DE COORDONNÉES

rectangles, si elles sont obliques; prendre pour origine le point 4, qui doit être le pôle: enfin la droite 4x, à partir de laquelle on compte les ares 6, devra être l’axe des x. Ensuite on mettra r cos 9 et r sin 9 pour x et y.

Réciproquement, si l'on a l’équ. en r et en 4 d’ane courbe, en éliminant ces variables à l’aide des relations précédentes, on la traduira en coordonnées rectangulaires x et y.

Prenons pour ex. l'équ. (2) (n° 377), du cercle dont le centre « (fig. 226) a pour coordonnées # et B ; elle devient par nos valeur: de æety:

7° — dr (x cos 0 Bsiné) E & LB — R—0... (1)

1° Pour chaque rayon vecteur r, la distance de l’origine À à la courbe est double, 4H et AN. Les valeurs de 7 sont imaginaires pour les inclinaisons 4 de la ligne 4/77 qui ne rencontrent pas le cercle.

2 Le produit des deux racines r”, r” de r est (n° 137, 3c)

"= n — AM se AN=&@+G — RP,

os

quantité indépendante de 9 ; done, si d’un point fixe 4, on mène des

droites quelconques, le produit 4H X AN des deux rayons vecteurs est constant pour toutes les sécantes.

Selon que le point 4 est intérieur ou extérieur au cercle, on retrouve les théorèmes n° 225 et 226.

3° Le coeflicient du 2° terme est la somme des deux racines 7” et r’ en signes contraires ; faisons 4C —=m, l'angle CAM — 9 ; il vient O— pi, a—m cos 1, B — m sin, et

rer = 2m (cos à cos ÿ - sin 9 sin à) — 2m cos (4 — i)—= 2m cos y :

donc 4M AN = 2m cos y, équ. facile à construire lorsque, connaissant deux des quantités »’” — r’, m» et », on demande la &.

4° Pour que 4 soit tangente, il faut que les racines 7” et 7’ soient égales, et l’équ. (1) un carré exact, ou (n° 138)

4 (a cos 8 EL B sin 6) — 4 (a LB — PR) —0, d'où, À? — &° sin° 4 — 248 sin 4 cos 0 —- B? cos 4 —(x sin 4 — 8 cos 8)" ER = m (cos à sin 4 — sin ë cos #) — m sin (9 — 2) — m sin 9.

Dans le triangle rectangle 47C qui a 4C = m pour hypoténuse MATHÉM, PURES, T, 1, 24

et l’angle », R est donc le côté 7'C opposé à cet angle 4 (n° 363): ; CÜ qui prouve que la tangente au cercle est perpendic. au rayon mené au point de contact. D'ailleurs les racines r’’ et r’ étant égales, on à

= 0 + & — RE = m — R = (m + R) (m — À)

our — AB X A1— AM X AN : la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie extérieure.

5° La différence des racines de l’équ. (1) est la corde MN — k, k= +92 LR — («sin 9— 8 cos 6 —2y/ (R?—m* sin° (9 — i)] donc m sin 9 = + ares rh’). Lorsqu'on veut mener pär un point À une corde MN qui ait une longueur donnée, on portera cette corde sur un arc #n (fig. 228) pris où l’on voudra sur le cercle, et la perpendiculaire Co sera la valeur de »# sin 9 — Co ; » est l'angle opposé à Co dans le triangle rectangle dont l'hypoténuse est 4C. Donc tracez la circonf, qui a Co pour rayon, et dun point 4, menez des tangentes à ce cercle, qui détermineront le triangle CFA pour lequel l'angle 4 = 0 : ainsi les tangentes M à ce cercle seront les deux solutions du problème, qui ne seront possibles qu’autant que le point 4 sera extérieur à ce cercle.

6° Sans rien ôter à la généralité, on peut prendre pour axe des # la droite AB (fig. 226) qui joint le pôle au centre, ou B — 0 : or si le pôle est un point Z sur la circonf., R = « et l’équ. (1) se réduit à r2 — 2r R cos 8 — 0, d'où r — 2R cos 8; c’est la longueur 4 d'une corde inclinée de 6 sur le diamètre, Imaginons (fig. 56) un 2° cercle tangent au même point 4, le rayon étant R’'; sa corde sera k'— 2R cos 4, d’où k : k' :: R° R': les cordes menées par le point de contact À de deux circonférences tangentes, intérieures ou extérieures, sont donc entre elles comme les rayons.