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SIN, COS, TANG, SÉC, COT, COSÉC. 597 De même, l’éq. (2) donne la tangente quand on a la sécante, ete...

346. Parmi ces combinaisons, nous distinguerons la suivante à cause de son utilité. Cherchons le cosinus, étant donnée la

tangente. De (4); on tire cos «a — re > €t comme (2) donne a séc a =} (R?—- tang? a), on en conclut £ R?

: COS a —

VE Etang a)? YU Ah ALT «17 (9) enfin, (3) donnant RÀ sin a — cos a X tang a, on a

RE tang a y (R — tang? a)

On appelle 4D le sinus verse de l'arc 4B; d’où

sin 4 —

LU Tt

sin verse a —= R — COS a.

847. Par sin a, cos a.. .., il faut entendre le sinus, cosinus. ... d’un arc dont la longueur est a, le rayon étant fixé — R ; or, cette longueur dépend du rapport de l’are a, avec le quadrans, et sa détermination semble exiger un calcul ; mais lorsqu'on emploie les ares pour mesurer des angles, le rayon est tout à fait arbitraire; les arcs semblables étant proportionnels aux rayons (n° 182, 3°), ce n’est plus la longueur absolue a de l'arc qui entre dans les calculs, mais son rapport avec le rayon. Les sinus croissent aussi proportionnellement aux rayons, l'angle demeurant le même (fig. 206), TA KT BA | 2 puisqu'on a TZ = Sp: Le rapport du sinus au rayon s'appelle le Sinus naturel; il a pour valeur le sinus de l'arc semblable pris sin @

ñ sont alors

dans le cercle dont le rayon est un, puisque sin & et

équivalents.

Concluons de là que, 1° lorsque le rayon sera ainsi arbitraire, ce qui arrive la plupart du temps, nous ferons À — 1, pour simplifier les formules ; d’où

sin’ a cos a— 1, tang’a Æ 1 — séc’a, tang a. cota = 1, sin 4 à c | tang a — > Sséca — >» CHa—= — » ec.

cos & COS & sin &

2 Mais la supposition À — 1 rendant les calculs propres aux cas seulement où le rayon est arbitraire, si l'on veut rétablir les

formules dans l’état plus général où le rayon R est déterminé, on y sin & COS 4 sed) RM distribuera des puissances convenables de À; de manière à produire l’homogénéité (n° 322).

8° Lorsqu'on connaîtra la valeur numérique sin a du sinus d’un arc &, pris pour un rayon À, on aura celle du sinus de l'arc a” semblable,. dans le cercle dont le rayon est À", en multipliant par le rapport du deuxième rayon À’ au nus R, car

remplacera sin 4, Cos &...., par

*..., Ou plutôt on

sin @ sin d i donne sin a’ nt x sin &.

FR TONER

4° Dans la mesure des angles, on n’emploie pas la longueur absolue

des arcs, mais leur rapport au quadrans; ainsi, par sin a, on entend le sinus d’un arc dont a est le nombre de degrés (voy. n° 183).

348. L’arc de cercle (de rayon À) dont la longueur est a, ayant

pour graduation (a°), exprimée en degrés et fractions décimales,

ou (a”) en minutes, ou («”) en secondes, cherchons des relations

entre ces quantités. Le rayon étant 1, la longueur de la demi- circonférence est (page 261)

z — 8,14159 26536, Lr — 0,49714 98727 ;

z êst la longueur de 180° ou de 10800, ou de 648000” ; on a 160° : 7 :: (a°) : a, d'où 7 (ao) — 180. a ; de même 7 {a’) — 10800. a, z (a”) — 648000.a; donc, en divisant par 7, et posant

uw — 87°,29878, p — 3437,746, pe’ — 206264”,8,

on à R(a)=ua, Ra) = pa; Ra") = y'a

Ces équ. donnent la longueur a d’un arc de rayon R, dont on connaît la graduation, et réciproquement.

Si l’on fait a — R, on a (a°) — x; w est donc le nombre de degrés de l’arc égal aw rayon ; w', w' sont les nombres de minutes ou de secondes de-cet arc. Courbons le rayon sur la circonférence, il y occupera une longueur de (a°) degrés, ou de (a) minutes, ou de (a”) secondes. Prenons ensuite un arc d’un degré, ou (a° is lol rayon À étant 1; ; NOUS AVONS

de même — = ——, HS arc 1’ sin l’?

