Ex, : 1^02 à 0,00* pj^s

MOI peut s'écrire r-;^ 9 on MvttipUe àt par ^ <Nywé â« lOM

IQQO

(276), bu runité suivie <le mérosi n 09 extr^t U r^cta^ (]>4 {(2(^iQQ0Q à moins d'une unité ^ et c^Ue r^çioe (couvée , c^ la divi$ie p^ laQO, c'est-i^-dlre, ço sépare S ç|ii{ftesi UOcimaui^ w 1^ iXo\{^ Vvi = 6.M^ & moin^ de 0,001 <

Qans le cas d'un UQiubre entier» «n ^ tmiP^H^ eoiMl^U ^ te talr^ suiTTf ^e deux (oja ai^pt de lévos ^ la rvim dpH a?Q^ det cbiffires décimaox.

I* Bk. : Trouver la ractae earrée de 89 jj à »,0M près.

Quand on a multiplié ce noiK)|r« \QW^ o^ iOQOQOQi ce q«l

donne S9000000 4- ^ ; , ; on extrait les entiers de ^il^f —

* i% li ;

9U les Mta( k s«00«MO, en laiwam â« <sOté lu fra«||oi ea»pl«r

mentaire ; puis on continue sui^i\i|t ls| règle*

Dans le cas d'un nombre fractionnaire , le calcul revient à convertir l«! «Qi^bre dmn^ e« ma nonUm A^^VAitt «yant 2 fois autant de décimales qu'on en demande à la racine , puis à ex- Uaire la raci^ <m !Mm)>re déc)(ual 1 ^mIy^i^^ ^ rèil» 4ft ^* III-

V ]fe, ^ T?o»ver 1? HKstae 4ie $*?i*W * 0,001 Brt»-

537,^89 X 1000* = S^l^SSOQO. Qa «Ktif?^ ^i |Miiee»r4e 4e

e« dénier wm^e > H «K)iii9 4'ilM H«M« Â o« #4BWe tf«ift 4éci-

3« ex. : l^ 3f9,5732643278 à moins de 0,001.

On multiplie le nombre donnée par i 000» au 1906009, ee qui se fait en avançant la virgule de 6 places ; on trouve iiiisi :

31957W64,aî78 ;

il faut extraire la racine de ce produit ^ à moins d'une unité; on laisse de côté la fraction décimale 0,3î18, (275) et on extrait la racine de 319573264; à la droite de cette racine, on sépare 3 chiffres décimaux. Cela revient évidemment à prendre les 6 pre-

208 GO0R8 D'ANTHMÊTIQUB.

miers décimaux du nombre donné, en supprimant tous les autres, puis à extraire la racine du nombre résultant 319,573264, à moins de 0,001.

279. Remarque. Quand le nombre décimal donné a ou doit avoir plus de deux fols autant de cbiffres décimaux qu'on en demande à la racine, on ne prend à la droite de la virgj^ie que ce nombre double de chiffres décimaux; laissant de côlé tous les autres, on applique la règle à ce nombre décimal abrégé comme s'il était donné à priori. Ceci est vrai , quel que soit le nombre des chilTres décimaux du nombre donné, qu'il soit limité ou illimité.

H résulte de cette remarque que, si les chiffres décimaux du nombre donné doivent s'obtenir par des calculs préliminaires à l'extraction de la racine carrée, on peut se borner à calculer 2 fois autant de ces chiffres décimaux du nombre donné qu'on en demande à la racine , pour substituer ensuite au nombre donné le nombre décimal ainsi obtenu.

Hâtons-nous de dire que, dans ce dernier cas, il n*est méjoae pas nécessaire , en général , de calculer 2 fois autant de chiffres décimaux du nombre donné qu*on en demande à la racine. C'est ce que nous montrons page 21?.

Méthode abrégée pour extraire la racine carrée.

&80. Quand la racine carrée d'un nombre entier doit avoir an assez grand nombre de chiffres, on peut trouver la racine plus rapidement que par le procédé ordinaire.

