PR = PO + OF, PO = AP. + 407, OP = 4F

d'où PZ — 41° + 4P°; ainsi l'angle P AI est droit; P 4 est perpendiculaire à tonte droite 4Z, tracée dans le plan MN.

On conclut de là, que, 1° es obliques PC, PB(fig. 141), qui s’écartent également dela perpendiculaire AP, sont égales, et réciproquement. Cela suit du triangle P4C— PAB.

Les pieds B, E, D, C des obliques égales PB, PE... (fig. 142) étant sur une circonférence dont le centre esten 4, on voit que, pour abaisser d’un point P hors d’un plan MN une perpendiculaire à -

MATHÉM, PURES, T, 1, 18

ce plan, on marquera trois points Æ, B, C‘sur ce plan, à égales distances de P ; le centre 4 du cercle passant par ces trois points sera le pied de la perpendiculaire.

20 S? l’on fait tourner l'angle droit PAB (fig. 142) autour de son côté AP, l’autre côté AB décrira un plan perpendiculaire à AP ; car menant en 4 le plan MN perpendiculaire à 4P, s'il ne contenait pas la droite 4B dans toutes ses positions; que l’une füt, par ex., AD hors de MN, le plan DAP qui couperait MAN selon CA perpen-

diculaire à 4P, donnerait, dans ce plan DA4P, deux der |

laires CA, DA à AP.

8° Par un point G ou À (fig. 142), on peut oujoure mener un plan

MN perpendiculaire à une droite AP, et l’on n’en peut mener qu'un

seul. Car, soit menée CA perpendiculaire sur 4P ; en faisant tourner l'angle droit PAC autour de AP, 4C décrira le plan ÆN dont il s'agit.

4° D'un point À ou P (fig. 142), on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire AP à un plan MN ; elle est la plus courte distance du point P au plan : plus une oblique s’écarte de AP, plus elle est longue. Comme les obliques égales s'écartent également de la perpendiculaire, on peut en effet ramener ces diverses lignes à être dans le même plan. Si l’on admet, par exemple, que 47 © AC, on prendra

AE = AC dansle plan PAL, et puisque PZ 5 PE = PC, on en “

tire PI © PC.

5° Deux plans ME, mn (fig. 143) perpendiculaires à une même droite AP ne peuvent se rencontrer ; car s’ils n'étaient pas parallèles, en joignant un point quelconque © de leur ligne d’intersection avec les pieds 4 et P, les lignes 40, PO seraient deux perpendiculaires abaissées d'un point © sur la même ligne 4P, ce qui est pure (DEUST DOS

6° Pour mener d’un point P (fig. 141) wne ligne PO, dre laire à une droite BG, située dans un plan quelconque ÆN, on mè-

nera PA perpendiculaire sur ce plan AZN ; puis du pied 4 de celleci, on abaissera 40 perpendiculaire sur BC; enfin, joignant les % points O et P, PO sera la perpendiculaire demandée. Il suffit, pour x s'en convaincre, de prendre sur BC, OB — OC, de mener 4B et

AC, puis de répéter la démonstration ei-dessus.

Remarquez que le plan PA4O est perpendiculaire sur BC, ce qui |

donne aussi le moyen de smnener, par un point donnéP, un plan perpendiculaire à une droite BC.