DEF

E? FE pend.sur DE, et lescordes AD, AE ; nous aurons == (no 227); ainsi x — ES : prenons donc 4B=— k sur 4D, prolongé s'il est nécessaire; BC parallèle à DFE, donnera 4C = x

VI. Un polygone étant donné, en construire un semblable, les aires étant dans le rapport connu de m à n. Nomuions 4 l’un des côtés du polygone donné, x son homologue inconnu ; ies aires étant :: mn

A° d’une part, et aussi :! 4? ! à° de l’autre (n° 262) ; on a — — —, x?

L] x ñn . ; a aoùu T— 4 —. On vient de construire cette expression nm

(Gg. 199) ; ainsi x est une longueur connue. Il ne reste plus qu'à former, sur le côté x homologue à 4, une figure semblable à la proposée (n° 242). La même construction s'applique aussi aux cercles (n° 263, 3°) ; m et x sont ici des lignes ou des nombres donnés. Pour trouver le rapport de deux fiqures données semblables, ABC...., abc. ... (fig. 118), on prend sur les côtés d’un angle droit DAE (fig. 199) des parties 4B, AC égales à deux lignes homologues des figures proposées : la droite BC est coupée par sa perpendiculaire AG en deux segments BG, CG, qui ont le même rapport que ces figures. VIT. Cherchons une fiqure X semblable à une autre P et égale à une troisième Q. P et Q sont donnés : prenons un côté 4 de P, et soit x P ste mp A° son homologue inconnu, on a Fe Pers d’où ü ——; Puisque X — 0. Soient M et N les côtés de deux carrés équivalents à P et Q (n° 237), ou deux carrés M? et N° qui aient même rapport que

M she ceux-ci (fig. 199); il en résultera— 2; ainsi æ est 4° propor-

tionnelle à #4, Net 4.

VIII. Trouver deux lignes x et y, qui aient même rapport que deux parallélogrammes donnés. Les bases étant B, b, les hauteurs 4, k, on doit avoir + =. Si l'on donne y, une construction facile (n° 328) fera connaitre x. Mais si ces deux lignes sont inconnues, l’une est arbitraire ; et l’on peut prendre y — b, d’où x 7; æ est alors une 4° proportionnelle à h, H et B. Ce problème revient à construire un rectangle hx, dont on a la hauteur h, et dont l'aire équivaut à celle d’un rectangle donné BH.

© IX, Pour construire / n, on peut preñdre une moyenne proportionnelle (n° 226) entre n et 1. On remarque (n°: 238, 239) que si l’on décrit le cercle qui a l’unité pour rayon, en y inscrivant un carré et un triangle équilatéral, leurs côtés sont y” 2 et p/ 8. Quant àp/5,p/6...., la construction (n° 328) s'applique à cette recherche ; car, sur l'angle droit CBA (fig. 194), prenons 4B—2, CB=1, on aura AC — //5. De même, CD — 1, donne 4D — 6, etc.

830. L’équation du second degré x? -L px — q suppose une ligne r prise pour une unité (n° 322); il faudrait donc remplacer qg par gr, ou plutôt par »°, en faisant »° = gr. Les racines de

a? — px = m°?s0nt x — —£ … / (en? + p°); on les construit

aisément d’après les procédés généraux que nous avons indiqués ; mais il est plus élégant d'opérer comme il suit :

1° Si l'on a à? — pr = — m°, comme m° = x (p — x), m est moyen proportionnel entre x et p — x. Si donc on élève (fig. 200) AD = m perpend. sur 4B = p, puis si l’on décrit la demi-circonférence 4EB sur le diamètre 4B, DE” parallèle à 4B donne les points £, £”, pour lesquels la perpend. £F ou £’F' est moyenne proportionnelle entre les segments du diamètre. Les deux racines sont donc x — 4Fet x — AF'.