CPR TERRE EE a = —— arc 1° À arc l” sin 1”?

attendu . les arcs de 1’ et de 1” étant très-petits, on peut, sans

SIN, COS, TANG, SÉC, COT, COSÉC. 529

erreur sensible, les remplacer par leurs sinus (n° 362). On conclut de là que lorsqu'il entre, dans une expression analytique, un arc de cercle déterminé par sa longueur a, le rayon étant un, pour y 1ntroduire à la place le nombre de secondes (x) de cet arc, il suffit de remplacer a par (a”) sin 1”; et par (a) sin V si l’on veut exprimer l'arc en minutes. On trouve

Log m — 1,75812 26324, compl. — 2,24197 73676, Log x’ — 5,53627 38898, compl. — 4,46372 61172 = L sin 1’, Log x” = 5,51442 51532, compl. — 6,68557 48668 = ZL sin 1”,

349. Jusqu'ici notre arc 4B est € le quadrans (fig. 205); faisons mouvoir le point B de 4 vers EH AK. ... pour lui faire décrire le cercle entier, et suivons les variations qu'éprouvent le sinus et le cosinus. En 4 le sinus — 0, le cosinus — À. À mesure quA l'arc AB croît, le sinus augmente, le cosinus diminue, jus en £'; le quadrans 4E a R pour sinus et 0 pour cosinus.

Passé 45 degrés sexagésimaux, un arc, tel que 53°, ayant pour complément 37°, le sinus de l’un est le cosinus de l’autre : ayant donc une table de sinus et de cosinus, étendue jusqu’à 45°, la colonne des cosinus est aussi celle des sinus des arcs complémentaires, qui sont > 45°; on a même soin d’y indiquer cescompléments.

Au delà de 4E = 90°, le sinus décroiît, le cosinus augmente : on voit que, pour 4£'H, les triangles égaux HIC — BDC ont HI1= BD ; ainsi, le sinus d’un arc est le même que celui de son supplément. La même chose à lieu pour le cosinus, car ZC — CD; seulement , lorsque l'arc est > 12 le cosinus est négatif (n° 340). Pour la demi-circonf. 4E 4’, le sinus — 0, le cosinus = — À.

Nous voyons donc que passé 90°, les sinus et cosinus se reproduisent ; pour 137° le sinus est le même que celui de 43°, qui en est le supplément : on peut même préférer le cosinus de 47° qui lui équivaut ; sin 1370 — sin 43° — cos 47°. On voit qu’il suffit d’ôter 9 aux dizaines et de changer le sinus en cosinus, lorsque Parc passe 90°. Cette remarque est surtout utile lorsque l'arc est accompagné de minutes et de secondes ; de même,

cos 137° 17° 32” — — sin 47° 17’ 32”.

Quant aux autres lignes trigonométriques, on pourrait suivre de mème sur la figure leurs variations et leurs signes ; mais il est préférable de recourir aux formules 3, 4,5, 6, puisque l’on vient

de reconnaitre les signes du sinus et du cosinus, On verra donc que

sin 0—0, cos 0 — À, donnent tang 0 —0, séc. 0 = R, cot 0— © , sin 17 = À, cos1,—0..... tang 17 — co — séc 17, cot 17 —0.

Dans le premier quadrans tang & , séc a croissent avec a; cot a.

décroit : sin « est positif dans le second quadrans, tang a, séc a décroissent , cot a croit avec l'arc a; tang a et cot a sont négatifs. On voit, comme ci-dessus, que tang 137° = — cot 47°, . , . ,. cot 137°— — tang 470,

Dans les deux autres quadrans, le sinus et le cosinus reprenant les mêmes valeurs, on voit que tout arc plus grand que le quadrans,

a pour sinus, Ccosinus, tangente.... la même valeur, en ôtant 1800 w

autant de fois qu’il est possible ; seulement il faut avoir égard aux signes ; ceux du sinus et du cosinus sont connus et servent à déterminer les autres. Ainsi,

sin 287°— — sin 77, tang 63e — tang 108 — — cot 13,

Ces diverses propositions s'expriment ainsi : pour l'arc

1 quad. + a... lesin — cosa, lecos — — sina, latang — — cota. 2 quad. + a... lesin — — sina, lecos — —cosa, latang — tanga. 5 quad, + à... lesin —= — cosa, lecos — sind, latang = — cota.

Si l’arc passe 4 quadrans, ou 360°, il faut d’abord en retrancher !

toutes les circonférences. On voit maintenant pourquoi les tables de sinus, cos... ne s'étendent pas au delà du quadrans, ni même du demi-quadrans.

