Cette règle suffît grandement si on a peu d'intérêt à
connaître la valeur exacte du dernier chiffre conservé et le sens
précis de Terreur. S'il en est autrement, on pourra continuer ainsi : j4u produit trop faible obtenu , on ajoute le nombre d'unités décimales trouté pour limite de C erreur en moins ; dans notre premier exemple , c*est 33 cent-millièmes, La somme ainsi trouvée est évi*
{") On peut aussi faire servir cette règle à trouver un produit à moins d*une unité simple ou à moins d'une unité d'ordre supérieur; mettez simplement à moins d'une unité d'un ordre donné dans i'énoncé de la règle , puis modifiez, un peu la fin de cette manière : Taddition faite, on supprime les deux derniers chiiTres à droite , et on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé. Si l'unité simple indique Tapproximation , ou a ainsi le nombre demandé; si l*unité d'approximation est d'ordre supérieur, on ajoute à la droite du nonâbre obtenu autant de révo^ qu'il y en a après 1 dans l'écriture en chiffres de ronité ^l'approximation.
isê Gomift o'AiiiirftitÊTiQiri.
demmmi piu$ gta^Me quê h prodmi mad dH dmm nmnibm (fen^ nés. ÂlûM ùh a i
Le$ chiffre» de gauche^ commum ê eè$ d^M vêleun a^ffTi^kéet , appartiennent à la vraie valeur du produU Pi
Ailisi 34)477 esl vne takur àû P| «pprtwllét è iMist de &|001 partiMBltlt*
Il éA facile de Tbir qtfe ne mof ett m réduira pas to^ioufe
SOtf . Yokftiuie fMiarqae api^lteaUe à lontaa tea quaatiloos d'ap* proiiMatioO.
Le moyen h phiê géhéruf p^r connaître e œmê i mm ê b dfrni^ ^Mfftt imfilel on v^iàê s'mrrêHr dam un if^lmi ri '«^jmvtî meMàin qm$lcohqy^^ ts^fêê itvfértr irotim« ii tm êemand^H le nofnkre ehetché 4 iiioîfM d'unt unM dH ffirér^ immtdM$mmn4 mfér^mr à i'ftnUé d'ûpproêrimnHmn pr^p^séef pm$ ktm^liaî trouvé , on efface le tUttféer ûhiffhf. Si k i0tni9r vhiffre^ ^akuH dum 00 huÊf ëléH un 9» U faudrait m 49tc9^er fm df flu$, Ga vo^jm ffénéral ne doit être employé qu'à défaut de plus simple.
fixsBCiCES. Calculer À moins de 0^01 , le produit de 537^4«M27 par 4t 53784s Rép. 34389,02.
M, à moins de 04 le produit £134,5827 par 45)5S742t lîép. 24343,5.
Id. ^ à moins d'une unité le produit de 53,87426 par 58,4?dé428. Rép. 4065.
DttiMM Afii&li.
i06i II a'agtl d'obteik le quotiesC ùé la divisi^Q de dew Mmbres mtièri ot dédmaoa^ è inoioa d'iuM uoitig déeimalB d'vn ordre donné par un procédé plus court que la méthode ordinaire , et applicable s quel que soit le noMre des chiffres décimaux du nombre donné.
La question proposée peut toujours être ramenée ^ celle-ci : SOT. TVMti^er > fw nwy^n ^'mnë ^nité -, h quotient ék te (division de deux nofnbreé (fnHefà «U Éiftdmtftt*; , Éa eifet, soit proposé de trôuvéi', à ifiôiils de 0,001, \ë t|tloflëiit d^ deuA. Bmnbres.(p«e)€onqttes , 4e D, p^r d. Qq mi^litij^i^e 1^ çtividepde , D , par Tunité suivie de 3 zéros , ou 1000 ; on lehendia^ en*
MYlSlOft ABKÉGtË. lit
suttè, à itMHi d'ttM tiiiRê slriiple, le (Jtiotieiit Un tionrbrê aAnsl obtenu, iOOOD ^ par le diviseur d; ce quotient trouvé , on le divise par 1000; autrement dit, on sépare trois chiffres décimaux
sur m dfbttA. Le réMitit est le qMUêAt déMudé de D pftr d, à
môinl de 0|0(n .