-2° Si l'on a z° — px —m°; comme "” est moyenne proportionnelle entre x et x — p, avec le rayon 4D = + p (fig. 103), on décrira le cercle 4£F, puis prenant sur la tangente une longueur AC=m, la sécante CEF passant par le centre, donne x = CÆ et= — CF, puisque m = CE X CF.

3° Si l'on a 2° + pr — + m°, on fera la même construction que dans les cas précédents; seulement les racines sont changées de signe, puisqu'il suffit de changer + en — x, pour retomber sur les équ. déjà traités. |

X. Soit proposé, par ex., de mener par le point 4 la corde BD (fig. 204), dont la longueur soit donnée = c. Gonservant la notation du problème V, nous avons encore r? — b?, ou k — x X BA, par condition ; BA = © — x; donc & = (c — x) x.

XT. Couper une droite en moyenne et extrême raison ; il faut trouver sur la ligne 4C — a (fig. 103) un point B tel que le segment BC = x, soit moyen proportionnel entre la ligne 4C, et le petit segment ÀAB = a — x, d'où 2° — a(a — x), et

= —taty (a+ ta).

Le radical est l’hypoténuse CD du triangle rectangle 4DC, dont le côté AD = < a —= : AC; ce triangle est facile à construire : on à done x = — + a + CD. Du centre D, avec le rayon 4D, décrivez le cercle £AF ; CE est — x; on porte CE de Cen B, et le problème est résolu, comme on la fait p. 247. Quant à la 2° racine, elle ne convient pas à la question ; pour l’interpréter (n° 107), il faut changer + en — x dans l’équ. ci-dessus qui devient #?— a (ax); et donne > = <+ a + CD — CF : on portera CF de C en D, et ce point D donnera DC moyen proportionnel en DA et CA. Les deux solutions conviendront à cette question : Trouver sur la droite indéfinie AG un point B ou D, tel que sa distance au point C soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point A et la longueur AC.

331. Pour construire les formules de deux dimensions, on les réduit à deux facteurs BA (comme n° 827) ; l’un est la base, l’autre la hauteur du rectangle, dont l'aire a pour valeur lexpression proposée. Ainsi, pouræ —}/ cd (a — b°), on fera a — b— B°, cd H ; B et Æ seront des lignes x à trouver, et l'on aura x = BH, rectangle connu.

Mais si l’on veut que l’aire cherchée soit un parallélogranme ou un triangle, etc., comme la base et la hauteur ne suffisent plus pour déterminer la figure, le problème admet une infinité de solutions, et n’est déterminé que si l’on donne une autre condition, telle qu'un angle, ou le rapport des côtés, etc.

Pour former un triangle équivalent à un cercle dont le rayon

est R = a VAE on prendra le diamètre 2R pour base, et la

hauteur sera une ligne h égale à la demi-circonférence, ou mt

h—7r7R—=+a + Ces valeurs se construisent par la fig. 199,

et il reste ensuite à tracer un triangle dont on prend un angle à volonté.

332. Toute formule à trois dimensions se réduit à un produit de trois facteurs, + — 4BC, qui sont les dimensions d’un parallélépipède rectangle, dont le volume est x. On peut aussi construire cette expression par un cube, ce qui constitue la Cubature des corps, ou par des tétraèdres, des cylindres, etc.

Sur les Signes des quantités dans l’Algèbre appliquée à la Géométrie.

333. Lorsque deux figures ne diffèrent l’une de l’autre que par la grandeur de leurs parties, qui y sont d'ailleurs disposées dans le même ordre, on dit que ces figures sont Directes. Si les quantités a, b, c, d....x, qui composent la 1'°, sont liées par une équation X — 0, elle a également lieu pour la 2e. Mais si les deux figures diffèrent en outre par la disposition de quelques-unes de leurs parties, de sorte, par exemple, qu’on ait # — à — b dans la lre et æ —= b — a dans la 2°, on dit alors qu’elles sont Zndirectes *, L’éq. X — 0, qui a eu lieu pour l’une, peut avoir besoin de quelques modifications pour devenir applicable à l’autre ; c’est ce qu’il s’agit d'examiner.

