donné ; on profite de cette circonstance pour abréger le calcul des nombres déciinaux.
Par exemple 5 il existe, pour trouver ainsi un produit ou un quotient, par approximation , des méthodes plus expédttives que les règles données n°' 177, 178, qui sont généralement trop longues, et peuvent même devenir impraticables , quand les nombres donnés renferment beaucoup de décimales. Nous allons faire connaître ces méthodes abrégées. ^
Multiplication abrégée.
201. Ex. : On demande , à mobis de 0^001, le produit de 0,/i895058a7 par /i3,8675.
Règle générale. Pour obtenir^ à moins d'une uniié décimale éCun ordre donnée le produit de deux nombres donnés^ on écrit le multiplicande comme à l"* ordinaire ^ puis on met le chiffre des unités du multiplicateur au-dessous du chiffre du multiplicande , qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime le degré d* approximation ; on écrit ensuite les autres chiffres du multiplicateur dans t* ordre inverse de V ordre ordinaire^ c*est*à-dire ^ les dizaines, les centaines y etc. y à droite du chiffre des unités, les dixièmes f les centièmes, etc., à gauche du même chiffre des uni-
tés (*).
(*} Le multiplicatear peut ne pas avoir de partie entière; et même son 1*' chiffre significatif à gauche peut être reculé de plusieurs rangs à droite delà virgule. E\. \ on demande le produit de 3476,846257 par 0,00037$ à moins de 0,01. Dans ce cas, la règle n^est pas en défaut; renversant le multiplicateur, on posera la multiplication coomie il suit :
Puis on appliquera la règle, en vertu de laquelle on ne tient pas compte de*
IIULTlPUCATiON AmtGtn^ 135
Ainsi y dans notre exemple, Tunité d'approximation étant un millième 9 on écrit le cbin*e 3 des unités du multiplicateur sous le cbi£fre des cent-millièmes du multiplicande, et on pose ainsi la multiplication.
0,&89*i 058ft7 5768,sa
Cela fait 9 on multiplie le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur^ main^ allant de droite d gauche, on commence ^ seulement chaque multiplication partielle au chiffre dû multiplicande qui est au-^eseui du chiffre multiplicateur employé , en n^gligeant loue les chiffres de droite.
Ainsi 5 dans notre exemple, on multipliera 489605 par & , puis &896D par 3 , puis 4896 par 8, etc.
On écrit tous les produits les uns sous les autres^ de manière qus le dernier chiffre^ à droite^ de chacun soU sous le dernier chiffre à droite du précèdent. Puis on additionne.
Le produit trouvé^ on sépare sur sa droite deux décimales de plus qu'il n'y en a dans la fraction décimale qui marque Vap^ proximation. Puis , on barre les deux derniers chiffres à droite , et
on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé. Le nombre
zéros , qui donnent des produits nuls ; on peut, d'ailleurs , se dispenser d'ëerlre les z<^ro8 , mais à condition de laisser leurs places inoccupées.
1S& COtntS I^'AKltHlIÉTlQUE.
ainii ôhtmu èèt le produit â^ Homhrtu ébmMn^ appirdcM pèt défaut ùu par exêfy, à moim êfxsM unité Mcimûle de Voritê dùfini.
Dans notre exemple^ la fraction qui marque rapptt^tifliàtfM étant 0,001 , on sépare 5 chiffref à la droite du produit, ce qui donne 21,47758 ; on barre les drax derniers ^ 58; on augmente d'une unité le dernier chiffre cons enré , 7» et on a enfin 21,478 pour to produit de 0«&89605847 par 5768,34, à moins de 0,001.
ÙémimstraliofL
ùh Voit d'abord que \é& àltet% prodàit» pMiéh êtpHmênt um des unités de même ordre que le chiflh! du multiplicande MQS lê^ quel on a placé le chiffra des unités slinplè» dii multiplioateut ; (dans notre exemple, des eent'milliimts]. Gelft l^stllté dé la dispo*' sitioù fflêmé donnée ani cbUftes du mùltipllô&têtir, et de leurs pl&ceâ Sôusi le multiplicande. On le véfifte d^ailleors aMment comme il suit : Ex. : 0,48930 X S tittités Simples e^t UU nèiâbrê de cent - millièmes ; puis, allant de droite à gauche, on trouve 0,4895x0,4, qui est un nombre de cent-millièmes (0,0001x0,1= 0,00001) ; il en est de m6me de (ïM^ x 0,03 0,001 x 0,01 s= 0,00001); etc. On trouve, dé fpÈMim à droite, 0,489505 x 4 dizaines, qui est un nombre de IMt4ftillièmes (0,000001 x 10 = 0,00001) (*).
La somme des produits partiélk est donc un nombre de centmillièmes.
