CHAPITRE II

302. Former un prisme droit équivalent à un prisme oblique AD (fig. 176), la génératrice conservant la même longueur AC, Prolongeons les arêtes CA, DB, menons-leur un plan quelconque HN perp.; enfin prenons Pp — BD, menons le plan op parallèle à MW, on aura ainsi le prisme droit Op. Appliquons les prismes tronqués B AOP, DCop, de manière à coucher la base op sur OP qui lui est égale : les génératrices étant perpend. aux bases, et de plus égales (puisque DB — Pp donne BP = pD, et ainsi des autres), les prismes coïncideront, ou oD = OB. Retranchant la partie commune #9, ilreste le prisme oblique D équivalent au prisme droit Op.

303. On peut toujours disposer deux prismes symétriques, 4D, ad (fig. 176) relativement à un plan FN, en sorte que ce plan soit perpend. aux génératrices. Prolongeons l’arête DB en Pd ; puis, à partir du point P de rencontre avec un plan quelconque HAN perp.. prenons Ph = PB, Pd = PD, ou BD = bd. En raisonnant de même pour chaque arête, on formera le prisme ad symétrique à AD.

Les prismes symétriques 4D, ad sont équivalents. Car prenons Pp = Pp' = BD, et menons les plans op, 0’p’ parallèles à MN : les prismes OPop, OPo'p sont droits et équivalents aux proposés (n° 302). De plus, ils sont égaux entre eux, puisqu’'en les appliquant, de sorte que la base 0’p’ de l’un tombe sur celle OP de l’autre qui lui est égale, il y aura coïncidence. A

804. Deux parallélépipèdes de même hauteur et de même base sont équivalents. Pour le démontrer, rapprochons ces corps de manière à faire coïncider leurs bases inférieures égales ; les supérieures seront situées dans le même plan : il se présentera deux cas,

1° Si les faces latérales FG, EX (fig. 175) sont dans un même plan, les triangles écaux £GH, FIX servent de bases à deux prismes superposables £ M, FIN. Donc, en retranchant tour à tour ces prismes du corps entier Æ NW, il restera les parallélépipèdes équivalents E FIM, EHNL. , | k

2° Si les faces ont une disposition quelconque, les bases supérieures AC, ac (fig. 178) seront des parallélogrammes égaux à ceux des

bases inférieures MAN, en sorte que leslignes 4B, DC, ab, de seront égales et parallèles ; de même pour 4D, BC, ad, bc. Prolongeons ces lignes, nous aurons le parallélogramme 4'C” égal à AC et à ac. Or, concevons le parallélépipède qui aurait pour base supérieure A'C’, et la même base inférieure HAN que les proposés ; ce corps sera équivalent à chacun de ceux-ci, puisqu'il sera, relativement à eux, dans l'état examiné ci-dessus. Les proposés sont donc équivalents.

305. Il est facile de changer un parallélépipède donné en un autre rectangulaire équivalent. De chaque angie de la base inférieure ABCD (fig. 177), élevons des perpendiculaires à son plan : on aura un parallélépipède droit 4B£EI équivalent au proposé, qu'il était inutile de tracer dans la figure. Puis, menant 4F, BG, perpend, sur AB dans la base 4C, on formera sur 4G le parallélépipède rectangle 4BHK équivalent à ABE1I, puisqu'il a même base 4M et même hauteur 4F.

306. Deux parallélépipèdes rectangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs. Sices hauteurs ont une commune mesure, on coupera les corps en tranches égales, et l’on raisonnera comme pour les rectangles (n° 250, 1°, fig. 126). On démontrera de même le théorème pour le cas où les hauteurs sont incommensurables.

Les parallélépipèdes rectangles P et p de même hauteur, sont entre eux comme leurs bases. En effet, plaçcons ces corps de manière à faire coïncider l’un de leurs angles polyèdres et leur arèête égale, Les bases seront disposées comme 4C (fig. 179) pour P, et 4K pour p ; or, prolongeons ZX en H ; le parallélépipède © construit sur la base 4H et de même hauteur, peut être regardé comme ayant 47 pour hauteur, et la face 4B pour base : comparé à P, il

D donne donc £ — Mais si l’on prend la face 41GF pour base

Q | des parallélépipèdes © et p, leurs hauteurs seront 4£ et AL ; AE d'où 2 re En multipliant ces proportions, il vient

Enfin, les parallélépipèdes rectangles P et p sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs. Car si les bases sont ACet AK, etles hauteurs 4G et 40, en prolongeant les faces de