En nommant x le segment CD (fig. 190 et 193) formé par la perpendiculaire BD sur la base 4C du triangle 4BC, et a, b, c les côtés opposés aux angles 4, B ,C, on a (page 24 1)

BD =e— 4}m=@— x, —@+<'4D — x..,. (1) Mettant pour 4D sa valeur 4C — CD = b — x (fig. 198), ou AC + CD = b + x (fig. 190), on a

= a + D — 2bx, ou © —@ + D + 2bx. .... (2)

* Carnot, qui est l’auteur de cette théorie, qu'il a développée dans sa Géométrie de posilion, nomme corrélatives directes les figures directes, et corrélatives inverses les figures indirectes. Consultez cet excellent ouvrage.

SIGNES EN GÉOMÉTRIE, 517 Les figures 193 et 190 sont indirectes, puisque x = b — 4D dans l'une, et x — AD — b dans l'autre : chacune des formales (2) n’est directement applicable qu’à l’une des fig. Mais la formule (1) appartenant à l’une et à l’autre, la substitution de la valeur de 4D y à seule introduit des différences qui, ne provenant que du signe dex, montrent que l’une de ces équ. (2) doit se déduire de l’autre en changeant z en — x.

334. En général, si, entre les quantités a, b, c. ... x qui composent deux figures indirectes, on a les équ. X = 0 pour l’une, et X = 0 pour l’autre, il faut qu’il y ait au moins une ligne, telle que a, qui soit la somme dans la 1"° fig., et la différence dans la 2° de deux autres b et x; de sorte que &« = b — x pour l'une, et a = b x pour l’autre. Or, on peut toujours concevoir une troisième équ. Ÿ = 0, vraïe pour l’une et l’autre, et telle qu’on en déduise X —0, ou À’ —0, suivant qu’on y mettra b + x, ou b — x pour a. de

Or, ces valeurs de a ne différant que par le signe de x, X et X’ doivent se déduire l’une de l’autre en changeant x en — x. S'il y avait plusieurs quantités indirectes, il faudrait en dire autant de chacune d'elles, Indiquons les moyens de reconnaître ces quantités. Si l'on fait varier lposition des points de la 2 fig. pour la rendre directe avec la 1°, en comparant les deux valeurs + — b — a et a — b, on voit que a a dû devenir > b, de <.b qu'il était ; et comme la variation s’est faite en suivant la loi de continuité, il faut qu’on ait eu à = b : ainsi + a dû devenir nul.

Par ex., si C (fig. 193) se meut vers D et depasse ce point, afin que la fig. soit rendue directe avec 190, CD, ou x, a été nul lorsque C a passé sur D.

æ peut être ee DIEUX l'une des lig., et — pour

l’autre; alors æ aurait passé par l'infini. C’est donc le propre des quantités indirectes de ne pouvoir être rendues directes par le mouvement continu des parties de l’une, sans se trouver dans l’intervalle devenir zéro ou infini.

Lors donc qu’on a une équ. X = 0, entre les lignes a, b,c....x d’une figure, pour obtenir celle X! = 0, qui convient à une fiqure indirecte, il faut simplement changer le signe des quantités indirectes : on reconnaît celles-ci en faisant mouvoir les liqnes de l’une des figures pour la rendre directe avec l’autre; on distingue alors quelles sont

celles des lignes a, b, ©... x qui passent par zéro ou par l'infini ; ces dernières peuvent seules être indirectes:

Mais ce caractère peut s'offrir sans que, pour cela, les lignes qui le présentent soient indirectes; il faut en outre que les relations qu'on tire des deux figures, à l’aide des théorèmes connus, servent, par leur comparaison, à distinguer les quantités indirectes, pour leur attribuer ensuite des signes contraires, C’est ainsi qu'après avoir reconnu que CD = x devient zéro (fig. 193), quand C coïncide avec D, on doit ensuite tirer les valeurs de CD, qui sont AC — AD (fig. 193), et AD — AC (fig. 190) ; ce qui montre que æ a un signe différent. Ù

