NUMÉRATION

4 fois, ou 4 fois 2, ou enfin 2 multiplié par 4; on l'écrit 2,4, ou 2 X 4 : les nombres 2 et 4 se nomment les facteurs; 2 est le mulhplicande, 4 le multiplicateur, et le résultat 8 le produit. |

4. L'addition et Ia multiplication ont leurs opérations inverses. Dans l'addition ,5 4 — 9, on demande la somme 9 des deux nombres donnés B et 4. Dans la sousrracriow, ce résultat 9 est donné ainsi que l’un des nombres, tel que B, et l'on demande l’autre #; c'est-à-dire qu'il fant trouver quel est le nombre #, qui, ajouté à 5, donne la somme 9. Cette opération, qui consiste à recomposer les deux systèmes 5 et 4, qui avaient été réunis en un seul 9, revient visiblement à retrancher 5 de 9, ce qu’on marque par le signe —, qu'on énonce moins, et qu'on place entre Les nombres, devant celui qu'on veut soustraire : 9 —5— #4. Le signe — s'appelle aussi négatif.

Concluons de ce qu'on a vu pour l'addition, que, 1° si l’on augmente seulement le nombre à soustraire d'une ou plusieurs unités, le résultat sera diminué d'autant ; 2e si l'on augmente ou diminue les deux nombres donnés de la même quantité, le résultat demeurera le même ; 3° enfin, le résultat de la soustraction de deux nombres marque la quantité dont l’un surpasse l’autre, et c'est ce qui a fait donner à ce résultat le nom de différence, excès ou reste.

5. Dans la multiplication, les deux facteurs sont donnés, et l’on cherche leur produit ; mais si, connaissant ce produit et l’un des facteurs, on se propose de trouver l’autre facteur, cette opération est une pivision. On a 2 X 4 — 8; 8 est le résultat cherché de la multiplication de 2 par 4. Dans la division , au contraire, on donne 8 et 4, et l’on cherche 2, c’est-à-dire qu'on demande quel est le nombre qui, répété 4 fois, produit 8. On écrit ainsi cette division à ou 8: 4 — 2, qu'on énonce 6 divisé par 4 ; 8 est le dividende, 4 le diviseur ; le résultat cherché 2 est le quotient : en sorte que produit et dividende sont des mots qui désignent le même nombre, ainsi que diviseur et mulliplicateur, et que quotient et multiplicande ; seulement l'emploi de ces mots dépend du calcul que l’on a en vue.

6. Avant d'enseigner les moyens d'exécuter ces quatre opérations sur des grandeurs données, il faut former un langage propre à énoncer tous les nombres, et imaginer des caractères pour les désigner : c'est ce qu'on nomme le système de la numération.

Au premier abord il semble nécessaire de créer une multitude

infinie de mots pour dénommer tous les nombres, et autant de caractères ou signes pour les représenter par l'écriture, Mais les inventeurs eurent une idée ingénieuse qui les dispensa de recourir à une aussi grande quantité de mots et de chiffres : cette idée consiste à grouper les nombres par dix, et à dénommer et écrire ces groupes à part. Ainsi, ils sont convenus qu'un assemblage de dix unités serait appelé dix, ou une dizaine, et de nombrer les dizaines comme ils avaient fait les unités; en sorte qu’une dizaine, deux dizaines, trois dizaines... neuf dizaines, ou ce qui équivaut, dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, septante, octante et nonante, joints successivement aux neuf unités simples, permirent de compter jusqu'à nonante-neuf unités. |

De mème, ils ont fait un groupe de dix dizaines qu'ils ont appelé cent, ou uné centaine, et ils ont compté une, deux, trois... centaines, commeils comptaient les unités et les dizaines, savoir : une centaine ou cent, deux centaines ou deux cents, trois centaines ou trois cents. .neuf cents. Ces dénominations permirent donc de compter jusqu'à neuf cent nonante-neuf unités, en joignant ensemble les nombres formés de centaines, de dizaines et d’unités.

Dix centaines furent ensuite appelées un mille, et l’on forma les énoniciations deux mille, trois mille... neuf mille, selon la même méthode d’analogie.