la eftt^ sMt 9 M ^iiDtMm ftpptocMi I itoM dH&e Mrtié^ de
iOOOD}Mlrll^Oflaf
' iOOOD f < --^ <«+!«
est donè lé plitS ^rànd nombre de lûlllièmes contenus dans
la quotient de D pftr rf ; €• qil'il fallait ^auveri CMa ist fkcile à gfnértlteer»
Traitons maintenant la question générale à laquelle ùÊ fClMM les autres.
MÈTHont 01 «m^Ott AfiliÉetaL
208. RÈGLE. Pour obtenir y d motm d^unê wniié , le quotient de la divition de deux nombres entien ou didmeMù , on détermine d'or bord le nombre des chiffrée de la partie entière du quotient^ on prend enmite sur ta gauche du diviseur ce nombre de chiffres plus deux, et on barre les autres; puis onptend sur la gauche du dividende assez de chiffres pour atoir au moins une fois, et moins de dix fois le diviseur restreint. On divise ce dividende partiel par ce diviseur; on a un premier chiffre à gauche du quotient , et un prc" mier reste. On barre ensuite le dernier chiffre^ à droite, du diviseur que Von vienl é^eîtiployèr^ puis on divise le premier reste par le nouveau diviseur ainsi obtenu ; on a un deuxième chiffre du quo^ tient et un deuxième reste. On harre un nouveau chiffre à droite du diviseur ) on divise le 2* reste par le diviseur ainsi modifié; on a un troisième chiffre du quotient et un troisième reste; ainsi de suite > jusqu'à ce qu'oh mit éerii suecsssii^emenê au quotient autant de chiffres que doit en avoif là partie entière du quotient des deuàe nombres donnés. On a alors obtenu ce quotient à moins ^une unité.
iiS^O COURS d'arithmétique.
£x» ; On âemsmde , à moins d'une unité , le quotient de
538A627,3548267 par 825,34826432.
Déterminons d'abord le nombre des chiffres que doit avoir la partie entière du quotient de ces deux nombres. Pour cela , il suffit d*avancer, par la pensée^ la virgule du diviseur de manière à avoir un nombre qui contienne au moins une fois 5 et moins de dix fois le dividende ; il est nécessaire ici de l'avancer de quatre places vers la droite ; on conclut de là que le dividende contient 1000 fois le diviseur^ et ne le contient pas 10000 fois; la partie entière du quotient a donc quatre chiffres; nous prendrons donc six chiffres à gauche du diviseur. Pour plus de commodité dans ia démonstration de la règle ^ déplaçons la virgule dans le dividende et le diviseur de manière que , le quotient ne changeant pas, cette virgule se trouve à droite du dernier chiffre conservé dans le diviseur. Ayant ainsi posé la division^ nous appliquerons la règle précédente :
zd^fJiz
6524 est le quotient demandé à moins d'une unité (*),
DÉMONSTRATION. Posous, pour abréger l'écritùrc : = 5384627354,8267; (f= 825348,26432, et R= 63354,8267. On observera d'abord que nous n'avons opéré que sur les 5384627 mille du dividende D ; il est ensuite facile de voir qu'au lieu de retrancher de ce dividende les quatre produits partiels de la multiplication du diviseur complet > dy par 6524, nous avons retranché successivement des 5384627 mille du dividende, D, les divers produits partiels de la multiplication de 825348.26332 par
(*) Cette règle suffit toujours. Elle paraît, il est vrai, en défaut dans deux cas singuliers qui se présentent très-rarement; mais quand l'un de ces cas se présente, il n'est besoin d'aucune règle; car le quotient cherché se complète immédiatement sans calcul. (V. l'Appendice, page 142.) Gela étant, nous n'avons pas cru nécessaire de modifier notre règle, au risque d'en rendre la pratique et l'explication moins simples.
