TABLES DE SIN., COS., TANG

et le rayon en un nombre arbitraire de parties égales, on soit parvenu à trouver combien chaque sin, cos.... contient de ces parties ou unités, et qu'on ait inscrit ces nombres près de chaque arc ; on aura formé une table contenant, dans une 1re colonne, les graduations des arcs; dans une 2e les sinus, dans une 3: les cos. ... Il suit des équ. 1, 3, 5 que, quand on a les sinus, un calcul très-simple donne les cos., tang....; ainsi, la recherche des sinus doit d'abord nous occuper, et l’on a vu (349) qu'il n’est nécessaire d'en pousser le calcul que jusqu’à 45°, parce qu’au delà de cet arc les valeurs se reproduisent. Ainsi, il s’agit de calculer les sinus êt cosinus de tous les arcs <{ 45°, le quadrans étant partagé en degrés, minutes. ...

La re équ. du n° 360, et celle qu’on obtient de même en ajoutant les équ. F, deviennent, en posant « = mx, B = »,

sin (mL 1) x —2 cos x.sin x — sin (m — 1) x, cos (m + 1) x —2cosx.cos mz.— cos (m — 1) x.

St les arcs procèdent dans l’ordre x, 2x, 8%....(m— 1) x, mx, (m + 1) x....,æest le plus petit arc de la table, et il suit de nos équ. que si z et y sont les sin. on cos. de deux arcs successifs (im — 1) x et ox, et p = cos x, le sin ou cos de l’arc suivant (m+ 1) x est — 2py — z. Donc, chacun des termes de la série des sinus et de celle des cosinus dépend des deux termes qui le précèdent , et s’obtient en multipliant ceux-ci par 2p et — 1, et ajoutant.

362. Prenons l'arc 4C — CB — AL (fig. 192), et menons la corde 4B et les tangentes LE, CE ; nous avons (170)

corde 4B < arc 4B, LEC © arc LAC; d’où, AI ou sin 4C < arc AC, ECoutang 4C © arc AC.

L'arc << 90° a sa longueur comprise entre celles de son sin et de sa tang ; et comme l'éq. 3, page 326, donne en — __ , dont le 2° membre approche sans cesse de 1, à mesure que x décroît ; le 1er a aussi 1 pour limite, c'est-à-dire que le sinus, l'arc et la tangente tendent sans cesse vers l'égalité, l'arc restant intermédiaire.

Ce principe sert à calculer le sinus du plus petit arc de la table ; car

PT tai des -æ, On tire sin;æ >-+-æ.cos-æ; mul- COS + æ tipliant par 2 cos 5x, ona 2 sin ;æ . COS; > cos ;4, Où MATHÉM, PURES, T, I. 22

de tang + æ ou

sin æ > æ (1 — sin = x), et à plus forte raison sin x > # — + x",

puisque sin + æ <°+ x : on voit donc qu'en résultat sin x est inter-

médiaire à æ etæ — + x, savoir, snv>œr—ra, et x.

Qu’on parte de x = 3,1415926536 et log 7 — 0,49714987 pour calculer #, qui ést une fraction déterminée de la demi-circ. 7, et par suite æ — %x*; comme sin x est compris entre ces deux limites, les décimales communes seront une valeur approchée de sin #, le rayon étant 1; et si x est pris assez petit, comme sin x et x diffèrent de moins en moins, l’approximation pourra être étendue à tel

ordre qu’on voudra ; sin æ — a. D'ailleurs, on a

cos &— y 1 — sin x —y(1 +a)(l—a)=p;

donc le facteur 2p est connu ; et partant, de sin 0 = 0, sin x — @, d’une part; de cos 0x = Î, cos x — p de l’autre, par la lai 2py — z, on calculera de proche en proche les sin. et cos. des arcs 27, 32, Ar...

Par ex., si x — 30, le 180+ du quadrans est x — 0,008726646, 5 4 — 0,000000166, x — 5 25 — 0,00872648 ; ainsi, sin 80’ —0,008726. Si la table doit procéder de minute en minute, avec 6 décimales, tous les sinus d’arcs <° 30° sont censés égaux à l'arc; sin 1’, 2,8"... sont =, =, =. ... de 0,008726. D'où l’on voit qu'il faudra d’abord faire croître les ares de 30” en 80, sauf à les rapprocher ensuite, ce qui sera très-facile : on trouve

p=00s30 = 1,008726 %0,991274, ou 0,999962 — 1—0,000038.

Le facteur 2p est 2 — 0,000076 ; ainsi il est aisé de” calculer les autres nombres de la table.

. En général, pour qu’on soit en droit de prendre # = sin x, il :

faut que + #° n'ait pas de chiffre significatif dans les décimales qu'on doit conserver. En veut-on 8, par ex. ? il faudra que les 8 1ers chiffres de +? soient des zéros; et sans calculer ##, on voit qu’on devra descendre à l’arc de 10’.

Du reste, il faut prendre plus de décimales qu’on n’en veut con- «

server, afin d'éviter que les erreurs s'accumulent et que les derniers

chiffres soient défectueux. On a soin de vérifier, d'espace en"espace, «

les résultats obtenus, soit par les formules des sin (4 + 8) et sin 2z,

soit en calculant d'avance, par le même procédé, les sinus de degré