Pour transporter cette heureuse invention dans l'écriture, on convint qu'un chiffre placé à la gauche d’un autre, vaudrait dix fois plus que s’il occupait la place de ce dernier. De là on conclut qu’on mettrait au premier rang à droite les unités simples ; au rang suivant à gauche, les dizaines ; à la troisième place, les centaines ; à la quatrième, les mille, etc. Ainsi, expression 23 représente deux dizaines etirois unités, ou vingt-trois; de même 423 équivaut à l’énoncé quatre cent vingt-trois. Et comme le nombre peut n'avoir pas d’unités ou de dizaines, etc., on emploie le chiffre 0, qui n’a par luimême aucune valeur, mais qu’on écrit à la place des chiffres qui manquent, pour conserver aux autres leur rang. Par exemple, 20, 400, 507, valent vingt, quatre cents, cinq centsept.

Il convient d'ajouter que l’usage a prévalu, pour énoncer les nombres représentés par 11, 12, 13, 14, 15, 16, dedire onze, douze, treize, quatorze, quinze et seize, au lieu de dire dix-un, dix-deux.….. dix-six, comme on devrait le faire d’après la convention générale, ainsi qu'on dit dix-huit, vingt-un , trente-deux, etc... Au lieu de

NUMÉRATION. ÿ

septante, octante et nonante, on dit plus ordinairement soivantedix, quatre-vingt et quatre-vingt-dix, énoncés moins conformes aux règles que nous avons indiquées, et cependant plus usités.

Cela posé, lorsqu'on aura écrit un nombre quelconque, tel que 537, pour l’augmenter de 1, il suffit visiblement d'ajouter 1 au chiffre à droite ; on a 537 1 — 538 : de même 538 + 1 — 539. Si ce chiffre à droite est un 9, on le remplacera par un zéro, en faisant frapper l'angmentation de 1 sur le chiffre du second rang : 539 + 1 — 540 ; car 530 EL 9 L 1 — 530 + 10 — 540; et si le chiffre du second ordre est lui-même un 9, alors on remplacera ces deux chiffres 9 par des zéros, en augmentant de [ le chiffre du troisième rang : 25991 — 2600 ; car 2500 +99 + 1 —2500 +100, et ainsi de suite : 12999 + 1 = 13000 ; 509 EL 1 — 510; 10999 E 1 — 11000. Tout nombre étant engendré par l’addition réitérée de l’unité, #/ résulte de là qu’on FOR écrire tous les nombres à l’aide de dix caractères *.

7. Que la numération parlée ait précédé la numération écrite,

* Le même principe peut servir à écrire tous les nombres avec plus ou moins de dix caractères; par exemple, si l’on n’a que les quatre chiffres 0, 1, 2 et 3, il faudra qu’un chiffre placé à la gauche d'un autre vaille quatre fois plus que s’il occupait la place de ce dernier : alors 10 exprimera quatre, 11 cinq, 12 six, 13 sept, 20 huit, 21 neuf, 200 trente-deux, etc.

Lorsqu'un nombre est écrit dans cette hypothèse, on éprouve, pour l’énoncer, plus de difficulté que dans le système décimal, parce qu'il n’y a plus de concordance avec le langage ; par exemple, pour lire (3120), on observera que le 2 vaut 4 X 2 ou8; le 1 vaut 1 X 4 X 4ou 16; le 3 vaut 3 X 4 X 4 X 4 ou 192 ; ainsi (3120) base 4, vaut 8 +16 192, ou 216. De même si la base est 5, c’est-à-dire si l’on ne se sert que des cinq chiffres, 0, +, 2, 3 et4, chaque chiffre vaudra cinq fois plus que s’il occupait la place à sa droite ; par exemple (4123), exprimé dans ce système à cinq chiffres, vaut 3+ 2 X 5 +1 X 25 + 4 X 125,o0u 3 + 10 + 25 + 5oo, ou enfin 538.

Donc il faut, en général, former les puissances successives de la base, et multiplier le chiffre du second rang par la base, celui du troisième par le carré de la base, celui du quatrième par le cube, etc. ; en ajoutant ces produits, on a la valeur de -la quantité proposée. Ainsi (20313) base 4 — 567, (4o10) base 5 = 505, (35151) base 6 = 5035 — (6814) base 9.

