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. Sur une ligne quelconque

Gl= » ; on a

donc x = 4 (c? — b°), On voit d’abord que le problème est

impossible quand b est ce, ou FG © IK. Pour construire cette valeur, du centre F, on décrira l'arc ZH” avec le ravon c; GH sera y/ (c — b°); AI parallèle à FA sera la ligne cherché, puisqu'on voit que ZG est 4° proportionnelle à b, a et GH.

Il y à une seconde solution en 4[; c’est ce qu'indique le double signe de la valeur de x (voy. n° 338).

IT. Étant donnés deux points À et B (fig. 197), et une droite DI)’, décrire un cercle qui passe par ces deux points et soit tangent à la droite. Il suffit de trouver le point D du contact. Soit donc prolongée la ligne 4B en C'; et fait CD — x, CT = a, IB = b, I étant le milieu de 4B. La tangente CD donne (n° 228) x — C4 X CB — (a — b) (a + b); d'où x —y/(a — b°). Sur l’hypoténnse CZ on tracera le triangle rectangle ZEC, dont b et x sont les côtés de l'angle droit, en décrivant le demi-cercle CET, prenant £1 = A1 ; CE sera x — CD. I} y a une 2° solution en D”, à cause dela valeur négative de x (n° 338).

IV. Deux parallèles 4Æ7, BF (fig. 198) et leur perpend. 4B étant données, mener une sécante EF, telle que 4C, moitié de 4B, soit moyenne proportionnelle entre les segments 4£, BF. Soient AE = 3%, BF=y, AC—a:ona @ = xy:1le problème est donc Indéterminé (n° 117), et le nombre des solutions infini. Parmi les diverses manières de les obtenir, la suivante est assez élégante.

Soit CD — r, D étant le point de rencontre de la ligne cherchée £F, avec CD perpendiculaire sur 4B en son milieu C ; ZT perpend. à CD donne les deux triangles égaux £DI, l'DF ; ainsi, y=r XIE, æ = r — IE, d'où x + y — 2r. Éliminant y de «& = xy, on a a — rx —=— &;r'est iciarbitraire, et l’onax = r+ V4 (r2 — a). On devra donc prendre le point D, tel que r soit > a, ou CD > AC: le cercle décrit du centre D avec le rayon r donne EI=V (r— «); donc les points £ et F d’intersection satisfont à la condition, ainsi que £” et F”. Chaque centre D donne ainsi deux solutions EF, E"F'.

V. Parle point À (fig. 204), mener une corde ABD dont les seg-

& ; ; m ments BA, AD aient entre eux un rapport donné ——. Menons le n

diamètre HA4G ; soit CH = r, CA —= b, AD = x. on à HA X 4AG= BA X AD, d'où r° — b—x X BA; mais, par

4 mx max” :

condition , BA ma donc —— = 7° — b°, Faisons r2—} —#, n

CONSTRUCTIONS GÉOM ÉTRIQUES. 515

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ROUS AUTONS 7 — \V/ —, quantité facile à construire, On pourrait m

lui donner la forme x — 24% (mn ), et il faudrait trouver une moyenne et une 4e proportionnelle ; mais on doit préférer le procédé suivant. Remplacons le rapport de e par celui des deux carrés: sur une ligne indéfinie (fig. 199), prenons DF et FE, tels qu'on ait

FE n j — — ; décrivons le demi-cercle D4FE, puis menons 4F permn