Cas. La nomhrt donné est plus grand que
Ex. ; Ou propose d'extraire la racine carrée de 428319.
!l s'agit de trouver le plus grand nombre entier dont le carré soit contenu dans (i28319. Le noro!)re élant plus grand que lOO, la racine cherchée , au moins égale à 10, peut être considérée comme composée d'un certain nombre de dizaines, plus dos unités simples en nombre moindre que 10. Le carré dos dizaines , noral)re exact de centaines terminé par deux zéros, est tout entier contenu dans les 6283 centaines de 628319; lo carré du nombre de ces dizaines est tout entier contenu dans 6283; (255) ce nombre de dizaines, considéré comme un nombre d'unités simples, ne surpasse donc pas ta racine carrée de 6283, prise à moins d'une unité (261). // ne lui est pas inférieur non plus. En effet, supposons, pour fixer les idées, la racine de 6283 ^ prise à moins d*une unité, égale à 65 ; 65* est contenu dans 6283 ; i65x 1 0,', ou 65*xl00, est contenu dans 628300, et, à fortiori^ dans 628319; la racine de 628319 contient donc au moins 65 dizaines (*j. Ainsi donc , il y a au moins autant de dizaines dans la racine de 628319 qu il y a d'unités dans la racine carrée de 6283. Le nombre des dizaines de la racine carrée de 628319 n'étant ni plus grand ni plus petit que la racine carrée de 6283 , prise à moins d'une unité , est précisé* ment éga là cette racine de 6283 (**j.
Nous sommes donc conduits à chercher d'abord la racine carrée^ à moins dune unité, de 6283, considéré comme un nombre d'unités simples; mais 6283 étant plus grand que 100, sa racine, au moins égale ù 10, contient encore une ou plusieurs dizaines; en recommençant le raisonnement précédent , qui est tout à fait général, nous serons conduits à séparer deux chiffres à droite; puis à extraire la racine du nombre 62 restant à gauche , pour avoir le nombre des dizaines de la racine de 6283.
(*) On peut désigner par n la racine carrée de 4283 prise à moins d'une unité , et dire : n* est contenu dans 4283; le carré de nx 10, n* X 100, sera contenu dans 428300, et à fortiori dans 428319; donc il y a au moins nX 10 ou n dizaines dans la racine carrée de 428319.
{**) On peut démontrer la même chose par un raisonnement un peu différent que nous employons pour la racine cubique.
Enef ■^■
Q ^'Z^^'*^^ façllemeDt sa nu^e
carr ** .«^ ''îS<"lrf tf f a 6 dlzainçs tfani laracUiede
■ *^ .fVîS^f^tés de cette radne (**).
^ ^ae 6 diiaines , plus uq certain nom)ire
', qni contient le carré de cettf rmûat. ,
ines , plus deux fois cm 6 diiaina iml6-
i*!^"'" m /""" '^ carré de ces unités (254).
'"^^ /''^^ifaDcher de 4383 la première de ces tr(>ia çaf-
/^P^fZ.i6 X 100 = 3600. Le reste 683 conUent e^co^e
in ^^"^^tre de ces parties , le double produit des dlz^ne* par
t.* ^ esl comme un de ses facteurs, deux fois Wwatne», ter-
145 ""^ on léro; le dernier chiffre 5 du reste it'ço provient pa^,
«""^P^nii est tout enUer contenu à,ws, les 68 dizaûiçs dtt reste.
«t^^ea fonnent donc on Bombre égal an proijuit enqqestioq,
'^ QO noiobre pl«s fort. Si on divise &8 dizaine» par le facteqr
*^u de ce produit, 2 fois 6 X 10, oq ^3 dUataça, on aura pow
^(ittt( etiier l'autre (acteur, le chiffre de^ unités cbcTChéea, pu qn
jgomjire plus fort Diviser 68 dizaines par 12 dizaines revient ici à
4tviser 68 par 12 ; le quotient evff^ He. cette divistm est 5. Conifae
qons l'avons dlt> 5 est le chiC^e de^ «nités de la racine de &28.îi <M>
un nombre plus fort. Pour l'essaïcif, now( mettrons ce chiffra § &
U droite He 12, double an nonibre des dU^es trciai;éea ; 09 f<srnie
ainsi 125 = 2 fois 6 dizfkiues ph« $. ;^ vm mulMpUoP) ^2$ R^ 5
loi-même , wm w^oi», jfimr produit. ;
{*) Bunuquens «1 puuBt qucnooi tMnmea CMdait, sa tMd d^ inkcn- UmeoX fticéàtBX , t léptts GOnitamnieia dau ckWrM iwt l&(|:aiWj MHt •«<« te Dombre Testant à gwicbe a w mcdiu 3 «blffreii ^«Iqve W<^ V-' ><'^t !■ nombie proposé, il m trouveia ainsi partage en traDChes de deux chitTres, en miant de droite à gaache.
f") Il p«at De pu y avoir d'mittdi k k raoliM te MMtbNUM, (V- H re- NIRpie v^ iBlt la rtelfl gén,énle.)
