AB? — AC? = BC (BD . DOY=BE

Désignant par a, b, c les côtés opposés respectivement aux angles A, B, C, a étant l'hypoténuse, on a

a — hp + €.

Cette proposition , la 47° d’'Euclide, et la plus importante de toute la Géométrie, apprend à trouver la longueur de l’un des côtés de

MATHÉM, PURES. T, I. 16

tout triangle rectangle, connaissant les deux autres; on a, en éffet,

a= y (b+c), et b=y (a — 0).

Rapportant donc les côtés a, b, c à une unité, on en mesürera deux (n° 175), et l’on conclura par un calcul simple le nombre d'unités du troisième. Soit, par exemple, b= 8, c— 4, on trouve æ —9 LL 16—925, d'où a— 5,

La réciproque de cette proposition résulte des deux suivantes. On peut, au reste, démontrer directement que si AC? — AD? DC: (fig. 15), le triangle ADC est rectangle : car, nienons DB perpend. sur CD, et prenons DB — AD); le triangle DCB est rectangle, et l’on a CB? — DB: + DC'; ainsi, CB? — AC, et les deux triangles ACD, BCD sont égaux. Donc l’angle 4DC = CDB = 1 droit.

222. Le carré d’un côté de.tout triangle quelconque est égal à la somme des carrés des deux autres côtés + le double du produit de la pro-

jection de l’un de ces deux côtés sur l’autre, multipliée par ce dernier côté.

On prend quand le premier côté dont on cherche la valeur est op- :

posé à un angle obtus, et — quand ce côté est opposé à un angleaigu.

En effet, si l'angle Z (fig. 64) du triangle BC est aigu , en abaissant la perpend. BD sur 4C, on a it trianples SERA CBD, ABD qui donnent

en désignant par a, b, c les trois côtés BC, AC, AB du triangle, et faisant 4D = x. Or, DC — AC — AD — b — x; en substituant, il vient

PET + © — 2br.

Si le triangle proposé a son angle 4 obtus, comme cela arrive

Ici x désigne le segment adjacent à l'angle 4 Li est opposé au côté a dont on cherche la valeur.