CHAPITRE IE

Des Sinus, Cosinus, Tangentes, etc.

341. Jusqu’ici nous avons plutôt évalué les inconnues en lignes qu’en nombres ; cependant on sent que l'exactitude des solutions graphiques dépendant de la perfection des instruments et de l'adresse avec laquelle on les emploie, pour obtenir des approximations aussi grandes qu’on veut, on doit préférer l’usage des nombres. Comme on décompose toutes les figures rectilignes en triangles, les opérations géodésiques les plus compliquées se réduisent, en dernière analyse, à des résolutions de triangles, c’est-à-dire à la recherche de la valeur numérique des diverses parties qui les composent. La 7rigonométrie est la doctrine qui enseigne ces sortes de calculs.

Il est nécessaire de trouver des équ. qui lient les angles d’un triangle à ses côtés, afin que plusieurs de ces parties étant données, : | on puisse trouver les autres. L'introduction des angles dans le ealcul exige quelques précautions, parce qu’ils ne peuvent être rapportés à la même unité que les lignes. On a reinarqué que l’angle BCA (fig. 206) serait déterminé, si la position d’un point quelconque du côté BC l'était par rapport au côté 4C. Décrivons du sommet C, avec un rayon quelconque CX, l'arc XG ; l’absçisse CZ et

SIN, COS, TANG, SÉC, COT, COSÉC. 525 l'ordonnée ZX rectangulaires déterminent le point Æ, et par conséquent l'angle C; même une de ces longueurs suffit, parce que le rayon est connu. ,

L'abscisse (fig. 205) CD d’un point quelconque B de la circonférence. s'appelle le Cosinus de l’are 4B ; l’'ordonnée BD en est le Sinus ; on défi it ainsi ces lignes : le sinus d’un arc est la perpendiculaire abaissée de l’une des extrémités de l’arc sur le rayon qui passe par l’autre extrémité; le cosinus est la distance du pied du sinus au centre.

342. Si l’on eût élevé Æ/G (fig. 206) perpendiculaire sur CA, et par conséquent tangente en 6, l’une des longueurs GA et CH aurait aussi déterminé l’angle Cet l'arc XG : on nomme /G la Tangente et CH la Sécante de cet arc ; ce ne sont plus, comme en Géométrie, des lignes indéfinies. La tangente AT d’un arc AB (fig. 205) est la partie qu'interceptent, sur la tangente menée à l’une des extrémités de cet arc, les deux rayons qui le terminent ; la sécante CT est le rayon prolongé jusqu’à la tangente.

Lorsque l'arc ÆB, complément de 4B, est déterminé, 4B l’est également ; on peut donc fixer la grandeur d’un arc 4B, en donnant le sinus GB, la tangente Æ M, ou la sécante CM du complément BE ; c'est ce qu'on nomme le Cosinus, la Cotangente et la Cosécante de l'arc 4B, ou le sinus, la tangente et la sécante du complément de cet arc. | à

343. Le rayon étant donné, la grandeur d’un angle ou d’un arc dépend de celle de son sinus, ou son cosinus, ou sa tangente, ou sa sécante, ou sa cotangente, ou sa cosécante, qu’on désigne par Sin, Cos, Tang, Séc, Cot, Coséc. Nous pourrons donc, dans les calculs, introduire les arcs et les angles, en nous servant de la même unité que pour les lignes droites, but que nous nous étions proposé. Mais, avant de faire usage de ces considérations, comparons ces lignes trigonométriques entre elles, et cherchons les équ. quiles lient, puisqu'il est évident qu’une seule étant connue, les autres en dépendent.

Le triangle rectangle BCD (fig. 205) donne CD? + BD* = CB’; CD est le cosinus, DB le sinus de l'arc 4B = a, CB est le rayon À; donc

sin? a — COS? a = 1, . o . e . . (1) Le triangle rectangle CAT donne CT? = C4? + AT. séc? a —= tang? a + BR? . . e Ê . . (2)

526 TRIGONOMETRIE RECTILIGNE.

Les triangles semblables CBD, CT A donnent