J CUBE ET DE LA RAGI19B CUBIQUE

&B7. Lorsqu'un nombre entier n'est pas le cube d'un nombre entier y il n*est pas non plus le cube d*un nombre fractionnaire. Même démoDstration que pour le carré (Y. n"" 258).

^txl est un nombre incommensurable^ c'est-à-dire qui n'a pas de commune mesure avec Tunité. On ne peut calculer cette racine qae par approximation.

288. Le cube i^un produtt est égal au produit du cuhe de ses facteurs [V. le n« 56).

Vour qv^un nombre entier soit un cube, il faut et il suffit que les exposants de ses facteurs premiers soient des multiples de 3.

Même explication que pour les carrés (257).

Lorsque tous les exposants des facteurs premiers d'un nombre sont multiples de Z, on obtient la racine cubique de ce nombre j en formant le produit des mêmes facteurs affectés d'exposants trois fois moindres.

Ex. : 216000 = 2» X 3* X 5»; 1^216000 = 2* X 3 X 5.

Corollaire. Tout nombre diilsible par l'un des nombres premiers 2f 3, 5fl..., n'est pas un cube parfait ^ s'il n'est pas divisible par le cube de ce facteur premier.

Le cube d'un nombre terminé par un ou plusieurs zéros 5 doit être terminé j^ar 3 fois autant de zéros qu'il y en a dans le nombre proposé lui-même ; cela résulte àfi la règle de multiplicaUon.

Le cube £un nombre exact de dizaines est un nombre exact de mille. Le cube de a dizaines, a X 10, égale a' X 1000 ou a* miUe

Un nombre terminé par zéro n'est pas un cube parfsdt, s'il n'est pas terminé par un nombre de zéros multiple de 3.

Nous voici arrivé à l'extraction de la racine cubique.

289. Quand on extrait la racine cubique d'un nombre entier donné, on se propose de trouver le plus grand nombre entier, dont le cube soit contenu dans le nombre donné. On obtient alors la racine cubique exacte du nombre proposé, quand c'est un cubé parfait ; dans tous les cas, le résultat trouvé est la racine cubique du nombre donné d moins d'une unité.

En général , on est convenu d'appeler rf^ne cubique d'un nom-

218 coûts d'arithmétique.

bre quelconque 9 d moins d'une unité, le plus grand nombre entier dont le cube soit contenu dans le nombre donné.

Dans TextractioD de la raciojs ciibpque d^uo nombre entier, noas considéreroQS deux cas; oelui ou le DQoibre dofiné est inféiiear à 1000 ou 1 OS et celui où i^ est au mo^n^ égal à 1000.

290. 1'' CAS. Soit proposé d'extraire la racine cubique de 2$§.

Le plus grand cube contenu daos 2$$ ne peut êjtre ,<^ue Tun des cubes des neuf premiers nombres. On doit connaître Cj^s cubes p^ cœur ; on sait alprs In^médiatement quel est le plus grand d'entre eux contenu dans 258.

Quand on ne connaît pas les cubes , on les calcule par ordre de grandeurs croissantes , jusqu'à ce qu'on en trouve un qui dépasse 258. De l'une et de l'autre manière , on trouve facilement que le plus grand cube entier contenu dans 258 est 216 , dont la racine est 6. On dit que 6 est la racine cubique de 258 à moins d'une unité.

29}* 2* CAS. Le n&mkre donné e^tplus grand que 4000.

Ex. |>^24586(i8iS.

Ce qoo^bre surpassant 1000 5 sa racine cubique ,« au moins égale à 10, peut être considérée comme composée d'un certain nombre de dizaines , plus un nombre d'^oiiîtés moindre que iO. Soit a le nomlM'ede ces dizaines de ia radne ; le nombre proposé 2^586&8i9 contient le £ube de a dizaines , (iz x 10)' = a' x 1 000 , (a^mille) , et ne contient pas le cube (a+*) dizaines, [(a-|-l)X10]*=(a'f-t)*X 1000, (a+l)»mille.

Le nombre 2/1^5864 des mille de ce nombre proposé est donc au ncrins égal à a*, et moindre que {a-^-ïY :

Il résulte de là ipe a est la radne euluque de â45864 , prise à moins d'une unité (28d). Nous allonsdonc chercher la radne cubique de 245864 considéré comme un nombre d'unités simples , et nous ne reviendrons à 245864640 que lorsque nous aui;ons sa racine cubique de 245864.

Uais ce dernier i[iombre ét^nt plus grand que lOOid 9 la racine plus grande que 10 contient des dizaines et des unités, &L le même raisonnement nous conduira à séparer 3 chiffres sur la droite et à extraire la rai^ne cubique de ^45 pour avoir les dizaines die celle