335. Appliquons cette théorie. Dans le triangle 42C (fig. 201), menons, par un point donné D, une droite DF, et cherchons le rapport « des deux triangles 4BC, AEF. Faisons BC— a, AC — b, AB — c; menons DIT parallèle à 4C, et soient 41 = d, DIT = f, AE X AF

10 $ AB (n° 264). Or, les triangles

AF = x. Le rapport « est —

, \ , d'où

j x semblables 4£EF, DIF donnent 4E — Ë Ê 3 abg (sd) = JE. Mie

Cette éqn. suppose que le point D est dans l'angle Z4C; mais si ce point est en D’ dans l’intérieur du triangle, on aura une figure indirecte à la première. Faisons mouvoir D vers D’, DI deviendra D'T, sans que «, b, c, ni f aient passé par 0 ou c : 47 devenant AJ", a pu seul être indirect, et l’est en effet, puisque 47 = 1B — 4B et 41 '— AB — J'B. Notre équ. n’est donc applicable à ce cas qu’après avoir changé d en — d, savoir abc (x — d) — fx’.

Et si D’ se transporte en D”,D'I' passera par zéro pour être D''I"; on s'assure ensuite que D'J' est indirecte, et que f doit être changé de signe, tandis que x, b, c, d restent comme ils étaient ; d'où æbe (d — x) — fx?. Ce cas, comparé au 1°", a comporté deux indirectes d'et f: l’F l'est pareillement ; mais cette ligne n'étant pas exprimée par l'une des lettres du calcul, il n’a pas été nécessaire d’y avoir égard.

Enfin, si la droite DF doit couper l'angle F"4E" (fig. 201 bis), it est aisé de voir, en faisant tourner DF pour devenir DE", que 4F deviendra 4F° en passant par zéro, et qu'il faut changer x en — x dans l’équ. (4), ce qui la change en la précédente.

Îl est d'ailleurs facile de traiter directement chaque cas, et d'arriver aux équ. correspondantes : la théorie que nous exposons est précisément destinée à éviter de recommencer ainsi les calculs, et a prouver que l’une des équ. renferme toutes les autres, et qu’on peut en déduire celles-ci par de simples changements de signes. Conformément à l'esprit de l’Algèbre, une même équ. renfermera donc tous les cas ; il ne faut que savoir interpréter cette langue pour en conclure toutes les circonstances que peut offrir la question.

336. Comme toute équ. doit donner la valeur de l’une des lettres qui y entrent, il se peut que précisément cette lettre soit celle qui a dû subir le changement de signe pour pouvoir s'appliquer à la figure proposée; alors on entire une valeur négative, telle que

— — k, dont il est aisé de comprendre le sens. En effet, pour obtenir l'équ. X — 0, on a dû supposer le problème résolu, et construire une figure d’après l’état hypothétique des données et de l’inconnue. La solution négative qu’on obtient annonce que la figure supposée ne peut s’accorder avec la question, et qu’en formant cette figure, et la prenant pour base des raisonnements, on a introduit des conditions contradictoires. Si l’on change x en — x, l'équ. À’ — 0 n'appartiendra plus qu’à une figure indirecte ; c’est à celle-ci, et non à la figure supposée, que convient la solution x — 4. On devra donc faire mouvoir les points de cette dernière, jusqu’à ce que À’ — 0 convienne, en faisant, bien entendu, passer par 0 ou © quelques lettres. Alors c'est à la figure ainsi modifiée que convient la solution 2 — 4.

Appliquons ces considérations à divers exemples.

[. Étant donné un point D (fig. 201) hors du triangle 4B0C, mener la droite DF telle, que les deux triangles 4£F, ABC soient dans un rapport donné «. D étant supposé dans l'angle ZAC, on à trouvé l'équ. (4), page 318, d’où l’on tire deux solutions, l’une positive, qui détermine le point F; l’autre négative,et qui se rapporte à la fig. 201 his, où DF' coupe l'angle FAE"; cela suit de ce qui a été dit pour les cas où + est changé en — x *.