(***] Daailapratiqae.on TotnmcksteeatréAe «wi M de la fMSOii» t<|pdM 41, et on abaisse, adroite, la tuneba i^vuta 88; en eIkt(6X 10]^ WlaU U ceBtalDta , eei M «aaUines h TrtnBebeat dUeeUawBt det 4]! aenUlnoB deti83;ilTesta6c«itaiiies, auxqiuUat U tul latatea l« H snlUt non wtplojfei; eequi doime bien le reste 6S3.
BACINE CAimÈE D^UN NOMBRE ENTIER. i99
2 fotft # âiniBM moltipltées par 5 , plus le carré de 5 , c'est }ustanent la aonme des deai parties qat doivent tire contenues dans 683 , si 5 n'est pas trop fort comme cliiffre des unités de la raeine de U8ft Or 1S5 X 9 19 6S5 peut se retrancher de 689 ; le reste est ië. ûono 5 n*est pas trop fort , il est bgn ; mettons-le à côté dn eUflire 6 desdiiaines, et nous aurons 65 pour la raeine de 628} ^ à Motns d*une unité. De plus , il est elaîr «ue 4283 — 65* » 58 (On a retranché en deu foie é% &9i3, êO»-}- » . 60 x 6 + S' =» 65«).
Cette racine 65 de AMI est , d'^après le premier raisonnement , le nombre des dizaines de la raefaie earvée du nombre 428349 ^ auquel nous allons maintenant revenir.
Il nous faut trouver les unités simples de la racine carrée de &28319, s'il y en a. Cette r^ciqe é|ant eepjposée de 65 dizaines , plus le nombre d'unités cherché ^ te noipl^r^ 428319 contient le carré de 65 dizaines .« (65 x 10)' ou 65* X f 00, plus 2 fois 65 X 10 X le nombre des unités , plus le carr0 d^ ces unités.
Nous pouvons retrancher de 428319 (a première de ces trois parties 65'XlO% c'est-à-dire le carré de 65 suivi de 2 zéros; en faisant çett«i 9ûu$»t(actio9« 0^ i^WF?i( évidemnient ^m rçio. \9, sons les 2 zéro^^» et $8, sous te efurr^ 4^ 65 \ ç'est-^^dûr^ a^w (^'9 teste est le Qoiidbre 58t&> qu'on obtient tovt «impiemeM w abai^s^nt > it i;Até 4a a* reste H^ l« dwA^« tr^Açbe 49 ^ ^Sg^lQ.
H^li^iu^^iit m^int^psipt cQiKvme M9m »vQns (sût pour «voir les unité» d^ te r^lœ dé kiU > pqv^ sefon$t em^iûtsi ^ séparer w cUSb^ wr la dcoit» d# $8t 9. et ^ ^Yimx te nooriv ^ 5»i p^r 6^x ^ Q9 i^O* U viotieirt eirtief d^ cMe division est 4 1 A^le nombre desimités de U f^eipe de 42931ft> w ha nombre plus fort ; ce nombre d'witf^ l^r^ A ^sicifipieAt > 4 m peut retrMdief du, reste 5819 les 4^91 R^rtie^ 2 fDiî$ 6$ dtaKimis «luUipUéeapaFft, plus k\ Four es- Wl4sr, w ^tt te €bi|^^ k adroite diidouble lïOde 65, et on multf]^ 4904 par i Qn towa «Inii )
(1300 + 4)X4 = (?.65Xl0-^/yx4 = 2.65xlQx4+4*.
Le produit 1804 X 4 = 5216 peut se retrancher de 5819 ; le reste est 603 : on en conclut que 4 est bien le chiffre des unités de la racine carrée de 42881#; on éerit ce chiffre à droite de 65, et on a 654 pour la racine carrée cherchée de 428319, à moins d'une unité
196 COURS D*ARITHMÊ11QUB.
Ayant retranché en deux fois de &28319 la somme (65x10)' + 2.65x10 X 4 + a* = 654% on a IrouTé le reste 603; donc 428319 = 654* + 603.