- PARALLÉLÉPIPÈDES. 29ÿ

eelai qui a une hauteur moindre , tel que p, jusqu’à la base supérieure de l’autre, on formera un parallélépipède 4LFKG = R, qui aura la même hauteur 7 que l’un P, et même base 4X que R AG PLITAG l'autre p; on aura donc d’une part —=— —, et—— —;de £e PUMA LR DER R ACX AG l'autre; d’où — — PURES Éap AK X AO En désignant par ZZ, Z, K les arêtes qui forment un angle trièdre À r P M H . I . K s, A de P,etpar h, ?, k celles dep, on a ni UE an On voit done que pour mesurer le volume d’un parallélépipède rectangle P, c’est-à-dire pour trouver son rapport avec un autre p pris pour HSE | 72 32 TZ ontre les arêtes respectives qui forment un angle trièdre , et l’on multipliera ces trois nombres. Représentons par / le produit de ces trois rapports ; /'est un nombre abstrait , et le parallélépipède qu’il s’agit de mesurer a pour volume / fois celui du parallélépipède pris pour unité.

unité (n° 36, 71) on cherchera les rapports

Le volume d’un parallélépipède est le produit de sa base par sa hauteur, quand on prend, pour unité de volume , le cube qui a pour côté l’unité linéaire : car h, à etk seront — 1, et l’on aura A. 1. K pour le volume de P ; I, TZ et X sont des nombres abstraits, qui marquent combien les arêtes de notre parallélépipède P contiennent de fois l’unité linéaire ; soit {leur produit 4Æ.7.K, l'éq. P= H.1.,K revient à P — lfois le cube pris pour unité de volume.

Lorsque À —1 — K, on a P — H* ; de là la dénomination de Cube donnée aux troisièmes puissances.

307. Donc, le volume d’un prisme est le produit de sa base par la hauteur : car, 1° s’il s'agit d’un parallélépipède quelconque , il est équivalent à celui qui est rectangle de même hauteur et de base équivalente (n° 304).

20 Si le prisme est triangulaire , comme 4BDabd (lg. 174), en formant le parallélépipède 4e, le volume de notre prisme est égal à son symétrique BDCbde (n° 303) : donc, chacun de ces prismes à pour volume le produit de sa hauteur par la moitié de la base 4C, ou plutôt par sa base 4BD.

30 Enfin, si l’on fait passer des plans par la génératrice 4a (fig. 157) du prisme 4d et par toutes les autres , il sera décomposé

en prismes triangulaires de même hauteur ; la somme de leurs volumes sera donc le produit de cette hauteur par la somme des bases, ou par ABCDE.

On voit aussi que les volumes des prismes de même base sont comme les hauteurs, ou de même hauteur, sont comme leurs bases.

308. Le volume V d’un cylindre est le produit de sa hauteur H par l’aire B de sa base. En effet, désignons par 8 l’excès de la base du prisme circonscerit sur celle du cylindre, et par « l’excès du volume de ce prisme sur celui Ÿ” du cylindre : B +8 sera la base du prisme, V — « son volume; d'où V Lx —(B +8) H; donc F = BH, puisque le volume du cylindre est la limite de celui du prisme (n° 113).

309. Les pyramides de même hauteur et dont les bases sont équivalentes, sont égales en volume. Pour le prouver, coupons un tétraèdre par des plans parallèles à sa base et équidistants. Soit ÆCchaB (fig. 180) l’une des tranches : menons par les points 4, C, a, c des parallèles à l’arête Bb ; nous formerons deux prismes, l’un BDFcba intérieur, l’autre B 4Cebi extérieur au tronc : la différence de ces prismes est le prisme DCea, qui a même hauteur , et dont la base CEDA èst la différence entre les bases 4BC, abc.

En opérant de même pour chaque tranche, on aura une série de prismes d’égale hauteur, tels que De. Or, il est visible qu’en partant de la base du tétraèdre, chaque prisme intérieur DFbB est égal au prisme extérieur de la tranche suivante ; ainsi, en prenant là différence entre tous les prismes intérieurs et tous les extérieurs, il ne reste que les prismes DCea, depuis la 1'° tranche AN : cette différente est donc un prisme de même hauteur que les tranches, ct qui a pour base celle BMN du tétraèdre. Plus les tranches sont nombreuses, et plus la hauteur devient petite ; on peut donc rendre aussi petite qu'on voudra la différence entre les prismes intérieurs et extérieurs, et, à plus forte raison, entre les prismes intérieurs et le tétraèdre. ;

Il est évident que ce raisonnement peut se faire ésalement pour toute pyramide à base quelconque.

Cela posé, soient maintenant deux pyramides P et p de même hauteur, dunt les bases équivalentes réposent sur le même plan : coupons-les par une série de plans parallèles à ces-bases et équidistants, puis formons pour chacune les prismes intérieurs. Soient & et B les excès des pyramides sur la somme des prismes intérieurs,