* Voici divers problèmes de même nature. Séparer d’un triangle donné ABC, un triangle AEF, qui soit à ABC dans le rapport connu dem; n,

1° Par une ligne menée du sommet B, ou d'un point F de la base, fig. 134 (voy . n° 256 et page 271)

20 Par une parallèle à la base (voy. page 314) ;

Jo Par une ligne EF perpendiculaire à la base AC, fig. 193, page 304.

Par le point D, mener DF qui sépare, dans l'angle indéfini CAB, un triangle AËEF égal à un carré donné q°. Fermons, par une droite QUONeS BC, le triangle 4BC, dont nous ferons l’aire — y’, carré connu (n° 256) ; on suppose r > ou — q. Par condition, get

r sont données. Voilà donc notre rapport connu & — “a , et nous r retombons sur le 1er problème *.

II. Étant donnée une corde 4D (fig. 202), du point O, axtséariiaié du diamètre CB qui lui est perpend., mener une droite OE£ telle,

que la partie FF, comprise entre la corde et l'arc, soit de longueur donnée m. Soient 4B = a, BO = b, FE = met OF = x; nous

aurons OFX FE = 4F X FD ou mx = (a+ BF)( (a — BF) : or, BF? = x° — b°; donc mx — a? + b? — x°, d’où a sd — 5 mEy/ (a + b + rm).

L'une de ces solutions est positive; elle n’offre aucune difficulté, et se construit aisément : pour interpréter l’autre, changeant x en — #,

nous aurons 7% = 2 — a — b —= BF? — x; ce qui suppose BF > a ou BD. Faisons done tourner OF jusqu’en OF'; on voit qu’alors a, b, x sont demeurés directs ; mais lorsque OF passe en D, FE et

FD sont rendus nuls; de plus FD BD — BFet FD — BF — BD:

donc FD est indirect à FD. Il en est de même de FE” = m ; car . AE X FD

on a (n° 221) FE — rev ant

solution qui convient à F”O se trouve en changeant ici # en — m,

où FD est indirect. Donc la

ou, ce qui revient au même, x en — #.

La question admet donc deux solutions à droite de OB(et par conséquent deux à gauche); l’une est donnée par la racine positive **,

* Si, par le point donné, on mène une droite qui coupe un polygone quelconque, et en sépare une portion égale à un carré #2, en prolongeant les deux côtés occupés par cette droite jusqu’à leur rencontre, l'aire extérieure au polygone, et comprise dans cet

ngle, étant désignée par 4, celle qui est séparée de ce même angle est £? + 4. Si donc on veut séparer d'un polygone donné une aire L connue, il suffira de prolonger deux côtés quelconques, et de séparer de l'angle qu'ils forment, l'aire £ + 4. On aura soin de comparer ainsi tous les côtés, deux à deux, pour obtenir toutes les solutions, en négligeant celles où la sécante se trouve ne couper l’un des côtés qu’à son prolongement. On pourrait encore, au lieu de donner £?, prescrire que la partie séparée du polygone fût à son aire dans le rapport donné de m à n.

* Cet exemple prouve que le nombre des solutions d’une question n’est pas toujours donné par le degré de l’inconnue ; pour n’en omettre aucune, il faut faire varier la figure, la comparer avec toutes ses indirectes, en laïssant toujours les données fixes.

Rs, TE

l'autre par la racine négative. Du reste, il pourrait arriver que la question proposée n'admit pas les solutions indirectes ; c’est ce qui a lieu lorsque le problème exige que FE soit pris dans le cercle, et non au dehors : alors les solutions négatives deviennent insignifiantes ; on en a vu des exemples n° 330.