350. Lorsque l’arc est déterminé, son sinus, sa tangente , son 4

cosinus.…... le sont ; mais l'inverse n’est point vrai; ainsi le sinus BD

(Gg. 205) appartient non-seulement à l'arc 4B, mais aussi à son

supplément 4H, et à ces arcs 4B et 4H, augmentés d'un nombre quelconque de circonférences. Tous ces arcs ne donnent que deux angles suppléments l’un de l’autre. On fera le même raisonnement pour les cos... On doit donc s'attendre à trouver deux angles pour solutions, toutes les fois que le calcul aura déterminé le sin ou le cos..….; il reste ensuite à négliger, s’il y a lieu, celle quineconvient pas au problème.

351, En regardant l’arc 4F comme étant de signe contraire à 4B, on voit que (page 323)

sin (—a)——sin a, cos (— a) —= cos 4, tang (— a) = — tang a... \

Des Formules générales.

. 852. La résolution des triangles est renfermée dans un nombre convenable d'équ. entre les côtés et les angles.

Si BFest égal au rayon, il sera le côté de l'hexagone régulier inscrit (238) ; BAF sera le sixième de la circonf., et BA sera le tiers de AE. Le sinus du tiers du quadrans est donc la moitié du rayon. Les formules (1), (3), (5), donnent

" R siMmi7?— 2, cos:1— =: RJ/3,tang 7 re cot 17 = Ry/ 3; 1 i Sin À 1 D ATEÈNS 19 « 28 on connait aussi sin 57, puisque cos <7 — sin +7 : d’où

sin 57 — = RJ/ 8, cos 7 — +R, tang 27 — RJ/ 8, cot 7 — 2

353. Lorsque l'arc 4B (fig. 205) est de 45°, ou la moitié de 4Æ, le triangle CTA est isocèle; ainsi on a 471 — AC, ou la tangente de 45° est égale au rayon. Donc

tang 45°— R—cot 45°, cos 45°—-"-RV 2 — sin 46, tang 135° — — R = cot 185°, sin 135° = <R/ 2 — —cos1350.

354, Soit CAB (fig. 206) un triangle rectangle en À; si d’un angle aigu C, avec le rayon CKX = 1, on décrit l'arc:XG, et si l’on mène le sinus ÆXZ et la tangente ÆG, CI sera le cosinus de C'; or, les triangles semblables CXZ, CHG, CAB donnent

CK CB CK, CB, CG C4 OUR CA URT. | AB, GH à A4B?

d'où CA = CB X cos C, AB —= CB X sin C, et AB — CA X tang C.

Celle-ci est le quotient de la 2° divisée par la 1r°. Donc, 1° Un côté de l’angle droit est le Are de l’hypoténuse par le cosinus de l’angle uigu compris. «+ . . 5h, PIQUE AT 115 (54)

2 Un côté de l’angle droit est le Sri de l’autre côté par la | tangente de l’angle aigu adjacent à celui-ci. . . . . . + (8)

Nous représenterons les angles par 4, B et C, et les côtés qui

leur sont respectivement opposés par &, b et c. Ainsi, a étant l’hy-

poténuse, 4 — 90°, on a

b— a cos C, c— a cos B— a sin C, . . . (4) cs pitng.Ce.. Len 0 OMS HONOR ossi wii P)

355. Si de l'angle B (fig. 193) du triangle quelconque 4BC, on abaisse la perpendiculaire BD, l'angle B sera coupé en deux angles, qui seront les compléments respectifs de 4 et C. Nos théorèmes ci-dessus donnent BD — AB. sin 4, BD — BC. sin C; d'ou c sin 4 — a sin C; donc,

sin 4 sin B sin C

puisqu'on peut abaisser la perpendiculaire de l’angle C ou 4. Ainsi, {out triangle a les sinus de ses angles proportionnels aux côtés opposés.

En désignant par x le segment D 4 (222), on a « — b? c° — 2bx ; mais le triangle rectangle BD4 donne D4 — BA X cos 4, ou æ — c cos À ; donc

@ = b + ce — 2bc cos 4 . . . . (D)

Si la perpendiculaire BD (fig. 190) tombe hors du triangle, il

faut + 2bx au lieu de — 2br. Mais comme alors l'angle BCA est |

obtus , le cosinus devenant négatif, le signe de — 2bc cos 4 rede-

vient positif, et se rétablit de lui-même ; donc notre formule s’ap-

plique à tous les cas (339).

Les équ. 4 et B servent à résoudre les triangles rectangles; C

et D servent pour les triangles obliquangles (voy. n° 363).