CHAPITRE PREMIER

APPLICATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE, Quelques Problèmes sur les Lignes.

316. Tant que l’Algèbre et la Géométrie ont étè séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés ; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêté des forces mutuelles, et ont marché ensemble d’un pas rapide vers la perfection. C’est à Viète et à Descartes qu'on doit l'application de l’Alsèbre à la Géométrie, application qui est devenue la clef des plus grandes découvertes dans toutes les branches des Mathématiques (Lacrance, Écol. Norm\, t. IV, p. 401).

C’est donc en introduisant dans les formules algébriques les grandeurs qui composent les parties d’une figure, que nous transporterons dans la Géométrie toutes les ressources de l’Alsèbre , et nous parviendrons sans peine à des résultats qu'il serait difficile d'obtenir par la Géométrie seule. Celle-ci a l'avantage de ne jamais faire perdre de vue l’objet principal , et d'éclairer la route entière qui conduit des premiers axiomes à leurs dernières conséquences (voy. n° 252) ; mais l’Alsèbre a bien plus de ressources.

Ces réflexions conduisent à préférer dans la Géométrie élémen-

taire les méthodes directes, celles qui ne reposent sur aucun prin- - cipe étranger, et permettent, pour ainsi dire, d'isoler chaque théorème , en le présentant comme une vérité aussi claire que l'axiome d’où il est déduit. Mais , lorsque les questions deviennent plus compliquées, cette méthode, qu’on nomme Synthèse, perd la

clarté, qui est son plus précieux avantage ; l’Analyse reprend toute sa supériorité, et, par sa féconde Éfubhee: généralise les résultats, simplifie les recherches, et lorsqu'elle est employée avec adresse, donne à ses artifices une élégance et même une clarté à laquelle 1É mécanisme du calcul semblait s'opposer. Les problèmes suivants serviront de preuve à ces assertions.

317. Mesurer la distance d’un point inaccessible D à un autre point

A (fig. 181). On prendra sur l’aliynement 4D une partie quelconque AC, et formant un triangle PEU ABC, on en mesurera les côtés 4B — c, AC = b, BC = a * ; puis marquant sur BC un point Æ quelconque, on dirigera vers D le rayon visuel FD; doient 4D = x, EC = g, FA = d. La PEAAÈIS EG à AB 1358

; RO COM EC ne OT D Ter done Co LPO EEE À DA DG ,, DG 2 Et EG Mel VEG

Or,ona DG= DA — GA — DA — (CA — CG),

PT Be ou DG = x —b+ À; en divisant cette valeur par celle de EG,

x ax — ab —- bg on trouve Pr ere EE do HS ; — à d'où x = bd +) cg — ad S'il arrive que BF — 4F, ce qu'on est maitre de supposer,

comme c = Ÿd, la solution se réduit à x — b. Je

Il ne s'agira plus que de mettre pour a, b, c, d, et g leurs valeurs numériques, où Île nombre de fois que ces lignes contiennent l'unité, pour trouver # exprimé en nombres.

318. Quelle est la relation qui lie les côtés a, b et c d’un triangle BAC (fig. 117) inscrit à un cercle de rayon R? Menons le diamètre

* Dorénavant nous désignerons les angles des triangles par 4, B, C...., et par ad, bee les cètés qui sont respectivement opposés.

PF” hi

D cn,

PROBLÈMES SUR LES LIGNES. 505 BD, ct les lignes 4D, DC; le quadrilatère 4B DC donne (n° 241, [1) 2Rb= ce X CD + a X AD. Des triangles rectangles BCD, BAD, nous tirons CD = /(4R° — a’), AD =Y/ (4R — c?); donc

2Rb — y (4R: — &) + a (Ar — C); équation cherchée, qui donne l’une des quantités a, b, c et R, connaissant les trois autres.

I. Étant données les cordes de deux arcs AB, BC, on a donc b, ou la corde 4C d'un arc 4BC égal à leur somme.

Si les ares 4B et BC sont égaux, on a a —c, d'où

Rb= ay (4R° — «),

équ. qui donne la corde b d’un arc, connaissant celle a d'un arc aoitié moindre.

IL. Trouver le rayon R du cercle circonscrit au triangle ABC (g. 117). Elevons notre équ. au carré, l’un des radicaux disparaitra ; transposons ensuite les termes rationnels, et carrons de nouveau pour chasser l’autre radical, nous trouvons

abc :

15 V/ lac? — (a? + ©? — [DD Cette formule ne se prête pas au calcul des log. : mais le radical affecte la différence de deux carrés, qui = (2ac a? + ©? — b°)

X (2ac — a — cb), ou [(a EH c} — Bb] X [b? — (a — c}];

chaque facteur souffre la même décomposition, et l’on a

abc M2 rie (b Æ c — a) (a + c —b) (a EL b— c), B.—= it D vor a bte, V'p-(p—a)(p—b)(p— 0)’ en faisant, pour abréger, le périmètre 2p = a +- b+-c.

IL. Zrouver l’aire z d’un triangle, connaissant les trois côtés

b? Cr de C a, b, c (n° 222, fig. 182). Le segment 4D — x — Eng From die

or, le triangle 4BD donne BD — (> — 2);,3 — LD K BD devient donc 3 = : V/ Lb'e? — (b? © —a:}],

ou s=Y p.(p —a) (p — b) (p —c).

On a donc, pour le rayon du cercle circonscrit, 4Rz = abc.

IV. Trouver le rayon v du cercle inscrit au triangle. Les aires (fig. 68) des triangles 4OB, AOC, BOC étant + cr, = br; + ar, la somme est z— pr, d'où (voy. n° 364, IX)

fonts Nick! das dans) ep V p

V. Évaluer l'aire d’un quadrilatère ABCD (fig. 77). Menons Ja

diagonale AC— b, et prenons-la pour base des deux MEN ABC, ADC; h et k étant les hauteurs, l'aire demandée est + b (4 + }”).

On peut encore opérer comme il suit. Soit 4BCD Se 191); abaissez les perp. DE = h, CF — kW sur la base 4PB = a, faites AE = b, BF — b’, d'où (n° 259)

l'aire CFED = = (h + h) X (a — b — b').

somme de ces aires, ABCD = <+(a—b)h +5(a—b)h.

Cette équ., facile à appliquer, ne convient plus dès que l’une des perpend. tombe hors du quadrilatère. Ainsi (fig. 192), il faudrait changer b en — betb’ en — D’ (voy. n° 339 et 364, VI).

VI. Mener EF perpend. à la base. AC du triangle ABC (fig. 193), telle que les triangles AEF, ABC soient dans le rapport donné de m à n. Soient b et x les bases 4C, AE ; het Le les hauteurs BD, EF;

les aires sont + bh, = y, d'où -%-— —. D'ailleurs, lestriangles

semblables 4£F, ABD donnent vs en faisant 4D —

donc, éliminant y, x — VAE “ee . Sil’onavaitz > k ou 4D,

le point Æ devrait être situé vers ) au delà de D, et la perpend. à AC séparerait un triangle qui n’est plus contenu dans 4BC : ce cas arrive quand bm > kn, ou

m AD ed = AC

319. Connaissant le côté 4B = a (fig. 122) d’un polygone régu- * | lier inscrit, cherchons celui 4C = x d’un polygone régulier dont le nombre des côtés est double. CO, perpend. sur 4B, donne (n° 227)