SPHÈRE, SECTEUR, SEGMENT

3° cas. La base 4B est parallèle à l’axe CZ de rotation (fig. 187) : volume CAB = cylindre 4ABEF + cône CAE — cône CBF, ou — cercle CD (4B + :CE— <CF) = irCD° (BEF +- CE — CF) = 7 CD° X 2EF : or, la surface engendrée par 4B est celle d’un cylindre, et = cire. CD X EF = 92rCD X EF; donc vol. CAB = + CD X surf. 4B.

Ce théorème sert à trouver les volumes de la sphère, du secteur et du segment sphérique; car si l'on circonserit à l’arc de cercle 4DP (Gg. 169) une portion de polygone à côtés égaux, et qu’on fasse tourner la fig. autour du diamètre 4O, la révolution complète de tous les triangles C4B, CBD, CDI. . . . engendrera un volume —=+p (surf, 4B surf. BD LL . . . .). Ainsi, ce volume est le produit de la surface engendrée par tous les côtés du polygone, multipliée par le tiers du rayon. Donc

1° Si le polygone est circonserit au demi-cercle 4DB (fig. 167) dé rayon À, désignons par « l’excès de l’aire P de la sphère sur celle qu'engendré le polygone ; par B l'excès du volume de la sphère sur celui que forme le polygone ; ona WHB8—:R(P+ à); d'où l'on tire (n° 113) # — : R X P ; le volume de la sphère est le produit de sa surface multipliée par le tiers de rayon, ou celui de l’aire d’un des grands cercles par les ? du rayon (n° 293, 2°), ou enfin

Volume V de la sphère — {7 R = < 7 D$ — 0,5236 D,

D étant le diamètre 2R.

2° Le rayon R de la sphère qui a Ÿ” pour volume est

R =\/ (5) — VF, log À — 1.3779114.

3° Pour le secteur sphérique DAC, le même raisonnement prouve que le volume est éqal à la surface de læ calotte multipliée par le tiers du rayon, où (n° 293, 1°), la flèche 47 étant h,

Volume du secteur sphérique — +7 Rh.

4° Si l'on retranche le cône DGC du secteur, le reste est le segm. sphérique ADIG ; or le vol. du cône DGC est — + CZ X cercle DI = ©: CI X 7rDP; CI—R—Rh, DE = DC — Cr —2Rh — kr; donc

Volume du segment sphérique = + x h (3R° — h),

5° Le cylindre DGFE (fig. 170) et le cône ÆZX circonserits à la sphère 4B ont pour volumes, savoir, 1° le cylindre — 7 R? X 2KR ou 2rR%; 2° le cône (voyez n° 293) 37R°2 X = HB, et comme HB° = HP — 1B° = < HP, on trouve JB —3R, et cône — 37R*. Comparant les quantités + 7R%, 27R3 et 37R, on voit qu'elles sont entre elles comme 4 : 6 : 9; ce sont les rapports des volumes de la sphère, du cylindre et du cône circonscrits; le cylindre est moyen proportionnel entre les deux autres ; la sphère est les deux tiers du cylindre circonscrit.

314. Les volumes de deux pyramides sont entre eux comme les produits des hauteurs par les aires des bases (n° 310). Mais si ces pyramides ABC MISE

SAC, Sac (fig. 151) sont semblables, on a re de

(n° 278) ; multipliant de part et d'autre par nd vient

SABC. :.. SH Saber TR

315. Les volumes des polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs lignes homoloques. En effet, comme deux polyèdres semblables P, p, sont décomposables (n° 295) en pyramides semblables 5, s, $’, s’...en désignant par 4, a, 4’, « des lignes homo-

RU É PACTENE logues de ces pyramides, on a-—= —, ———.... D'ailleurs, s DURS a tous ces rapports sont égaux, puisqu’en vertu de la similitude sup- A + D FOR SRE ‘: à posée , on A = He Donc——-—— -; =... ——; a a 8 8 s a

S+S + S "+... PA EE EE PL To A ARE 1] sera aisé de voir que les volumes des sphères sont entre eux comme les cubes de leurs rayons ; que ceux des cylindres droits et des cônes droits semblables (c’est-à-dire engendrés par des rectangles ou des triangles rectangles semblables) sont entre eux comme les cubes des longueurs de leurs génératrices ,-ou de leurs hauteurs, ou enfin des rayons de leurs bases.

Les polyèdres symétriques ont leurs volumes égaux, puisqu'il est évident qu’on peut les décomposer en tétraèdres symétriques, et que ceux-ci ont des bases et des hauteurs égales,

d’où (n° 73, 3°)