CIRCONFÉRENCES

—=6;R=]l,;r—Y (OP — 1B) (fig. 122), our—?:y 8:0on en tire successivement les résultats suivants :

Dès qu’on arrive à deux rayons successifs égaux >, ce nombre est le rayon de la circonférence isopérimètre qui est — 6 — 2rx; or x — 0,95492 9662 ; ainsi 7 — 8,14159 2654. On peut obtenir ainsi 7 avec telle approximation qu’on veut. Au reste, nous exposerons des procédés plus expéditifs. On obtient

r — 5,14159 926555 89793 923846 926433. 83279, log. r — 0,49714 98726 94135 85455 192682 88291.

Le

Si dans l’équ. cire. R — 27R, on fait R = =, et — 1, il vient cire. — 7, et À cire. — x : donc le rapport constant x de toute circonférence à son diamètre exprime aussi la circonf. dont le diamètre est un, et la demi-circonf. qui a un pour rayon.

* Le calcul des rayons Rest facile par log. ; mais on l’abrége encore par le procédé suivant. Soit R = r! + d, d étant la différ. des deux rayons entre lesquels on veut une moyenne géométrique. R'? = W/(r°? + r' d):on a (n° 135) en extrayant la racine

d? d R'= TH Ed — FrÉ etc. =nV(+-).

* Ces formules abrégent les opérations : mais on remarque que si d n’a au plus que la moitié des chiffres de r', en considérant ces nombres comme entiers, d? est € 8r' parce que d? n’a plus que la même quantité de chiffres que r'. Pour avoir une valeur de R! approchée à moins de +, on peut donc se contenter de R! = r'+4-+ d, qui est moyenne arithmétique entre R et r’. Ainsi dès qu'on est arrivé à deux valeurs consécutives de Retr', dont la moitié à gauche de leurs chiffres est une partie commune, on n’a plus a prendre que des moyennes arithmétiques. C’est ce qui arrive ci-dessus au nombre marqué (*) et à tous les suivants. Alors il n’est plus nécessaire de calculer ces moyennes successives; car soit » un de ces nombres et » + d le suivant, leur moyenne est m+ = d=m +3 d —+ d'; et continuant de prendre les moyennes, on trouve

M PE D RS POP à EU EE: 1 3 130 3 24 ? D TAB ES

nombres dont la limite est » + + d': telle est la valeur définitive des quantités r et R lorsqu'elles sont devenues égales.

Si on limite la valeur à r— 3,142... on trouve qu'on peut « poser 7— <= 38 7. Ge résultat très-simple, dû à Archimède, est R adopté dans les arts. Adrien Métius, en prenant 8,141593, a trouvé 7 — 2, nombre remarquable en ce que les termes sont formés des trois premiers impairs , répétés 2 fois, 113, 355, Ce résultat ayant 6 décimales exactes, ne produit pas une erreur d’un centimètre sur une cire. de 18000 mètres de rayon (1 ligne sur, 4000 toises de rayon).

Voici une rectification graphique approchée de la circonf. On a prouvé (n°5 238, 239) que le côté du carré inscrit est Ry/2; que celui du triangle équilatéral est Ry/ 8 : la somme est À (1/2 y 3) ou À X 8,14627...., égale, à un demi-centième près, à la demicirconf. rectifiée. Ainsi, après avoir inscrit au cercle proposé, par les procédés connus, un carré et un triangle équilatéral, on ajoutera le côté de l’un au côté de l’autre, et l'on aura, à très-peu près, une droite égale à la demi-circonférence.

Lorsque la circonférence C est donnée, et qu’on demande son « diamètre D, de C = 7 D, on tire |

Di C—ROk=E—0,31881..., log % = 1.50285013. .

L'are ACB (fig. 122) étant le n°"° de la circonférence, ou l'angle O le n°" de 4 droits, « son nombre de degrés, on a la proportion 180° : zR :: « ? la longueur 3 de l'arc 4CB ; donc

s= TT 2 phe, et en faisant logk = 2241877897.