Uxti 28.1X

Racines.

1^ approximation 1,M

2* reste

Deuxième division.

2* approximation:

Troisième division,

3* reste

3* approximation 1.41421356.

ERREUBS RELAHYES DU CARRÉ ^ ETC. 213

6712126Zi0.000000.

Quatrième division.

< U* approximatton :

875M2560 4. MMl 3562373095.

Ne devant pas continuer, nous ne formons pas le carré de 2373095 ; ce carré aurait au plus 14 cbiffres ; et le nombre dont il faudrait le retrancher^ 143663600000000^ en a 15. La soustraction est possible.

Erreurs relatives du carré et de la racine carrée,

281, l'erreur relative de la racine carrée est la moitié de terreur relative du carré. »

À étant la valeur exacte d'un nombre , A' nne valeur approchée et l'erreur re-

A — A' lative — i — =:a;ona A=A'+a. A. (1)

Élevant un carré , on trouve A* = A'« -f 2a. A' X A + a*. A« ;

D'où on déduit , ^* Ii^ ' = ^^ '^ X" "^ *' ^^'

De l'égalité (1) on déduit A'=A — a.A=A(l— a); d'où r—*— a» Puîs

A' 2a. X r= (^'~<'^)X2a= a*. Substituant cette valeur dans régalité(2), on trouve

a* étant ordinairement une fraction très-petite de a, on néglige a* auprès de 2a ; la petite erreur que l'on commet par là étant d'ailleurs plus que compensée , comme on le verra, dans toutes les applications. Au lieu de l'égalité (3\ on écrit donc celle-ci :

Étant proposé d'évaluer par approximation la racine carrée d'un nombre dont on ne peut obtenir les différents chiffres que par des calculs préliminaires à l'extraction de la racine , on peut appeler A* la valeur exacte du nombre pro-

21/i Goras d'abithmétique.

posé , A'* une des valeurs approchées qu'on en peut calculer. Extraire la racine carrée de A'* au lieu de celle d^ A*, ic^esl reon^aeer A par A'. Cela posé, la comparaison de ces 2 égalités :

coi^duit à eette eoiuîl^fl^on : Verreur relative de la racine carrée ett la moitié de celle du carré.

Application au calcul abrégé de la racine carrée fipprochée

d'un nombre.

282. Ainsi que nous l'avons vu ^f traijre , la r^ine carrée d'un nombre donné

quelcopque,N|àwinsd'^peunlt4déçifl|ff)0(|i^n*^<p>« ordre, —, §e ramène à extraire à moins d'une unité la racine carrée du produit N X iO*«*. On Gonnait ou on peut aisément connaître le nombre des chlffires de la partie entière de N X 10**»»; on tire alors parti de la règle suivante :

Règle. Pour calculer à moins d^une unité la racine carrée d^un nombre quelconque, A, si cette racine doit aroirn chiffres , il suffit de. connaître les n + 1 premiers chiffres à gauche de la partie entière de ce nombre donné; counaissant cesn + i chiffres , on les fait suivre d'autant de xéros qu'il doit y avoir de chiffres en plus dans cette partie entière. On extrait à moins d*unê unité la racine carrée du nombre ainsi formé; cette racine trouvée , on V augmente d'une unité. Le résultat est la racine du nombre donné A , à moins d'une unité par défaut ou par excès.

Démonstration. Au nombre do^né que nous appellerons A*, on substitue ane valeur approchée A'* dans laquelle on a eonsOTé les n + 1 premiers chiffres à gauche de la partie entière de A*; on extrait la racine de A'* à moins d'une

unité; l'erreur relative du carré. A*, est moindre que ^ — ; l'erreur relative de

la racine A est moindre que rX-rr;^ (281). On peut donc eompter sur les fi

premiers chiffres à gauche de A à inoinç d'une unité du ni^me chiifre de cette racine , lequel est justement le chi£E^e de ses unités simples. Cette racine de A' est toujours plus faible que la racine de A ; en l'augmentant d'une unité , on est donc sur d'avoir, à moins d'une unité par défaut on par excès, la racine carrée de AH.

Pour être sûr de l'exactitude du dernier ehiffre de la racine carrée de A, on peut employer le moyen général indiqué n» 205.

Ex. : Calculer y/ [/-^ 4 q^oIbs de 0,001.

(*) Bien que les racines A et A' ne différât pas d'une unité, leurs pariies entières peuvent différer d'une unité.

DU CUBE £1 0£ LA RAaNE CUBIQUE. 215

On doit extraire la racine carrée ë*ane radne carrée qui n^est pas encore extraite. Si la racine carrée de 2 était connue, on la multiplierait par 1000*, puis

on extrairait la racine carrée de 1 000*X 1^2 à moins d'une unité ; mais 1/^2 n'a

qu'un chiffre à sa partie entière; celle de 1000» X l/2"= V2XIOOOOOOOOOOOO en aura 7 ; il suffit d'en calculer 4 et de les faire suivre de 3 zéros. Ces 4 chiffres sont 1141 ; en extrayant la racine carrée de 1141000 à moins d'une unité, on trouve 1068 ; 1,069 est Ij» racine carrée de la racine carrée de 2 À moins de 0,001 par défaut ou par excès.

11 n'y a lieu d'appliquer ce qui précède (depuis les erreurs relatives), que dans le cas où les chiffres que l'on remplace par des zéros ne sont pas connus.

Pour l'extraction effective de la racine carrée à moins d'une unité, on pourra

employer la méthode abrégée du n« 279 (V. cette içéthode et le calcul de k 2 comme modèle).