11 est évident que ce raisonnement se continnerait de la même manière , si après 19 il y avait d'antres tranclies de deux chiffres dans le nombre donné; 654 serait le nombre des dizaines de la racine du nombre que formerait 628319 suivi de la tranche suivante , et on raisonnerait sur ce nombre et les 654 dizaines , comme on a raisonné sur 4283 et 65 dizaines.
Voici le tableau des opérations :
864. Règle. Pour extraire la racine carrée d*tin nombre en- Her, on le partage en tranches de deux chiffres j en allant de droite à gauche^ la dernière tranche à gauche pouvant seule n'avoir qu'un seul chiffre. On extrait ensuite la racine du plus grand carré entier contenu dans la première tranche, en allant de gauche à droite; cette racine est le premier chiffre^ à gauche, de la racine cherchée ; on l^écrit à la place marquée pour cette racine , ordinairement d droite du nombre donné , que Von en sépare par un trait vertical. On Ole de la première tranche^ d gauche , le carré de ce chiffre ; à côté du reste y on abaisse la tranche qui suit celle dont on vient d'extraire la racine. On sépare le premier chiffre , d droite , du nombre ainsi obtenu, et on divise le nombre restant d gauche par le double du premier chiffre écrit d la racine. Le quotient entier de cette division est le deuxième chiffre de la racine , ou un nombre plus fort. Pour éprouver ce chiffre , on le place d droite du double du premier chiffre ^ et on multiplie le nombre aimi formé par le chiffre à éprouver lui-^méme ; on retranche ce produit du nombre que forme le premier reste suivi de la deuxième tranche ; .n cette sousirctction peut se faire, le chiffre essayé est bon, et on le met d la racine d la droite du premier. Si la soustraction est impossible y on diminue le
RACINE CABBtE D'UR NOMBBE ENTIKB. 197
chiffre d'une unités et on Vexsaye de fumreau : »'%l était enenre trop fort, on le diminuerait encore d*une unités etainndemifp^j»8qu''à ce que la eouêtracUon indiquée ait pu ne faire. Le dernier chiffre enayé ayant été min à la droite du premier chiffre de la racine^ on ahainee à côté du deuxième reste la troisième tranche du nnmhre proposé ; on iépare un chiffre $ur la droite du nombre ainn fttrmé. et on divise le nombre restant d gauche par le double du nombre acfuelîement écrit d la racine , double que Con forme et que l'on écrit à ce effet ; le quotient est le troinéme chiffre de la racine , ou un nombre plan fart. On V essaye comme le deuxième^ en le mettant à droite du double de la racine trouvée précédemment , et multipliait le n'ambre ainsi obtenu par ce chiffre lui-même^ pour retrancher le produit du nombre que forme le deuxième reste fuivi df* la troisième tranche. • st la soustraction ne pouvait pas se faire , on diminuerait le chiffre essayé d'une unités et on ressayerait de nouveau^ ainsi diminué. Lorsque la soustraction a jtu se faire ^ on met le dernier chiffre essayé ^ à la racine, à la droite des deux premiers; à côté du troi* sième reste , on abaisse la quatrième tranche ; on sépare le dernier chiffre d droite du nombre obtenu , et on divise le nombre restant d gauche par le double du nombre écrit à la racine, on essaye le quotient obtenu comme les deux chiffres précédents de la racine et ainsi de suite ; on continue de cette manière jusqu'à ce qu'on ait abaissé et employé toutes Us tranches du nombre proposé ; autant de tranches , autant de chiffres d la racine.
Il peut arriver, dans Time des r^lvlsions qnl donnent successivement les chiffres de la racine à partir du deuxième , à gnnche , que le dividende ne contienne pas le diviseur ; c'est que la racine ne contient pas d'unités de Tordre inférieur aux dernières trouvées à la racine. On met alors un zéro à la racine; considérant le nftmbre^ que forme le dernier reste suivi de la dernière tranche abaissée , comme un nouveau reste , on abaisse à sa droite la tranche sui-vante du nombre proposé pour continuer l'opération comme il a été dit{*).
(*) Car il résulte du raisonnement que sMl y avait une seule unité de Tordre en question , le nombre que l'on divise par le double de la racine contiendrait au moins le produit de ce double par 1, c'est-à-dire contiendrait ce double; ce qui est contre l'hypothèse ; donc il n'y a pas d'unités de cet ordre à la racine. Ije nombre de dlsahies que termine le séro que l'on vient d'écrire a pour carré le
196 coiia» D'ARnrVMitlQBI.