OltlâlOM ABRiôÉB. 4Ài
6524, exécutée par la méthode de mulliplieation abrégée , le cbiffre 6 des mille de 6524 renversé étant placé soos les unités simples du multiplicande , comme il suit :
4952088 mille.
P = 5384564 mUle.
Les multiplicandes partiels de cette opération sont précisément les diviseurs restreints successivement employés dans la division.
Tous ces nombres de mille ayant été successivement retranchés du dividende D, il reste 63 mille, plus la partie 354,8267 que les soustractions n'ont pas atteinte. Le reste total R = 63354,8267 ; nous avons d'abord D = P + U.
Ensuite le produit P étant inférieur à 825348,26432 x 6524 , ou d X 6524, d'une certaine quantité inconnue a, nous poserons d X 6524 = P + a ; d'où P =? d X 6524 -- a, et D = d X 6524 + R — « ; d'où enfin
On aura démontré que 6524 est le quotient de O par d , à moins d'une unité , si on prouve que Ton a en même temps : 1^ R •< d ; 2o a < d.
Or, d'abord, d'après le calcul, 63 est inférieur à 825 au moins d'une unité ; donc 63000 est inférieur à 825000 au moins d'an mille; et on a 63354,8267 < 825000, et, à fortiori , 63354,8267, ou R < 825348,26432, ou R < (/•
En second lieu, les unités du dernier ordre des divers produits partiels de la multiplication abrégée ci-dessus étant des mille, on a vu, p. 134 , que Terreur en moins, v, commise sur le produit, ou l'excès, a, du produit vrai 825348,26432 x 6524, [d x 6524), sur le produit approchi^ P, est moindre que 1000 x (6 4- 5 -{- 2 +4) ^ 17000; «<17000, et, à forUori,z<d = 825348,26432.
1^2 Q0BB1 ufâMmmtnQm.
Pçm 69ik «t te «wttint ebMrahé, à moiiift ^^ime <wltÀ
CMlfi id0«§»ftr«tiw ^Ukbltt resaclilude de la rô«l« pMr te w le plus ordinaire , celui oU la sommo des chiffres 4u i|Uûtieiil est moindre que iOO; alors a e^t moindre qu'une unité de la plus baute espèce du quotient multipliée par 100^ c'est-à-dire^ a est moindre que le plus peUt des nombres qui ont deux cbiflTres de plus que le quotient , or, la partie entière du diviseur d a deux chiffres de plus que le quotient $ dono a <C d.
209. Si la somme des chifljpes du quotient surpassait 1X)0^ il faudrait , pour (aire la division , prendre à gauche du diviseur, dès le commencement, trois chiffrai de plps que n'en doit avoir le quotient approché , et on appliquerait d'ailleurs la règle précédiHfite V. l9 i"' fteiparq^ dei'Âppendioe,
8i0- SciiQUK. he r^sonnemeat et la règle s'appliquent qael ipifi Mit te nombre de^ déetpalea du dividende ou da dii^ur, VOfi «e noBktoç soit Uoiité Ott illimité.
51 H. Remarqua L'égalité - = Ç524 + j — 3 WOtrç (|tte le
qaotteiitest approebé, par déCaut on par ei^, suivant que l'on
Ail> a,Olla>R.
Cooiiaissant donc une limite supérieure de a , on la eoraparora à R. Si on trouve R plus grand que cette lindte, on en eonelora que le quotient est approché par défaut, Ainsi, dans notre exemple, nous avons « < 170Q0 , et R > 17000 ; donc, 652/i est le quotient approché par défaut.
Si OR trouve m^ limite sppérieuro de « plus grande que R » on se s^tir^t 00 fionehiro d > R.
Ce moyen de connaître le sens de l'erreur ne réussisisant pas tOHJoocs, w i«ni reeoors, au liosoin, au 9u>yeB géoéral Indicé o<20â.
APPENDICE A U mVISIQIÏ ABRtGiS.
