En résolvant, ona y = + TE Va

Puisque chaque abscisse x donne deux ordonnées y épales et de signes contraires, l'ellipse est telle que 4BOD (fig. 230) symétrique par rapport à l’axe 40 ; elle l’est aussi relativement à BD, puisque Æ x et — x donnent la même valeur de y. Ainsi, lorsqu'on plie la figure selon 40 ou BD, les parties de la courbe se superposent et coïncident.

y est imaginaire quand # > + à, & l’est pour y > + b; donc là courbe est fermée. BC = b est la plus grande ordonnée, CO = «a la plus grande abscisse ; 40 est ce qu’on nomme le grand axe;

BD est le petit axe ; A et O sont les sommets, C le centre. Ainsi, 24*

l’ellipse est une corde fermée, telle, que la somme des rayons vecteurs menés des deux foyers à un même point quelconque est constamment égale au grand axe ; cet axe est la longueur de la droite qui, passant par les foyers, traverse la courbe de part en part; les extrémités de cette ligne sont les sommets, le milieu est le centre.

8388. Comparons deux ordonnées y, y’ d’une même ellipse, qui ont +, +’ pour abscisses (fig. 230); les équ. a° y? — b? (a? — x’), @ y? = D? (a? — x°°) donnent le quotient

RQ ge | (a fx) (a — 2%).

par a+e)(a—v) or, CP— x, AP — ax, PO —= a — x : ainsi les carrés des ordonnées sont entre eux comme'les produits des distances du pied de ces ordonnées aux deux sommets.

En changeant x en y et y en x, l'équation (3) se change en b° y? + a x° = a° b°; ainsi elle conserve la même forme, qu'on prenne 40 ou BD pour axe des +.

889. Le cercle ZNO décrit du centre € avec le rayon a (fig. 230), a pour équ. F — y (a — +°), où F — PN : comparant cette ordonnée à PM (n° 387), on a F 2. Ainsi le rapport des ordonnées du cercle et de l’ellipse, qui répondent à une même abscisse, est constant et égal à celui des axes ; y est donc toujours < F : le cercle renferme l’ellipse. Celui qu’on décrit avec le rayon BC y est au contraire renfermé.

Cette propriété fournit une construction fort simple de l’ellipse. Après avoir tracé les axes donnés 40, BD, et les circonf. inscrite et circonscrite (dont les rayons sont beta), on mène un rayon quelconque CNW, etpar les points Q et NW, où cette droite coupe les circonf., on trace les parallèles aux axes, OM, NP ; leur section 4 est un point de l’ellipse, car on a

ne ou =]; d'où PM = y,

890. La définition de l’ellipse donne un autre procédé pour décrire cette courbe (fig. 229). Après avoir tracé les deux axes AO, BC, du point B comme centre, et avec le rayon CO, décrivez un arc de cercle qui coupera 40 en F et F': ce seront les foyers, à cause de l’équ. & = 4° — c? (n° 386), Du centre F'et avec un

ELLIPSE. 375 rayon égal à une portion quelconque de 40, telle que XO, tracez un arc vers /Z ; puis du centre Æ”, avec le reste 4X du grand axe, tracez un 2° arc, qui coupera le 1‘ en Æ ; ce sera un point de la courbe, car FM FM — AO: on aura de la sorte quatre points de l'ellipse avec les deux mêmes rayons, en décrivant des ares des deux côtés des axes. Le même procédé fera connaitre autant de points qu'on voudra de la courbe,

Lorsque l’ellipse a de grandes dimensions, on fixe aux foyers F et F" les deux bouts d’un fil long de 40, puis on fait glisser sur ce fil, toujours tendu , un stylet # qui trace la courbe.

391. À mesure que les deux foyers s’éloignent l’un de l'autre, ou que b diminue par rapport à a , l’ellipse s’allonge et s’aplatit davantage ; au contraire, si les foyers se rapprochent, elle s’arrondit ; enfin , si ces points se confondent, ou «= b, on ay + x°— a’, et la courbe devient circulaire. On peut donc regarder le cercle comme une ellipse dont les axes sont égaux.

Les équ. (1) montrent que les rayons vecteurs de l’ellipse sont rationnels par rapport aux abscisses x. La distance FC —c est ce qu’on nomme l’£xcentricité; z et z’ deviennent maximum ou minimum pour x = + a, savoir, z—@ + c : ainsi, de tous les points de l’ellipse, © est le plus voisin , et À le plus éloigné du foyer F. L’extrémité B du petit axe est à la moyenne distance de F ; car x — 0 donne z— > —a—BF#.

On nomme Paramètre la double ordonnée qui passe par le foyer; on l’obtient en faisant > — ©, ou à? = a? — b?, dans l’équ. (3); et on trouve y +7; P= = est donc le paramètre : c’est une troisième proportionnelle au grand et au petit axe.

Pour transporter l’origine au sommet À, il faut changer x en x — a dans l’équ. (3), et l'on trouve a°y* — b? (2ax — x”).

392. Rapportons l’ellipse à des coordonnées polaires (n° 385), le pôle étant à l’un des foyers F; changeons x en # + c dans la valeur (1) de FM, et ensuite x’ en z cos 6, 4 étant l'angle HFO ; il vient

'moshatéte 1nPmoa-(l. ve) 7 a+ ccos9 1 + e cos 9°

On désigne par e le rapport de l'excentricité au demi-grand axe, ce —=ae; le pôle est en F',et les arcs 4 sont comptés, à partir du

sommet voisin O, dans le sens OMB. Si l'origine est à l'autre

foyer 7", et les arcs 9 comptés dans le même sens, il faut changer iciecn — €.

De l'Hyperbole.

393, Cette courbe jouit de la propriété que la différence des rayons vecteurs FM — FM (fig. 231) est une quantité constante AO = 2a= 7 — 3, En plaçant l'origine au milieu C de FF", ete, etreproduisant le calcul du n°386,on a demême z°? — z°—2u(z" x) — Àcx ; ainsi

FM=s= a FM=a= ta. ()

On trouvera, comme au n° 387, que l'hyperbole est nés par rapport aux axes FF” et Cy; carona

y= Eyes.

Plus x croît tant positivement que négativement, et plus y augmente; mais on ne peut prendre x <° Ha; y est nul pour x =+a: donc la courbe ne s’étend pas entre les deux sommets. et O ; partant de ces points, elle forme deux branches opposées par leurs convexités et indéfiniment étendues, ouvertes l’une à droite, l'autre à gauche. Le point C'est le centre, AO — 2a le premier axe; l'ordonnée à l'origine est imaginaire , & — 0 donne y = + bj/ — 1. Si l’on rend cette quantité réelle en changeant de signe sous le radical , la longueur b qu'on obtient, ou l’ordonnée centrale rendue réelle, est ce qu'on nomme le demi second axe, qui n’est plus, comme pour l'ellipse, une des dimensions de la courbe.

394. Les ordonnées y et y’ (fig. 232), qui répondent aux abscisses æ et x’, donnent , comme n° 868,

ÿ 2? — (& a) (x — a) (DS AD

mr an | ER

y? a?— a? (x'La) (x —0) Per ra AP EE

On a encore les carrés des ordonnées proportionnels aux produits des distances de leurs pieds aux deux sommets.