<;:reyaal «o chiffre à «tsayer^ trop fort de plmtevre «dites , on le diminue de jfiûê d'une Unité à 1% fois (*) f on peat alôn arri^ ver k no chiffra (rOp faiM^ On re^mnmât ^n'un chiffra pm V^ofn vimi de déterminer s eèt (rCp fntète^ ^nni U reêU dépasm ù domkiê de la radm trouvée.
En effet , k chaque cnloul pàrticiiUer^ on opère sur le nombtt que forment les tr&Detaes consId^éAs josqUâ^là, oonitan ei c^étatt un nombre d'nnilés simples , non suivi d'antres trahdi^ SOU N ee nombre» n la raelne trouyile> et r le resta \ n doit être le |^ grand nombre entier dont le oalté soit compris dans N. D*aprAs notre raisonnement , N s» n* 4« n Gomparons N à (li «f 4)* &&
Si r ne surpasse pas 2H9 N est tefértour à (n -f i)*, et n répond à la question ; il n'est pas tl^ faible^ 61 , au contraire^ r dépasse .2ii5 il est au moins égal à Sn 4- i » et 11 au moins égal à (M + 1)* ; par conséquent » n est trop faible. Puisque N contient le carré du n<Nnbre suivant » il faut augmenter le dernier chiffre de n^ (fostà-dire le dernier chiffre trouvé « d'we ImiCé» et ressayer 4s In même manière»
Il résulte évidemment du raisonnement que si le dernière soustraction ne donne pas de reste 9 le nonribre écrit à In faclne est la racine exacte du nombre donné > lequel est alors dn ceM parfait.
265. Prëuye. Pour faire la preuve de ropérutlon^ on âève eu carré la racine trouvée i à ee carré on ajoute le reste 1 le résnitat de cette addition doit être le nombre donné (N a fi« 4^ R).
Remarqub. Bn efléctuani les soustraoUons indîqttiées par lA règle » d'une manière analogue à on qtti Se Mt dans la division , on abrège récriture* Voilà le calcul pour reteniple d-destas :
carré de la racine précédemment trouvée, suiri de deai xéros; ce carré retranché du nombre proposé , on a biçn le reste avec lequel oa conUaue.
(*) On peut démontrer que si le nombre déjà écrit à la raeioe» et dont la ifouble sert de divifeur açtifelleaient, est 6 oa un nombre jplua sirand» i6 i|UOt|snt
RACINE GAAite D'OMË PIUCTIOM. IM
D9 CABBt iT i S iià KACIVS CAItRtP D'UNE n ACTION*
M8. Od ftHtie le carré ff^e tnttitm et élevaiit te nmêraiw ai tarré , et le 4éhwAMt»Êt au earré.
267. TMOBtalE. Pour qu[une firaclUm irréductible soit un carré, il fimt el il tuffH iquè tei deux ttrmei soièfit dès tarrés.
Ed effet , supposons qo'uDè fraeiloi» inéductible - soit le carré
d'iuie autre fraetloQ r ; nous povvoni to^tonrs supposer ^ Irré é^tMé \ tar, M elle m Ktaft pas , oa fpMTVMt ta rMaire. Cela
poaé, QOiis avons « = ( x ) =^ it* ^^ ^ ^^°^ premier avec 6 ,
A* a* est prawiar avec i', et n- art «se fraction irréductible. Par
conséquent, on doit avoir A = tt' et B =:â 0^(130), feM-à^dife que A et B sont des carrés. La repdMo» M^Ufui^ est ^c nécessairement remplie.
RédproquéifteM , âl on a A = A^, B = ft*^ évidemment - =
- s (-] ; c'e^Mk^dlre que ^ est umcarrC»
Là naailtiw étooicét ttt ipffi6aât»«
Une frjaçtion Irréductible dont les deux termes ne sont pas des 4»rnfe vféii dMa p^a te «arré 4'ane autre fracUoi^ i copine eUe est encore moins le carré d'un nombre entier, sa racine est un nombre inconm0mur0Us 9 ei pe feul étrt évali^ quf par ap-
piQ^SInwffiWu
.ÊX.t Y^.
entier obtena ne peut jamais surpasser de plus d'une unité le chiffre cherché ; si donc on le trouve trop f6rt , Il ne TàHl jamais , dans te cas y le diiniilit^^ 4^
200 COUaS D'ARITHMÈTrQUK.