S ftSa Rehamoi ivronT^Ti, DiDi huit oai tur a on pant abréger davaiilige
Qua^ le premier chiffre du dfOfiMir Ml au ipott» égttl à^fOn peutne cendre à gauche du diviseur qu'un chiffre de pltu que ne doit en ri^ferm^ la partie entière du quotient. Ainsi , dans notre exemple, on peut prendra pour It' diviMur %'!Mh\ alon on roodiâe iëgèremeat la règle eorame 11 fm\\\
du l»* fe*«e , et on divise une seconde fois par le même divisewr 82^94} pms , «DT^ mtp flifiKian, ofi cQHl^fM^^ fw'voiK (^ r^fif géuéraif, n* ^ÛQ, ep gardant
Voici ropéraiion :
538462 j 785,48J«t | MJ|I*»1 826432.
Utij^llcitioQ wt trèê-«iiB]pie. Le dlvisear sarpasse 20000; l'errenr appelée « daai te talaeaneraeBl , page 141, se oonpese Id : l* de Perreur commise en négligeant le produit de 0,826432 par 6000, laquelle est moindre que 6000, et dans tous les cas moindre que 9000; 2* d'une erreur égale à 0,826432 X ÔOO, qui est moindre que 500; 3° d'une 8« erreur 4,820432X20, moindre que 200; 4« d'une 4* erreur 34,826432 X 4, moindre que 400; enfin de celle que Ton a eMnmise en ajoutant an léro au premier reste à la place du eliiffre suivant du 4l¥id«nëe , laquelle est au plus égale à 900.
99000 — 9000 a 11000; 11000 — 900=10100. Pour que la méthode fât en défaut, il faudrait donc que la somme des chiffres du quotient qui suivent le praoUer trouvé fût plus grande que 101. La simplification a consisté à transformer les limitas d'erreurs partielles en centaines au lieu de mille.
Ejomnpleê des eoi dinguliers. « 213. IV ÇéB. lift division étant préparée pqmme U ^\ indiijtfé Aime^ i« laicui
effectué, n* 208, il arrive que le premier diviseur restreint se trouve H^i-' quement reproduit 4 Ut flauc/^ 4^ iipide.n^., Oaitf cç «&«} ta qHQtiepUBiffOché, à moins d'une unité, dont on connaît le nombre déchiffres, s'exprime toujours par 1 suivi d'un certain fioiq|>ra d^ l4r<lS.
. t. r.«.«ro* «.«X- I 53876,2378942 1* Ex. : 53876534,27648... 1 ,^^^ ^ ' ^. ^
I 1000 par défaut.
ff BS. ; fi89YOI94,2T048...
1000 par ^ç^
11 ne peut se présenter que deui^ cas ; la virgule étant. avaRçéq im^ {e diviseur complet d'autant de places moins une vers la droite qu'i( dp|t y avoir
[*) Get^e simplification , qui peut se présenter 8 foU ^ur 9, noy^ partit trèsimportante à connaître. Elle augmente l'utilité de la méthode de division abré« gée qui , auasi hien que la m^thod^ de multipUeation, suffit dans tous les cas , iiiém9rpourla8.approxiinaUon» relatives.
ikk " COURS n'ARITHUÊtlQUE.
de chiffres au <iaotient approché , on obtient an nombre inférieur ou supérieur au dividende.
Dans nos exemples , on doit Tavancer de 3 places. Dans le premier on trouve ainsi un nombre moindre que le dividende; ie quotient est au moins 1000; il ne vaut pas lOOi ; car si on écrit le diviseur sous 1000 fois lui-même , comme il suit, puis qu'on additionne,
on aura un nombre supérieur au dividende, car la partie à gauche 53876 est augmentée.
Dans le 2* exemple on trouve un nombre supérieur au dividende ; celui-ci ne vaut pas 1000 fois le diviseur ; le quotient est moindre que 1000 , mais 11 vaut au moins 999 ; car si on soustrait le diviseur de 1000 fois lui-même, comme il suit :
le reste est plus petit que le dividende ; car la partie à gauche 53876 est diminuée; ie dividende est donc supérieur à 1000 — 1 ou 999 fois le diviseur. Dans les deux cas, lOOO est donc le quotient à moins d'une unité , par défaut ou par excès. *
Le raisonnement est général ; car son exactitude tient à ce que la partie entière du diviseur a au moins un chiffre de plus que celle du quotient.