III. Quel est le segment sphérique GA4D1 (fig. 167) dont le volume est égal à celui du cône CD1G? On à vu, p. 299, que le secteur DAG = À 71h, en faisant la flèche 47 = h ; d’ailleurs le cône CDGI = © CI X cercle DT —=<(r — h) rh, en faisant la demicorde DT = k. La condition imposée revient à dire que le cône est la moitié du secteur, d’où (r — h) k = r°h; mais DI est moyen proportionnel entre les segments du diamètre, ou Æ —h(2r — h); ainsi (2r—h)(r—h)= 17, ouh — SrhLr—0,eth—!7r(38 +8). De ces deux solutions , celle qui répond à +- j/ 3 est insignifiante, puisqu'il faut visiblement que h soit € 2r. L

337. Il est un genre de problèmes qui se rapportent à cette théorie, et qui méritent de nous arrêter.

Supposons qu'il faille déterminer, d'après des conditions données, un point B (fig. 203) sur une ligne fixe CB : on prend un point arbitraire 4, qu'on nomme Origine, et l’on cherche la distance AB = x entre ces deux points. Il peut arriver alors que l’équation X= 0, qui renferme les conditions du problème, admette une solution négative x = — a ; il s’agit d'expliquer ce résultat.

On. a vu que x = a répond au problème proposé, en y supposant cependant que + devienne indirecte ; or, si le point B se meut vers C pour se placer en B”, 4B sera nul lorsque B tombera sur 4 ; ensuite AB deviendra indirecte ; car 4B — CB — CA, et 4B° — CA — CB. Si donc rien n’indique, dans le problème, que le point cherché soit situé à droite de l’origine 4, il est clair que la distance x — à, portée de 4 en P', c’est-à-dire à gauche, y satisfait, On voit même que la solution négative x — — « indique, dans À — 0, une absurdité, qui provient de ce que, pour obtenir cette équation, on a supposé le point cherché placé en Z, à droite de l’origine; position contradictoire à celle que la question comporte, puisqu'on a donné à la figure hypothétique, d’après laquelle on a obtenu l’équ. X = 0, une forme indirecte de celle qu’elle devait affecter réellement. Cette erreur est rectifiée en plaçant B à gauche de 4, en B’.

338. On doit conclure de là que toutes les fois que le but d’un problème est de trouver, sur une ligne fixe, la distance d’un point inconnu

MATHÉM, PURES, T. I, 21

à l’origine, 2] faut supprimer le signe des solutions négatives que donne le calcul, et en porter les valeurs en sens opposé à celui où on les avait placées pour obtenir l'équation.

C’est ce qu'on a pu remarquer dans le problème (n° 829, II), où l'on a porté aussi l'inconnue GJ (fig. 196) de G en 7’. De même, pour le problème IIE, on a pris CD’ = CD (fig. 197), et D’ a été un nouveau point de contact du cercle cherché avec la droite DD, etc.

Résolvons encore ce problème.

Sur une ligne 4C (fig. 203), quel est le point B’ dont les distances aux points fixes Z et C forment un produit donné = "n°2? Soit AC=—=a,CB'—x;ona 4B — a — x, d'où

æ(a— x) =", etr = 2a + (ia — mn).

11 sera facile de construire cette solution qui est double (n° 330). Sim > + a, x devient imaginaire; mais il ne faut pas en conclure qu'il y ait absurdité dans la question ; car l'erreur peut provenir de ce qu’on a attribué au point cherché B’ une position qui ne lui convenait pas. Plaçons-le donc en B, hors de l’espace 4C, alors CB= x donne 4B = x — a, puis

x(x—a) =", etr—ia+ y (a Em).