Si l'on fait attention au calcul ci-dessus, on verra qu’on peut aussi le faire comme il suit : prenons pour exemple (4123) base 5 ; multiplions le chiffre 4 par 5, et ajoutons le 1 qui est à droite, nous aurons 21; multiplions 21 par 5; et ajoutons le 2 du second rang, nous aurons 107 ; enfin multiplions par 5, et ajoutons 3, il viendra 538 pour la valeur cherchée, Il est en effet évident que par là le chiffre 4 a été multiplié trois fois consécutives par 5, que le 1 l’a été deux fois, et le 2 une fois : l’ordre des opérations est ici différent ; mais elles sont au fond les mêmes que ci-dessus, et elles conduisent plus facilement au résultat,

Réciproquement cherchons les chiffres qui expriment le nombre 538 dans le système

c'est ce qui n’est point douteux , du moins pour les petits nombres. Mais dans celle-ci, il était si facile de s'élever à des nombres immenses par la seule juxta-position des chiffres les uns près des autres, et les opérations de larithmétique ont dû produire ces resultats considérables, qu’on n’a pas tardé à reconnaitre que l'écriture des nombres n’avait besoin d'aucune modification pour s'appliquer à tous les besoins, tandis que le langage adopté p. 8 ne suffisait pas pour énoncer les quantités quand leur grandeur était exprimée par plus de quatre chiffres. Et observez que si l’on eût coutinué de donner à chaque place occupée par un chiffre une dénomination particulière, ainsi qu'on l’a fait jusqu'à quatre chiffres, unités, dizaines , centaines et mille, on serait retombé dans l'inconvénient

qui a cinq carectères : pour cela, supposons ce résultat connu et tel que (4123); il suit de ce qu'on a dit ci-dessus, qu'en formant,

EX 5+iz= ai, puisai X 5+ 2 = 107, enfin, 107 X 5 + 3 = 538,

ce calcul doit reproduire le nombre proposé. Donc, si l’on divise 538 par 5, le reste 3 sera le chiffre du premier rang, et le quotient 107 sera la valeur des autres chiffres. De même, divisant 107 par 5, le reste 2 sera le chiffre du second rang, et le quotient 21 la valeur des autres chiffres, et ainsi de suite. Il est clair qu'ici on ne fait que décomposer les opérations qu'on avait faites,

Donc, en général, pour traduire un nombre donné d’un système de numéralion dans un autre, il faut diviser ce nombre par la nouvelle base, puis diviser le quotient par cette base, puis ce second quotient encore par la base, etc., jusqu’à ce qu’on tombe sur un quotient moindre que cette base. La série des restes écrits successivement à partir de la droite, dans l’ordre où on les a obtenus, formera l’expression cherchée ; le dernier quotient sera le chiffre de l’ordre le plus élevé. Ainsi, pour écrire 567 avec 4 caractères, je divise 567 par 4, et j'obtiens le quotient 141 et le reste 3 : je divise encore 141 par4;il

\ z 35 8 vient 35 au quotient, et le reste 1 ; FA donne 8 et le reste 3; enfin, er 2, le reste est 0.

Rassemblons les restes successifs 3, 1, 3, o, et le dernier quotient, écrits en ordre renversé, et nous aurons (20313) base 4 = 567 base 10.

On verra de même que, dans les systèmes à 6, 9 et 12 caractères, le nombre 5035 est exprimé par (35151), (6814) et (2 ab 5) ; on désigne ici par a et b les nombres dix et onze dans le système duodécimal. Ce dernier système présente des avantages marqués sur le décimal, à cause du grand nombre de diviseurs de 12 ; mais il serait trop difficile de l'établir maintenant, parce qu’il faudrait changer entièrement nos usages, et même les dénominations auxquelles nous sommes familiers dès l'enfance. 7°. l'Arith. polit. de Buffon, chap. XXVII.

Tout ce qu’on vient de dire peut être exprimé plus simplement en caractères algébriques. Soient À, 2, g,... e, b, a, les chiffres consécutifs, en nombre n, qui expriment un nombre N, dans un système de numération dont la base est x, c’est-à-dire que chaque chiffre vaut x fois plus que s’il occupait la place qui est à sa droite;ona

N= tn" + han—2 +... À, ETC FORT A;

équation d'ou lon ure tous les (héorèmes enonces dans cette note.