Le produit obtenu 21,47758 ii^èst qu'une valeur approchée par défaut, du produit des nombres donnés. Mais Verreur commise EN MOINS ne vaut pas autant d'unités décimales du dernier ordre de ce proMt qu'il y a ^unités dam la somnM de» valeurs absol%êe$ des chiffrée siiPLOir&ft comme rnukifUcateurs suoceseifs,
21,47758 est approché, par défaut, à moins de 33 cent-millièmes.
(*] D*une mHltiplication partielle à la fuiYante, les unités du multiplicande partiel s'élèvent d'un ordre, tandis que les unités du multiplicateur s'alMilssent d'un ordre; il y a compensation quant à Tordre des unités du produit partiel.
MUiTl^LIGATIOCI ABRÉGÉE. 135
Bd elM) dftftft éllaqiie mtlltfplleatloti partielle , nous ayons négligé la partie dn multiplicande située à droite da éhiflfire qui correspond an ebitfl^e mtiltiplloatenr. Cette partie négligée est moindre qtftiné ttMté dé l'Ordre dé éé defnier chiffré du muttlpliéande partiel employé ; of, ainsi qnll Vient d'être expliqué , une unité de éet ordre , tnultipiiée pâf le chiflire mtiltiplicateur, dftnne autant de ceflt-'^fliilUênies qu'il y a d* unités dans ce thlttte multiplicateur; donc l'erretff dtié, dans chaqdé AitiitlplicaUon p»tféU«^ à la dimlntitlOtt du inUtipHcâtade , i^é tant pa§ afitant de cent -millièmes qu'U y tt d'unités dàds le cliiflhê mtlltiplicâtetfr en)' ployé (*) . Faisant la somme des erreurs , on trouve que Terreur totale ne yant pas autant de oenl-millièmes qu'il y a d'unités dans la somme des valeurs absolues des chiffres multiplicateurs employés. Dans notre exemple , Terreur est moindre que
(A4.S^.é^«^7^5) oent-ttlllièmeS t= SS céhtmitlièmes
Mais cette somme des chiffres du multiplicateur est moindre que 100 ; donc, Terreur commise est moindre que 100 cent-millièmes, ou 0,001 , si on prend jplôtif produit 21,47758.
Donc enfin , si F est le produit exact des nombres donnés^ on a
Î4,47W» < P < M^67Mft mais tlÀII^ < 21,478 < 2147858 ;
déôé 21^4*^8 est tihë Vàleuf approchée de IP, par défaut ou par eiéès, à moins de Ô^bOl près.
la règle énoncée èsf donc ceftainemeht exacte, quand la somme dès valeurs absolues des chitTres employés comme multiplicateurs est moindre que lÔO, ce qui est le cas le plus général.
Si cette somme dépassait lOÔ (ce qui est très-rare, et qu'on peut savoir avant de multiplier), on écrirait le premier chiffre à droite
(') Ex. : dans la V multiplication partielle Ae notre exemple , on néglige la parUe du multiplicande qui suit 1^ 9« t'éiirâ-dite 0,000000847 ; mais cette partie négligée ne vaut pas une unité ée Perdre du à, c'est-à-dire 0,000^)01; or 0,000001 X 4 dizaines =0,00004; donc r^rreur commise, en négligeant le produit 0,000000847 X 4 dizaines est moindre que 4 cenU^millièmes, On peut Térito d« même féx hn màtxei nnUlèplieftiiom fârtMHéi.
136 COURS d'arithmétique.
du muUiplicaleur renversé sous le chiffre du multiplicande qui exprime des unités mille fois plus faMcs que Vunilé qui marque V approximation ; on a ainsi au produit 3 chiffres décimaux de plus que Von nen veut conserver (iMénoe démonstralion).
802. Complément de la règle. // peut arriver que, la multi' plication étant posée suivant la régie , certains chiffres du multiplicateur niaient pas de correspondants au-dessus d'eux , soit à droite , soit à gauche du multiplicande,
f CAS. Oa demande à un 0,1 près le produit de ^ilfik^l par 46375842; posons l'opération suivant la règle :
Dans ce premier cas, on ajoute à la droite du multiplicande assez de zéros pour que chaque chiffre du multiplicateur ait son correspondant, comme il suit :
et on applique la régie.
Puis, si Ton cherche comme il a été dit, n"" 201, une limite de Terreur commise sur le produit ,. on ne comprendra pas dans la somme des chiffres muitiplicatenrs les chifTres de droites 4,6, 3 , parce qu'il n'y a aucune erreur commise sur le produit partiel correspondant à chacun de ces chifTres. On commencera donc l'addition des chiflTres au 7, de gauche à droite : 7 + 8 + 4 + 2=21; 21 millièmes est une limite de l'erreur. En général , on ne cornprend pas dans la somme susdite les chiffres multiplicateurs employés qui n*ont aucun chiffre significatif à leur droite dans le multiplicande.
2« CAS. Trouver à moins de 0,1 le produit de 537,846257 par 637,94378564; posons lopération suivant la règle :
Dans ce cas , on applique la règle à chaque chiffre dumulii'