214. 2« Cas. Il arrive qu'un des restes contient 10 fois son diviseur abrégé*
Dans ce cas, on ne continue pas le calcul; il suffit de mettre à la suite des Chiffres trouvés autant de 9 quHl reste de chiffres à trouver dans le quotient approché à moins d'une unité,
Ex. : Trouver le quotient de 2316686806, 1749 par 538765, 327 à moins d'une unité.
On voit facilement que le quotient demandé aura 4 chiJBflres.
Après deux divisions , ayant trouvé 42 au quotient , on volt que le reste 53874 pris pour dividende contient dix fois ie diviseur correspondant 5387 ; le quotient cherché est 4299, à moins d'une unité , par défaut ou par excès.
tn effet, soit R =53874806,1749.
Le dividende D =± d X 4200 -f R — a.
a étant l'erreur due aux 2 multiplications du diviseur incomplet par 4000 et 200, laquelle est moindre que (4 + 2) 1000, d'après le raisonnement connu :
EBKBUAft RBLATiVES. 145
Or, à eaose de 68874 < 53876^ R ne contleiit pas 100 foifl le dlviseari maii
il le contient an moins 99 fois; car si on soustrait le diviseur de 100 fois luimême , le reste 9 égal à 09 fois le diviseur, est moindre que R.
et cela iMirce qae la iMrUe à gauche 5387 se troaYe diminuée; donc «^ est au
a moins égal à 99. Or - < 1 ; donc 4299 est le quotient à moins d'une unité.
Ce raisonnement est général; car son exactitude tient à ce que la partie entière du 1** diviseur employé contient plus de chiffres que celle du quotient (*).
ERREURS RELATIVES CORRESPONDANTES DES DONNÉES ET DU RÉSULTAT D*ON CALCUL.
215. Notions générales. L'erreur commise sar un nombre donné on cherché peut être appréciée de deux manières : ou en elle-même et d*une manière absolue ; par ex. : Quand on dit que ce nombre est approché à moins d'un 10°'* , d'un 40*°* d'unité ; ou bien, comme une partie , une fraction déterminée du nombre sur lequel elle est commise ; par ex. : Quand on dit que ce nombre est approché à moins d'un lO^'S d*un UO^^ de sa valeur. Dans le l*' cas, l'erreur est absolue^ dans le second « elle est relative.
Il hnporte moins en général de considérer les erreurs absolues que les erreurs relatives; par ex. : Il importe moins de savoir si une longueur est approchée à moins d'un 10"*% d'un lOO*"* de mèlre^ que de savoir si elle est approchée à moins d'un 10'^°"% d'un 100'^*°® de sa valeur propre. Un particulier qui, possédant 40 francs ^ perd 1 franc , éprouve une perte relativement plus grande et plus sensible que celui qui, possédant 4000 francs, perd 10 francs , bien que 10 francs soient plus que 1 franc. C'est ici le cas de dire que tout est relatif.
(♦) A droite de 5837 (dernier diviseur abrégé), dans la partie entière de 53876532^7, il y a autant de chiffres que dans le quotient approché;; en effet de ces chiffres, les uns, 65 (chiffres barrés), correspondent un à un aux chiffres trouvés du quotient; les autres, 32 (multiplication par 100) correspondent aux chiffres à trouver. La partie entière du diviseur 538765,327 a 2 chiffres de plus que le quotient approché; la partie 5887 de 53876532,7 ne peut donc manquer d'être atteinte et diminuée dans la soustraction du texte.
ikê GOBBft D'AEiiHIlftXKiaE.
On emiçoll deno qu'en ait SMifent oeoask>a dan» tes applications de considérer les erreurs relalires ; nous allons donc nous en occuper.