Ayant trouvé un certain nombre de chiffres à gauche de la racine, n chiffres, par exemple, on peut, en général, trouver 2, 3, ... jusqu'à n — i nouveaux chiffres de la racine par une sûnple division.

Règle Supposoins^ par exemple^ qu^ayant trouvé le» u premiers chiffres, à gauche ^ de la racine carrée d^un nombre entier donné, lesquels forment un nombre a , on veuille trouver n — 1 nouveaux chffrex de cette racine. On connaît ou on peut connaître le rente de la souttraclion de a' ôlé de Vensemble des n première^ tranches à gauche du nombre proposé A droite de ce rente ^ on abaisse lesu — 1 tranches suivantes; sur la droite du nombre ainsi formé, on sépare n — 1 chiffres; puis on divise le nombre restant à gauche par ledou*

MANIÈRE ABBÉGÊE D'EXTBAIRË LA RACINE CARRÉE. 209

blede la racine trouviCf par 2sl Si le quotient entier de cette division n'avait pas n •— 1 chiffres {autant qu'on a abaissé de tranches nou-velles) , on le compléterait ci n — 1 chiffres en mettant des zéros à sa gauche ^ cela fait , on écrit ce quotient à la droite de a ; /e nombre ainsi formé est la racine, à moins d'une unité , par défaut, ou par excès, du nombre que formait toutes les tranches employées.

Veut-on savoir \i la racine ainsi complétée est approchée par détaut, et dans ce cas, connaître l'excès da nombre composé des n-f n— 1 tranches employées sur le carré de cette racine. On abaisse à côté du reste de la division les n — 1 chiffres séparés à droite du dividende, qui n'ont pas été employés dans cette division ; du nombre ainsi formé , on retranche le carré du quotient i si la soustraction peut se faire, la racine complétée est approchée par défaut, et on a le reste demandé. Si la soustraction ne peut se faire , la racine complétée est approchée par excès y et il faut diminuer le quotient de 1 avant de l'écrire à la racine, si on veut que le dernier chiffre, à droite, de celle-ci soit exact.

Pour avoir l'excès susdit dans ce cas, au reste de la division on ajoute le diviseur ; à la droite de la somme , on abaisse les n — 1 chiffres qui 5 séparés à droite du dividende , n*ont pas été employés dans la division ; puis, du nombre ainsi formé , on retranche le carré du quotient corrigé. Le reste est l'excès des n -|n^i tranches du nombre sur ie carré de la racine corrigée. . Nous allons appliquer et démontrer cette règle. Nous supposons pour fixer les idées que la racine cherchée ait seulement 5 chiffres.

Ex. . \/ 3276724826.

Voici le calcul :

310 CODIS O'AimBtTIQOB.

Ayant trouva par te procédé orAnaire les 5 preoilerft chiffres à gaocbe^ 572^ de la radiie » et le reste U8S , on abaisse à droite de ce reste les deu tranches suivantes du nombre proposé; on sépare 2 chiffres sur la droite du nombre ainsi obtenu ^ et on divise le nombre restant à gauche &88/i8 par le double de la racine trouvée, 2 fois 572 on 11^4 ; le quotient entier de cette division est 42; on récrit à la droite de 572. Le nombre ai^ obtenu, 57242 est la racine du nombre proposé , à moins d'une unité par défaut ou par excès.

Nous avons fait la vérification indiquée dans la règle. Ayant abaissé à droite du reste 800 de la division les 2 chiffres 26 non employés dans cette opération , nous avons retranché du nombre ainsi formé 80026 le carré du quotient 42.

La soustraction peut se faire. 57242 est la radne carrée du nombre proposé , à moins d'une unité , par défaut , et

DfiMOMSTBATION.

La racine cherchée devant avoir 5 chiffres , 572 est le nombre des centaines de cette racine ; celles se compose donc de 57^00 plus un certain nombre b moindre que 100 ; le nombre proposé S276724826 contient donc le carré de 57200 + ( ou

Ayant retranché 57200' de ce nombre proposé, on a eu pour reste 4880000, plus la partie non employée 4826, en tout 4884826. Ce reste contient encore les deux dernières parties du carré cidessus ; la 1'* de ces 2 parties 2 x 57200 x b , nombre exact de centaines est tout entière contenue dans 48848 centaines du reste; les 26 unités ne peuvent en faire partie. Si donc on divise 48848 centaines par 2 x572 ou 1144, û partie entière du quotient sera 6 ou un nombre plus fort (*).

