PLANS

267. Lorsque deux droites PA, QO (fig, 144) sont parallèles, le plan MN perpendiculaire à l’une PA, l’est aussi à l’autre QO ; car, menant dans le plan HW, la droite 4O et sa perpendiculaire RO; ici, comme fig. 141, BO est perpendiculaire au plan PAO, et par conséquent à VO, qui est dans ce plan P4O (n° 266). Mais en outre, à cause des parallèles P4, 00, l'angle PAO étant droit, 004 l’est aussi ; en sorte que © 0 est perpendiculaire sur 40 et BO, c’est-àdire, sur le plan 40B ou MN.

Réciproquement, deux droites AP, QO, perpendiculaires au même plan MN, sont parallèles entre elles; car, sans cela, on pourrait mener en À une parallèle à 00, autre que 4P ; cette parallèle serait, aussi bien que 4P , perpendiculaire au plan MAN, ce qui serait absurde (n° 266, 4°). |

Donc, deux lignes Aa et Bb (fig, 145), parallèles à wne troisième Ce, sont parallèleS entre elles; car, en menant un plan perpendiculaire à Ce, il le serait aussi à ses parallèles {a et Bb, en vertu de notre proposition : il suit de sa réciproque, que 4a est parallèle à Bb.

268. Les intersections KI, ki (fig. 143) de deux plans parallèles MN, mn par un même plan KKI sont parallèles ; car d'une part elles sont dans un même plan, et de l’autre elles ne peuvent se rençcontrer. |

Donc, 1° la ligne AP, perpendiculaire au plan MN, l’est aussi à tout autre plan parallèle mn; car, en menant par 4P un plan quelconque BCcb, les intersections BC, bc étant parallèles, l'angle bP 4 est droit. Ainsi, 4P est perpendiculaire à toute ligne bc tracée par le point P dans le plan ». j

2% Les parallèles li, Kk, énterceptées entre deux plans parallèles MN, mn, sont égales; car le plan ZÆki de ces lignes donne les parallèles ZX, 2k ; ainsi la figure Z£ est un parallélogramme, d’où

Donc deux plans parallèles sont partout à égale distance l’un de l’autre.

269. St la droite Ce (fig. 145) est parallèle à la ligne Aa, elle l’est aussi à tout plan -AabB qui passe par Aa : puisque Ce est entièrement comprise dans le plan Ac des deux parallèles, si Ce pouyait rencontrer le plan 4b, ce ne serait que dans l'un des points de 44, qui ne serait pas parallèle à Cc.

Étant données deux droites ab, Cc non parallèles, et qui ne se coupent pas, on peut toujours faire passer par l’une un plan paral-

lèle à l’autre, et l’on n’en peut mener qu'un seul; car, par un point quelconque a ou b, menons a 4 ou bB parallèle à cC, le plan 4h sera celui qu’on demande.

270. L'inclinaison de deux plans 4b, Ac (fig. 145), qui se coupent, ou la quantité plus ou moins grande dont ils sont écartés l’un de l’autre, est ce qu’on appelle un angle Dièdre : nous le désignerons par ba Ac, en mettant les lettres a 4, qui marquent l’intersection, -entre celles b, c, qui se rapportent aux deux faces. :

-Les angles rectilignes bac, BAC, qui résultent de l’intersection d’un angle dièdre par deux plans parallèles quelconques sont éqaux. En effet, ab et AB sont parallèles (n° 268), ainsi que ac et 4C; prenons, sur ces droites, des parties égales ab — AB, ac — AC; menons Cc, Bb, cb et CB. La figure 4b donne (n° 193) Bb égale et parallèle à 4a : de même la figure 4c donne Cc égale et parallèle à Aa. Ainsi, Bb est égale et parallèle à Ce, et la fig. Cb est un parallélogramme. On en conclut CB — cb, et par conséquent le triangle bac — BAC, et enfin, l'angle bac — BAC.

Concluons de là, que, 1° s2 deux angles bac, BAC dans l’espace ont les côtés parallèles et l'ouverture tournée dans le même sens, ces angles sont égaux. Si l'ouverture est tournée en sens contraire, ces angles sont suppléments, comme n° 192, 8°.

2° Les plans de ces angles sont parallèles. En effet, ayant abaissé au sommet a une perpendiculaire a7 sur le plan bac, et mené par le point Z, où elle rencontre le plan BAC, et dans ce plan, les parallèles ZX, IL, à AB et 4C, elles seront parallèles à ab et ac (n° 267). Or, les angles Zab, Zac sont droits et égaux à aZK, aIL. Ainsi al est perpendiculaire au plan ÆZL (n° 266). Donc les deux plans bac, BAC sont perpendiculaires à une même droite (n° 266, be).

8° Les triangles bac, BAC qui joignent les extrémités de trois droites égales et parallèles dans l’espace, sont égaux ; les plans de ces triangles sont parallèles.

271. Soient deux angles dièdres BAPC, bapc (fig. 146) coupés par des plans BAC, bac perpendiculaires à leurs arêtes, AP, ap; les angles dièdres sont dans le même rapport que les angles rectilignes BAC, bac, résultant de cette section, et dont les côtés sont des perpendiculaires menées,dans chaque face,en un point de leurs arêtes, AP, ap.

