COM PERE AB BC

Fab se Vo 70 ———

ab + be + cd +.... bc

En appliquant ceci aux polygones Se Re même nombre Ne ABCD AB OB

de côtés, on a SERRES à 0 ES LRO AT": (Hg: 121) , parce

que les triangles OBT, Obi sont PER comme ayant les

angles au centre égaux (n° 235) ; ainsi, les périmètres des polygones

MATHÉM, PURES, T, I: 17

réguliers semblables sont entre eux comme les rayons des cercles inscrits et circonscrits.

246. La circonférence est la limite des polygones réguliers inscrits |

et circonscrits (n° 113). Chaque côté 4B (fig. 122) d’un polygone

régulier étant plus court que l'arc CB qu’il sous-tend, on voit que

la circonférence rectifiée est plus longue que le périmètre de tout polygone inscrit. De plus, prenant Gau milieu de l’are BCA, on a la corde 4B <° AC + CB, ce qui fait voir qu’en doublant le nombre des côtés d’un polyvone inscrit, le périmètre approche de plus en plus dela circonférence, sans cesser d'être plus petit qu’elle. D'un autre côté, l’are CAL << CE - EL (n° 172) fait voir que le périmètre de tout polygone circonserit est plus grand que Îa circonférence ; la tangente 4XÆ est le demi-côté du polygone circon-

scrit d'un nombre double de côtés (n° 236) ; et comme KA, perpen-

diculaire à 40, est < l'oblique KE, on a 4K-L KC< EC:en#

doublant le nombre des côtés d’un polygone circonserit, le péri- :

mètre approche donc davantage de la longueur de la circonférence sans cesser d'être plus grand qu'elle.

P et p étant les périmètres de polygones réguliers semblables, l’un circonscrit, l’autre inscrit, et R et r les rayons OC, OI des

cercles inscrits, on a e == 2 et P — p — . (R—r) (n°78, 1°).

Or, P diminue en s’approchant de la circonférence LCB....,

R est constant, et À — r ou CT décroïît indéfiniment lorsqu'on double successivement les nombres de côtés de polygones P et p (n° 209) ; ce qui prouve que la différence P — p entre leurs périmètres approche autant qu’on veut de zéro, c'est-à-dire que ces

périmètres approchent indéfiniment de la circonférence , qui est *

toujours comprise entre eux, et qui ne leur est jamais rigoureuse-

ment égale : done, etc.

247. Les circonférences sont entre elles comme leurs rayons ou leurs diamètres. En effet (fig. 121), désignons par C et cles circonférences dont.les rayons sont BO—=R, bO = r; par P et p deux polygones réguliers inscrits 4BC. ...abc.... semblables, enfia par Z et z la différence entre chaque périmètre et la circonférence circonscrite, ouC—P=Z,c—p=3x. Onentire

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