CIRCONFÉRENCES

or, À, C, ret € restent constants, Z et z varient avec le nombre des côtés, et peuvent devenir aussi petits qu’on voudra; donc (n° 113)

248. Trouver une ligne droite égale à une circonférence d’un rayon donné , c'est-à-dire rectifier cette courbe. prares deux circonfé-

rences C, c de rayons À, r : nous avons =——— — ;

2R * férence contient done son diamètre le même nombre de fois, que nous désignons par 7. Si l’on connaissait ee quotient constant 7, on

aurait donc

chaque circon-

circonférence R — 2rR.

Pour déterminer le rapport constant x de toute circonférence à son diamètre , il faut trouver la longueur rectifiée d’une circonférence quelconque , ainsi que celle de son diamètre ; puis diviser la première par la seconde; le quotient sera le nombre 7. Pour cela, prenons un polygone régulier quelconque dont nous connaissions le périmètre , et les rayons r et À des cercles inscrit et circonscrit ; puis concevons un autre poygone régulier isopérimètre, c'est-à-dire,

d’un contour égal ; et calculons les hé r et À’ des cercles inscrit et circonscrit à ce dernier.

BE — a (fig. 123) est un côté de ce polygone, AD un diamètre

perpendiculaire, € le centre du cercle BDE ; CA4= r; CB=R sont les rayons donnés des circonf. inscrite et circonscrite. Menons DB, DE, puis la perpendiculaire CG tombant au milieu G de | la corde DE ; et par le point G, ZG parallèle à BE ; IG sera moï- (tié de BE (n° 218). Comme l'angle E DB est moitié de £CB, EDB ‘sera l'angle au centre, et GZ le côté du polygone régulier d'un | nombre double de côtés; DF =, DG = R' seront les rayons de ‘cercles inscrit et circonscrit à ce dernier. Or on a

DF=2:D4—=:(DC+ CA),our = 57 (R-ÉÈr); .

dans le triangle rectangle CGD, DG° = DC X{DF (n° 221, 2e), ‘ou À = Rr'; ainsi’ et À’ sont donnés par les équations

= (RE N, R=Y (Br).

Répétant ce calcul sur le polygone ZG, on trouvera de même les rayons 7” et À’ des polygones réguliers isopérimètres d’un nombre

‘ double de côtés du précédent ; puis les rayons »’”, R’”, etc.; on aura ainsi une série de résultats ,

dont chaque r est la moyenne arithmétique, et chaque À la moyenne géometrique entre les deux termes précédents. Tels sont les rayons des cercles inscrits et circonscrits à cette suite de polygones réguliers isopérimètres d’un nombre de côtés continuellement doublé. Mais F étant au milieu de 4D, 4F ou DF > 48 > r; puis l'hypoténuse DC > DG, ou R°<[ R : ainsi r, r',r”.... croissent, et R, R', R".... décroissent continuellement. 7e quantités tendent sans cesse vers l'égalité à mesure que les côtés deviennent plus nombreux; car BC°— C4? — BA°, ou R° — r° — = æ, donne

RIEDS

et a décroit autant qu’on veut, tandis que »’ augmente. On voit done que si l’on superpose tous ces polygones en faisant coïncider leurs centres C, D,...les circonf. inscrites. s’en ecartent, et les circonscrites s’en rapprochent de plus en plus. Elles finissent par ne laisser entre elles qu'un espace aussi petit qu'on veut, dans lequel se trouve tracé le polygone régulier. Que l’on ait poussé le calcul des ret R jusqu’à 10 chiffres décimaux, par exemple, et l’on trouvera enfin deux rayons dont ces dix chiffres seront les mêmes : la distance du polygone à ses deux circonf. sera nulle dans cet ordre : d’approximation, et l’on pourra prendre le périmètre de ce polygone pour longueur de ces circonf.

Soit donc a le côté du premier polygone de n côtés ; na sera son contour , et celui de chacun des autres polygones : et si x est le rayon des cercles inscrit et circonscrit dans l’ordre de décimales conservées au calcul, ou celui de la circonférence définitive —œnñn«@, On aura