En effet, 1° en quelque point 4 de l’arête 4P que la section perpendiculaire soit faite, l'angle BÆC'sera le même (n° 270).

2° Si les angles BAC, bac sont égaux, les angles dièdres le sont

ANGLES DIÈDRES. 277 aussi, puisque ceux-ci coïncident, en appliquant l'un sur l’autre les angles BAC, bac.

3° Si BAC et bac ont une commune mesure CAx, en la portant sur CAB et cab autant de fois qu'elle peut y être contenue, et menant des plans par les arêtes 4P, ap et les lignes de division 4x, Ax'...., chaque angle dièdre contiendra l'angle dièdre CAPzx, autant de fois que CAx est contenu dans CAB et cab. D'où il suit que les angles dièdres sont entre eux dans le rapport de CAB à cab.

4° Si les angles C4B, cab sont incommensurables , on prouvera aisément (comme n° 181, 2°) que cette proportion a encore lieu.

Concluons donc (nes 36, 71) qu'un angle dièdre a pour mesure lPangle rectiligne qui résulte de l'intersection de cet angle dièdre par un plan perpendiculaire à son arête, puisqu'après avoir pris cab pour unité d'angle, on peut prendre l'angle dièdre cpab qui lui correspond pour unité des angles dièdres, comme n° 182; de sorte qu’en dernière analyse, les arcs de cercle servent aussi ï de mesure aux angles dièdres.

Dans la rencontre des plans entre eux, on trouve les mêmes théorèines que pour celle des lignes. Ainsi, les angles adjacents de deux plans qui se coupent valent deux droits, et leurs angles opposés au sommet sont égaux. Deux plans parallèles, coupés par un plan sécant, forment les angles correspondants, alternes-internes, alternesexternes, égaux ; et réciproquement, etc...

272. Les plans sont dits perpendiculaires, lorsque leur angle dièdre est mesuré par angle droit.

La droite AB (fig. 147) étant perpendiculaire au plan MN, tout plan PQ qui passe par cette ligne est perpendiculaire à MN ; car, en menant dans le plan MAN la droite 4C perpendiculaire sur RP, l'angle BAC est droit (n° 266). Donc, 1° pour élever en A la perpend. AB au plan MN, appliquez sur ce plan le côté PR d’un angle droit PAB, et faites tourner cet angle autour de PR jusqu'à ce que le plan PO devienne perpend. à MN.

2° Par une droite, telle que PQ ou AB (fig. 148), on ne peut mener qu’un seul plan perpend. à MN ; ce plan 4BOP est déterminé par une perpend. 4P à MN.

3° La Projection À d’un point P sur un plan MN est le pied de la perpend. 4P, abaissée du point P sur ce plan.

La projection 4B d’une ligñe PQ, est la suite des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des divers points de la ligne sur le

plan. Si cette ligne est droite, le système de toutes ces perpend. formera un plan PABOQ, perpend. à MN : l'intersection ZB de ces deux plans ést la projection de la ligne PO, projection qui est une drüite déterminée par célles Z et B de deux points P et Q.

L’angle qu'une ligne droite fait avec sa projection sur tin plan ést ce qu'on appelle l’inclinaison de la droite sur le plan. Les lignes AB, AO..:. (fig: 141) sont les projections sur le plan ZZN des droités PB, PO....; et les angles qu'elles forment avec ce plan sont PBA, POA..

273. Si les plans PQ et MN (fig. 147) sont perpend. entre eux, et-

qu’on mène dans l’un PQ, la perpend. AB sur leur intersection PR, elle le sera à l’autre plan MN. Car, si l'on iiène däns ce plan MW, AC perpendiculaire sûr PR, l'angle BC séra droit, puisqu'il mesure celui dés plans : ainsi, 4B sera perfiendiculäire sur PR et sur AC (n° 266).

Récipfüquement, si les plans PO et MIN sont perpend., et que, par un point 4 de leur intersection PR, on élève la perpend. 4B au plan MN, elle sera dans le plan PO; car, si élle n’y était pas, en menant, dans ce plän PO, une perpend. à PR en 4, elle serait unie 2° perpéhd:, en cé point, au plan HN.

Done, si deux plans PO, RS (fig. 149) sont perpend. à un 8° MN, léuf intersection 4B est perpend. à MA : car si par le point 4 on veut élever une perpend. à ce plan #N, elle doit être située à la fois dans-les deux plans PO, RS.

274. La plus courte distance Oo (fig. 145) de deux droites aob, AC, qui né se coupeñt pus, est la ligne perpend. sur l’une et Pautre. Car faisons passer par ab un plan bac parallèle à ZC, et par 40 un plan BAC pârallèlé à ab (ne 269) : la plus courté distance cherchéé sera visibleinent celle des plans parallèles bac, BAC (n° 268, 2e). Par ab, on mènera ün plan baZX perpend. au plan BAC; l'intérséction ÎK coûper4 4C en un point O; enfiñ, élevant Oo perpend. süt le plan BAC, Oo sera la ligne cherchée.

275. Deux droites AB, CD (fig. 150) sont coupées en parties proporhionnelles par trois plans parallèles RS, PQ, MN. En effet, hénons AD, et tirons les droites BD, EF, FG, AC; EF $era parallèle à BD (n° 268), ainsi que AC à Æ°G. On aura donc