AIRES DES POLYGONES

d'égale étendue, sans qu'elles puissent coïncider par la superposition.

Deux rectangles 4E FD, aefd (fig. 124) sont égaux lorsque leurs bases sont égales et que leurs hauteurs le sont aussi, ou 4D — ad et AE — ae : on voit en effet qu'on peut faire coïncider l’une de ces figures avec l’autre. Mais si l'on comparele parallélogramme 4BCD au rectangle 4EFD, on les trouvera simplement équivalents, parce que le triangle 4EB = DFC.

Les parallélogrammes ABCD, abcd, qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont équivalents, puisqu'ils équivalent aux rectangles égaux ADFE, adfe.

Soit un triangle 4BC (fig. 125); menons CD et BD parallèles à AB et AC ; les deux triangles 4CB, BCD sont égaux : ainsi, tout triangle est la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur. De sorte que tous les triangles 4CB, AEB, AFB..... ; qui ont même base 4B et leurs sommets sur CF parallèle à 4B, sont égaux.

250. Comparons maintenant deux parallélogrammes quelconques. VE 12 & | 1° Les rectangles de même base sont comme les hauteurs. En effet, si les deux rectangles 4BCD — R, abcd —r (fig. 126) ont les bases AB et ab égales, et que les hauteurs 4D = 1 et ad — h soient commensurables, il y aura une longueur ax contenue # fois dans

: IT m H et n fois dans k; et l’on aura (n° 156) Te En menant par les points de division #, x’, y, y... . des parallèles aux bases, les rectangles R et r seront partagés, l’un en "», l’autre en n rectangles -

égaux, et l'on aura

: A m PA — == md. d’o — 7:

Si les hauteurs sont incommensurables, partageons de même 4D en parties égales 4x’, x'y...:, et portons l’une sur ad en za, æy....3 s0it 2 le point de division le plus voisin de d : en menant . CRE al ai \ 1-,7 il parallèle à de, R = 7 à cause de la commensurabilité , ou r dl h id r h À S RTtT R = - PL donc on à 7 = 7j; Puisque dletid sont aussi petits qu’on veut, et que r,R, h, H sont constants (n° 113).

® Les rectangles sont entre eux comme les produits des bases par les hauteurs. Car (fig. 127) soient des rectangles 4C, ac dont les bases sont 4B — B, ab = b : portons l’une de ces figures sur l’autre, en faisant coïncider l’un de leurs angles droits, ce qui déterminera les rectangles AK — r, et 4H — KR”, de même hauteur 47; R' ayant même base 4B que le rectangle 4C = R, et même hauteur 47 que r, on a donc

— a ne =

sh BH , d'où — ———

8° Les mêmes théorèmes ont également lieu pour les parallélogrammes, puisqu'ils sont équivalents aux rectangles de même base et de même hauteur. Donc les parallélogrammes sont entre eux comme les produits des bases par les hauteurs.

251. Mesurer une aire, c’est chercher le nombre de fois qu’elle contient une autre aire donnée. Prenons pour unité de surface le rectangle abcd, pour mesurer le rectangle 4BCD (fig. 128); puisque Æ => X E on portera la base ab sur AB, afin de savoir combien l’une est contenue dans l’autre : on en dira autant des hauteurs ad, AD ; ensuite on multipliera ces nombres de fois ; HWSATS 8 X 4 — 12, R contient ici 12 fois r.

Comme les bases et les hauteurs pourraient ne pas se contenir exactement, on dit plus généralement que la mesure d’une aire ABCD (fig. 127) est son rapport avec une autre abcd prise pour

unité (n°* 86, 71); cette mesure est le produit du rapport + des

. H A . ( r bases par celui 7 des hauteurs. Il en est de même de tout parallé-

logramme. D'où il résulte que si / représente le nombre abstrait B HA M , esse US AS

F+ ra 7 l’aire du parallélogramme est / fois celui qui est l’unité de la surface.

Si l’on prend pour unité d’aire le carré abcd (fig. 128) dont le côté est l’unité linéaire, on a b — h — 1, d'où R — BH. BH estle produit abstrait des nombres d'unités linéaires contenus dans B et H ; soit encore ce produit BH — |, l’équ. revient à À — l fois le carré pris pour unité d’aire. Ainsi, l’aire d’un parallélogramme est le produit des nombres de fois que l’unité linéaire est contenue dans sa

AIRES DES POLYGONES. 265 base et dans sa hauteur, ce qu’on exprime d’une manière abrégée, quoique incorrecte, en disant que l’aire d’un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur.

La mesure de l'aire 4BCD (fig. 110) du rectangle qui a ses côtés égaux est BC X BC; l'aire du carré est donc la seconde puissance de son côté. C’est pour cela que les mots carré et seconde puissance sont regardés comme synonymes.

252. Tout ce qui a été dit précédemment du produit des lignes évaluées en nombres, doit se dire aussi des rectangles qui ont leurs | côtés pour facteurs. Par exemple, la proposition (n° 228) peut s’énoncer ainsi : Le carré construit sur la tangente est égal au rectangle qui a pour base la sécante entière, et pour hauteur sa partie extérieure; et ainsi des autres.

Le caractère essentiel des démonstrations géométriques est de réunir la rigueur du raisonnement à une clarté comparable à celle des axiomes. On ne doit jamais y perdre de vue les objets comparés : ainsi ces théorèmes n'ayant été obtenus que par des calculs fondés sur la théorie des lignes proportionnelles, nous donnerons ici une démonstration directe des trois propositions fondamentales, relatives au rapport des aires, Les autres en dérivent ensuite sans efforts, ainsi qu'on peut s’en convaincre en les reprenant tour à tour.

253. I. Construisons (fig. 129)sur la ligne 4C—.4B + BC les carrés AF et AI : il est visible que l'aire 47= AF+FI+ EH CF, ou = AF + FI + 2CF, parce que les rectangles £H et CF sont égaux. Comme 4F est le carré de 4B, FI celui de BC, on retrouve ainsi la proposition,

(a + D} = a + 2ab + b’, a et b étant des lignes, et a°, b°, ab des aires. Pareillement, 4F — AI + FI — 2£E1, à cause de BD = BI — FI et de £7 — BI : on retrouve donc aussi

(a — b} = a? — Lab + BP.

254. IL. Soit un triangle 4BC (fig. 130) rectangle en À; décrivons des carrés BF, BG, AE sur ses trois côtés; puis menons les obliques 4F, BE et la perpendiculaire Æ4ZL sur l'hypoténuse BC. Les triangles 4CF, BCE sont égaux ; car leurs angles en C se composent de l’angle commun BCA plus d’un angle droit BCF ou ACE;; d’ailleurs, les côtés adjacents sont BC = CF, 4C — CE, côtés des

carrés. Mais ces triangles sont les moîïtiés des rectangles CD, AE, puisque les bases communes sont CF, EC, et que les sommets À et B sont sur les bases opposées DZ, BA : donc rectangle CL — AE. On prouve de même que rectangle BL — BG, et ajoutant ces équations BF= AE Æ BG, ouæ@ = bc ; c'est-à-dire que le quarré construit sur l’hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les côtés de l’angle droit (comme n° 221, 4°).

Les rectangles CZ et BF de même hauteur sont entre eux

| . |, CE où CT CD" comme les bases DC et BC : ainsi TTBT NEA