{*) C'est ce qui conduit à la méthode; on reauff^nera l'analogie de ce raisonnement avec celui que Ton fait habituellement pour trouver, un à un > lea cbifflres de la racine canée qui suivent le t*' trouvé.

MANIÈRE ABRÉGte D*ttTKAIRS U RACINE CARRÉE. 211

IfaOi 4IIMS montrer qae ni c« quotient êniier dépasse 6 , il ne peut dépasser b + ^* En ettétf le nombre donné ayant potit racine carrée^ k moins d'nne unité, 57200+6, est moindre (57200+ 6+l)« ou

57200» + 2 X 57200 x (6 + 1) + (ft + 1)\

Quand du nomt>re donné on a retranché 57200* , le reste &88&826^ et à fortiori àS8&800 est motodre que 2 x 57200 x (b-\-i) + (b+i)*. Donc, le quotient entter de (»884800 par 2 X 57200, ou plus simplement, le quotient de USSM par 2X572 ^iikh est moindre que le quotient de 2 x 57200 x (6+ 1) -j- (6 + 1/ par 2 X 57200.

Or la partie entière de ce dernier quotient est justement b+l ;

(fc+i)' car ^ — ' ■ est moindre que 1 ; en effet, d'après les hypothèses

de la question, on a b-\-i <100, et en même temps 6 + 1 <2 x 572, d'où (6+l)*<2X 572X100. Le quoUent entier 42 de 48848 par 1144 est donc au plus égal à 6 + 1 ; donc 57200 + 42 ou 57242 est la racine carrée , à moins d'une unité , par défaut ou par excès , de 3276724826. Ce qu'il fallait démontrer.

Quant à la vérification et au moyen indiqué dé trouver le reste final , il suffît d'observer que dans le courant de l'opération on a retranché du nombre proposé, l"" 57200^; ce qui st donné le 1'" reste 4884826 : 2"* en faisant la division , on a rétranché (1144 x 42} centaines == 2 X 57200 X 42, ce qui a donné un V reste 80026; Z** on a retranché 42' , ce qui a donné le reste 78262. On a ainsi retranché en tout 57200*-f2.572x 100X42 + 42*, c'est-à-dire (57200+42)' ou 57242*. On a donc 78262 = 3276724826 —

Remarque, Pour que ce raisonnement réussisse ^ il suffit que 6 + 1 , ou la partie à trouver de la racine , augmentée de 1 , soit moindre que 2 fois 572 , le double du nombre déjà écrit à la racine. On conclut facilement de là que si le premier chiffre à gauche est 5 ou plus grand que 5 , une division unique comme celle que nous venons de faire , peut donner autant de nouveaux

COURS D'ARITHMÊTIQnB.

chiflTres de la racine qu'on en connaît déjà. Ainsi pour 327672&82678 ayant trouvé 3 chiffres , on en peut trouver 3 autres par la divi • sion. En effet, dans ce cas, 6-1-1 au plus égal à 1000 serait moindre que 2 x 572, nombre de 5 chiffres. Le raisonnement est le même ; il n'y a qu'à dire mille au lieu de centaines.

Quand on applique la méthode précédente h l'extraction d'une racine carrée , qui doit avoir beaucoup de chiffres , on calcule les 3 premiers chiffres de cette racine par le procédé ordinaire ; puis les deux suivants par une l"" division , ce qui en fait cinq ; puis U de plus par une 2« division , puis 8 nouveaux par une 3% etc

Employons la méthode abrégée à calculer K2, à moins d'une unité décimale du 15* ordre, afin de montrer la disposition des calculs successifs.

1" calcul par la méthode ordinaire :

Première division.

1*' reste

lO.Q

1/il