Soient deux arcs (fig. 207) 4B — «x, BD = B ; cherchons

les sinus et cosinus de leur somme 4) , et de leur différence 4K,

connaissant les sinus et cosinus de « et 8. Menons la corde DK au

milieu Z de laquelle le rayon CB est perpendiculaire; puis les

parallèles Æ7, KH à AO, et les perpendiculaires DP, 1G et KO ; W DP est le sinus de 4D —(x+ 8); KO est celui de AK = « — B;

les cosinus sont CP et CO : ces quatre quantités sont les inconnues du problème.

On voit que DE = EH:DE et IG ont donc pour somme IG+LDE,ou . . . hier eue cDP =sin(s tp), et pour différence ZG — DE — HP, ou KO = sin (4 — B); de même Æ'Z étant la moitié de ZX , on a PG—= GO— ET; ainsi CG et ET ont Dr somme... . .. . :., . et... CO = Cps (a — 0} et pour différence . . . . . . . . CP —= cos (x L B),

- donc sin (4 + 8) — 1G + DE, cos(a HB)—CG+ EL.

Il ne reste plus pour obtenir ZG, DE, CG, ET qu’à appliquer l’équ. À aux triangles rectangles CZG, DET, où l'angle EDI — x, Il vient ZG — CI X sin «, DE = Dlcos a; or, DT = sin Bet CI = cos B; ainsi, ona |

1G = CI K sin à — sin x cos B, | DE"=MDT $C é08'x — sin B cos 4:

on a de même CG — CI X cos à — cos x cos B, EL = DM XX siuox —|{sin-+ sinip ;

d’où sin («+ 8) = sin « cos B + sin B cos «, . . (F)

cos (a E B) = cos « cos B sin & sin B&. . . (F)

Ces quatre formules sont d’un usage très-fréquent. Si le rayon, au lieu d’être= 1, était À, on mettrait simplement À pour diviseur des seconds membres (347, 2°).

857. Faisons « — £ dans ces ni ; en prenant le signe supérieur, on trouve

sin (EE sine. CDs JL En SR 0 lle Het (D cos (24) == COS’x — sin’x.. ., « + .« « . (A) —= Qcos?x — 1 — 1 — 2sin’x,

à cause de sin?x — 1 — cos’z. Telles sont les valeurs du sinuset du cosinus du double de l’arc x *.

* Pour avoir les sinus et cosinus de 3x, on fait 8 = 2%, ce qui donne. . . .. sin 3x — sin &« cos 24 H- sin 24 cos æ, cos 34 — elc.; mais il faut mettre pour sin 2x et cos 2x leurs valeurs, et il vient

sin 3x = 3 sinx— 4 sin3æ, cos 3 &« — 4 cos®4 —3 cos «. Il est aisé de -voir qu'en résolvant ces équ. par rapport à sin « et cos «, on aurait les si-

nus et cosinus du tiers ; on obtiendrait de mème ceux de 4x et 7 etc, (voy. ci-après,

358. Si l’on regarde dans ces équations sin x et cos & comme inconnus, et sin 2x, cos 24 comme donnés, il faudra éliminer entre « elles. Mais comme le caleul serait compliqué, on préfère employer,

au lieu de la 1re, 1 — cos’4 + sin’x; alors en ajoutant 77, où ën soustrayant, on obtient de suite

2cosx — 1 cos 24, 2sinx — 1 — cos 24.

Si donc on change ici 2x en «, ce quiest permis, on a

cosla, — V (—e) sine — V (=), : (DA

équ. qui douhent les sin. et cos. de la moitié d’un arc, La formule de la page 327 devient ainsi propre au calcul des log.

sin verse & —= 2sin=4 — | — Cos x.

359. Divisons l’une par l’autre les formules Æ et F, il vient

sin (4 + 8) __ Sin & cos B H sin B cos « cos (4 E B) cos a cos B Æ sin «sin B°

Or, si l’on divise les deux termes du 2° membre par cos « cos B,

sin & ee en remarquant que {ang & = cos x? ON obtient . S (4

___ tang « E tang B tang (x Æ 8) — LL CE

qui donne la tangente de la somme et de la différence de deux arcs. Si « — , on a celle du double,

2tang à

tan 2x ES LR e ] L2 e C2 e e 2 ë 1 —tang? « (2) * On a de même cot (x £) A fON OP PAT ES (1) cot 8 EE cot« Si l’on fait « = 45°, comme tang 45° = 1, il vient a:

nn LA eee PUB ee G) 1 Etang 8 De même, les formules £ et F donnent sin (œ + £) cot 8 -F Cot « ___ tango + tang 8 @) sin (4 — Ê) 7 cot 8 — cot« tang x — tang ° sin (x + £) cotg LE cote tang « —H tang 8 lé) cos (x FE £) Hi cot « Cot 8 I H tang «tang 8° cos (x + 8) cot 8 —tange, 17 tang « tang

“Æ : us (5) cos (x — 8) cot 2 + tangx 1 -tang «tang Æ

En divisant l’une par l’autre les équ. (7), il vient

| 1 — cos « 1 — cos « tan Z. —— (EE Et . . o M ange (IS) ET (H)