PYRAMIDES

dont les volumes sont P — x et p — 8. Or, chaque plan parallèle aux bases des pyramides donne des sections équivalentes, puisque ces sections sont entre elles comme les bases (n° 278) : donc, les prismes intérieurs sont égaux deux à deux, d'où P —x=p—8, et (u° 113) P — p.

Le même théorème alieu pour deux troncs formés dans nos pyramides par deux plans parallèles. :

310. Un tétraèdre DABC (fig. 183) est le tiers d’un prisme de même base et de même hauteur : car, sur lés trois arètes formons le prisme 4E ; en ôtant le tétraèdre 2 4BC, il reste la pyramide quadrangulaire DACEF., Le plan CDF en forme deux tétraèdres : l'un FDEC, qui est égal au proposé, comme ayant même hauteur et la base FDE = ABC ; l'autre DACF — DFCE,, par la même raison, attendu que le triangle 4FC — E FC. Nos trois tétraèdres étant équivalents, chacun est le tiers du prisme.

Donc, /e volume de toute pyramide est le produit du tiers de sa base par sa hauteur, puisqu'elle est décomposable en tétraèdres.

Et comme le cône est la limite des pyramides circonscrites , le volume du cône est le tiers de sa base multipliée par sa hauteur, ou le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

On aura le volume d’un polyèdre quelconque en le décomposant en pyramides.

311. Le volume du tronc de prisme triang. ABEF (fig. 184) est le produit de la base par letiers des trois hauteurs des angles trièdres F , D, E de la base supérieure. En effet, faisons les mêmes sections surce tronc 4BE'F qu'au n° 310 ; le plan 4DC donne le tétraèdre D4BC; le plan CF coupe la pyramide quadrangulaire DACEF en deux tétraèdres DFCA, DFCE. Or, on peut, sans changer les bases AFC, EFC, mettre les sommets de ceux-ci en B, puisque DB est parallèle au plan 4CEF (n° 269). Donc on aura les tétraèdres BCAF, BCEF : ce dernier peut même prendre CEA pour base, puisque les triangles CEF et CEA sont équivalents. Le tronc de prisme est donc furmé des trois tétraèdres DA4BC, FABC, E ABC, qui ont même base inférieure ÆBC, et leurs sommets aux trois angles trièdres FDE de la base supérieure; donc, etc. . . . Ce théorème sert à trouver le volume du prisme tronqué à base quelconque. ”

312. Le tronc de pyramide quelconque à bases parallèles est composé de trois pyramides de même hauteur que le tronc, dont les bases sont la base inférieure du tronc, la base supérieure et une moyenne pro-

portionnelleentreees deux aires. Soient une pyramide et un tétraèdre de même hauteur, de bases équivalentes, posés snr le même plan; leurs volumes sont égaux. Un plan parallèle aux bases forme deux troncs, et coupe le tétraëdre et la pyramide suivant un triangle et un polygone qui sont équivalents, puisqu'ils sont proportionnels aux bases (278) : donc la pyramide et le tétraèdre retranchés étant égaux, les troncs le seront aussi. Il reste à démontrer le théorème pour le tronc de tétraèdre 4BFE (fig. 185).

Le plan 4DC donne les deux corps DABC et DACEF : le plan DFC forme les tétraèdres DFEC et DFAC ; or, menant DG parallèle à AF, ce dernier pourra avoir son sommet en G&, au lieu de D, et deviendra F4GC. Ces trois tétraèdres ont même hauteur que le

tronc; leurs bases sont 4BC, DFE, 4 GC. Cela posé, on a (n° 256, 2°}

ABC AB AGC AC. STE LT Le Ag pe ACCES AC? FDE — FE ° O0 9 es seconas mempres son eve ABC AGC

à cause des triangles semblables FDE, 4BC; done —— CC — FDE' Donc, etc.

Soient Z et B les bases d’un tronc de pyramide, Æ sa hauteur : on a pour levolume + 4 (44 B+y 4B).

Il est visible que ce théorème a également lieu pour le tronc de cône. Suient R et r les rayons des bases, 4 — 7R°, B = rr°, le volume du tronc de + 7 ZZ (R? er? H Rr).

313. Tout triangle ABC (fig, 186, 187, 188 et 189), qui tourne autour d’une ligne quelconque CI située dans son plan et passant par un de ses sommets C, engendre un volume égal au produit du tiers de la perpend. CD — p abaissée de ce sommet sur la base AB, multiplié par la surface engendrée par cette base AB.

1e cas. Le triangle C4B tourne autour de l’un de ses côtés CB (fig. 188 et 189). On a vol. C4B— cône CAP + cône BAP (voy. n° 810), ou = < cercle 4P K CB = -:rAP? X CB:vr AP X CB — 2 fois aire 4BC — AB X CD ; donc volume CA4B—:7p.A1P X AB;et comme la surface du cône.engendré par 4B est = = cire. 4P KX A4B = rAP X AB, on a volume CA4B—:p X surf. 4B. Cette démonstration convient aux trois cas où l’angle 4 est aigu, droit ou obtus.

2e cas. Le triangle CAB tourne autour d’une ligne extérieure

CI (fig. 186); volume C4B — volume CAI — volume BCI