Il en résulte que 1° si la question exige que le point demandé soit situé hors de 4C, elle n’est jamais absurde, et ses deux solutions sont l’une en B, l’autre en £'; celle-là provient de la racine positive, et celle-ci de la négative, ou £C— AB.

de Si la question exige que le point soit situé entre 4 et C, elle est absurde, à moins que » ne soit <= AC, c'est-à-dire que le plus : grand rectangle qu’on puisse faire avec les deux parties de 4C est le carré de sa moitié (n° 97, III). On remarquera surtout que l’absurdité indiquée par le symbole imaginaire résulte précisément « d’une erreur de position du point B, analogue à celle qui conduit : ordinairement aux solutions négatives ; ce qui jette un grand jour : sur la théorie que nous avons développée. |

8° Enfin, si la question laisse la liberté de placer le point cherché « entre À et C, ou en dehors, elle admet 2 ou 4 solutions, suivant * que = a est << ou > m». Dans ce dernier cas, lenombre des solutions n’est point donné parle secours de l’Algèbre seule,ou plutôt PAlsèbre M donne en effet tout ce qu’elle doit donner, puisqu'elle ne rend que \ ce qu'on lui a confié, Le problème II, p.320, est dans lemême cas, “

339, Dans tout problème de Géométrie, il y a, comme on voit, deux choses à remarquer. |

1° Toute équation n’est vraie que pour la figure d’où on l’a tirée, et qui doit y demeurer annexée; si l’on veut l’appliquer à une autre figure indirecte à la 1°, on devra y changer les signes de certaines lettres désignant les données. |

2° Quand l’inconnue x est négative, l'équation d’où elle est déduite est défectueuse en tant qu’on l’applique à la fiqure directe; il faut y Changer la distribution des parties, pour l’amener à donner une valeur de x positive, Par exemple, si la longueur x est comptée sur une ligne fixe, elle devra être portée en sens contraire à celui qu’on à supposé.

340. Pour déterminer la situation d’un point # sur un plan (fig. 210), on a coutume d'employer le procédé suivant. On trace deux droites quelconques 4x, Ay, et par le point A on mene les parallèles HQ, MP à ces lignes. Soient MO — x — AP, qu’on nomme l'abscisse; MP — y — 40, qui est l’ordonnée du point #. Si ces longueurs sont données, le lieu du point sera connu, puisqu'en prenant 4P = x, AQ = y, chacune des lignes PM, OM, parallèles à 4y, 4x, devra contenir ce point ; il sera donc à leur intersection. Si y += 0, le point est situé sur 4x ; il est sur {y lorsque + = 0; enfin, pour le point 4, x et y sont nuls; 4x et 4y sont appelés les axes, A est l'origine, Vx et l’y sont des coordonnées de #.

Il est vrai que rien ne disant à priori, si le point est placé dans l'angle y 4x, plutôt que dans ceux y4x, y'Ax, ou y'Ax', la longueur # aurait pu être portée en 4P', et de même y en 40’; de sorte que les quatre points #, N, M', N', satisfaisant aux conditions données, il y aurait indécision entre eux : mais il suit de ce qu’on a dit ci-dessus, que, 1° si le point est inconnu, le calcul le déterminera en donnant ses coordonnées # et y, et selon les signes, on assignera sa position. Nous supposerons dorénavant que les x positives sont comptées de À vers la droite ; et les y positives de 4 vers la partie supérieure. Ainsi, pour les points situés dans

L’angle ÿAx, tel que M, x el y sont posilifs. L’angle yAx!', tel que N, x est négatif et y posilif. L’angle y'Ax, tel que M, x est positif et y négatif. L'angle xAy',tel que N, x et y sont négalifs, 2o Si le point est donné, l'équation tirée de sa situation supposée

n'aura besoin d'être modifiée, quant à certains signes, qu’autant ”

qu’on ferait varier la position de ce point; et pour éviter la nécessité de conserver la figure annexée à l'équation qui en est résultée, on suppose ordinairement au point quelconque donné la situation M dans l'angle y4x, afin que cette figure s'offre d'elle-même : on distingue aisément ensuite, quand on veut appliquer la formule à un exemple proposé, s’il y a lieu de changer les signes des coordonnées + et y de quelque point donné.

L'angle x4y des coordonnées est le plus souvent droit; alors les lignes x et y étant perpendiculaires aux axes, sont les distances du point Æ à ces droites, ce qui simplifie le discours et facilite les constructions.