216. DÉFINITION. Quant à la place d*nn nombre. A on met une valeur approchée M, on appelle SRREcm absolue la différence A — A' ou m — A ^ suivant que le nombre est approché par défaut , ou par excès , en moins ou en phis;
On appelle ebbeur BEt^AXIVB le quotient de V erreur absolue K~ A' par la valeur exacte A.
Dans Texemple ci-dessus des kO ft.^ la perte absolue est 1 fi*.^
et la perte relative — . Dans le cas des &000fr.^ la perte absolue
est 10 fr., et la perte relative jr^r.
aOO
217. Théorème. Si on neprend que le» m première chiffres d*un nombre entier ou décimal A, à partir du i^ chiffre eignifteaHfégmuchey à moins d'une unité de V ordre du dernier chiffre calculé ou conservéy la valeur approchée A!, considérés comme tun nombre d^unités de ce dernier ordre , exprime la valeur du nombre proposé A ^ avec
une erreur relative moindre qm ^ .
i«' ex. : Au nombre 5397^628 on substitue 53970009; on conserve U cbtffres y à partir du 1*' significatif à gauche ; Terreur re-
lative est moindre que tt^ = t^tt- '
lO' 1000 En effet, on a 5397/^628 > 1000 dizaines de mille (unités de l'ordre du 4* chiffre^ 7).
L'erreur absolue 5397b628 — 53970000 < 1 dizaine de mille. Donc Terreur relative
5397/1628— 53970000 1 dit. de mille 1
< rrxT-;: ; tit- OU
53974628 ^ 1000 dlz. de miUe 1000*
71" ex. : Au opmbM S7,3êà957M, qui a trop de décimatoB, m
substitue par approximation 57,384 (on prend 5 chiffres à gauche) ;
I erremr relative est Hooindre que — r ou
10 ' luooa
En effet, 57,384âMS6> «0,00^ ou lAC^M HÉlUèBiM
ERREURS REiATITES. 1&7
L'erreur absolue 57,38425726— 57,884 < i mllUème (195). L'erreur relative
57>8842$726-*-57,SS4 ^ iorilUème i
ou
57,88425720 ^ 10000 millièiMS lOÛOO
Q4uéraUs(»i8. Le nooibreAi <de renoncé) , est plus grand que 10*^^ unités de Vordre de son m'^' cbifire significatif, à partir de la gauche. L'erreur absolue A — A' est moindre que i unité du
même ordre. Pour ces deux raisons , Terreur relative -*— -* est
moindre que le quotient d'une unité par 10*^' unités,
218. iAff pour qu'an ioii assuré que i'srrmr 4ri)solu$ commise
sur un nombre ckfrÀé ssi îMÀndrs qu'ufi^ unU4 de son m^^^ chiffre
à partir de la gauche, il ne suffit pas néanmoins que l'erreur rela-
tive soit moindre que r^s=i ; ^^ U suffifi qu'elle soit moindre
En effet, prenons pour unité , u, Tunité du m"''"^' i'àiO*e*
On a d'abord comme précédemment 10"^' . w < A< lO^.w.
cela posé , si — — < j^s^ ou A — A' < t^spt* ^ ^^^^
de A>10*'"*.u, on ne peut garantir A— A' < \ ou
Mais si — — - < 7^5 ou A— A' < —gi , comme A<10"',ti,
10**^ Il
on peut garantir A— A' < — ^ouA— A<w.
219. Remarque. Si K désigne le 1*^ chiffre significatif à gauche du nombre A précédent, ce nombre A est plus petit que
(K+i)10"*~^u; il suffira donc que l'on ait '~T~< /irrixio"""*
pour garantir A— A' < u.
1/|8 GOUBS D'ÂaiTHMtTXQUE.
Après les exemples précédents» on comprendra aisément ces démonstrations.
220 L'erreor relative dn résultat d'un calcnl dépend naturellement des erreurs relatives des données de la question. Noos allons chercher comment la première se dédait des dernières dans la multiplication et la division.
La lettre A désignant une valeur exacte , nous désignerons la valeur approchée par la lettre aceeniuée AS et Terreur relative par la lettre a.
— - — = a, donne A — A' = aX A, puis A = A' +0. A; (m).
