HYPERBOLE

Quand a —b,on a y = x» — «° : l'hyperbole est dite équilatère.

En changeant x en y, et y en x, l’équ. devient by? — ax = «b?. La forme est la même, au signe près du 2e membre; les x sont comptées sur BD et les y sur CP ; l'hyperbole est dite rapportée au centre et au 2° axe (comme fig. 257).

Changeant x en x -L a, l’origine vient au sommet 4, et l’équ. de l'hyperbole est

ay = D (2ax + »°).

395. Si l’on décrit une ellipse 4BOD (fig. 232) sur les mêmes axes, elle sera comprise entre les deux sommets et allongée dans le sens des x ou des y, suivant que a sera > ou <° b; ce sera un cercle si l'hyperbole est équilatère. Ces deux courbes ont des propriétés analogues, dont on peut voir les détails dans la GTR de position de Carnot, p. 143.

396. La définition de l'hyperbole donne un procédé pour décrire cette courbe. Après avoir tracé les axes FF, Cy (fig. 231), et marqué les foyers F, F’, on décrira vers A7 un arc de cercle du centre F, avec un rayon quelconque 4@, puis du centre F", avec le rayon OG on décrira un 2° ‘arc; le point A7 de section sera sur la courbe , puisqu'on a FM — FM — AO. On aura, avec les mêmes rayons, quatre points de l’hyperbole, puis autant de points qu'on voudra en changeant de rayons.

Les équ. (4) montrent que les rayons vecteurs de l’hyperbole sont rationnels par rapport aux abscisses.

Le paramètre, ou la double ordonnée passant par les foyers,

l 2b° conserve la même valeur que pour l’ellipse p — PE

En raisonnant comme n° 392, on obtient pour l’équat. polaire de l’hyperbole, le pôle étant en F (fig. 231), et faisant l’angle AFM = 4 etc— ue,

CES 0 er a (e — 1)

a + © cos 6 1 + e cos 0”

397. En comparant les équat. de l’ellipse et de l'hyperbole, on observe que l’une se change en l’autre, lorsqu'on y remplace b par b // — 1. Get artifice de calcul servira à traduire les formules obtenues pour l’une de ces courbes en celles qui conviennent à l'autre.

- | De la Parabote.

398. Étant donnés un point fixe ou foyer Fig. 234) et une droite quelconque Q0Q”, la parabole estune courbe dont chaque point H est à la même distance de F que de QQ’, qu'on nomme directrice. Prenons pour axe des x, DF perpend. sur QQ, pour origine le milieu 4 de FD = p, et pour axedes y la parallèle 4B à QQ" ; 4 est visiblement un point de la courbe.On a AP=—x, PM—y, OM—DP, ou 3—=<p+-1; dans le triangle FMP, FM = 23 = y Æ (x —<p}; donc en égalant les valeurs de z, etc., on a y° — 2px, pour l’équ. de la parabole, courbe qui est symétrique par rapport à l’axe des + seulement.

Il résulte de la génération de cette courbe, que l’ellipse dont le grand axe devient infini se change en une parabole.

Deux points (x, 4’), (y, y’) d’une parabole donnent

= 2pr, ÿ°=pr, =

Les carrés des ordonnées sont entre eux comme les abscisses currespondantes.

Si la constante 2p, qu'on nomme paramètre, est inconnue, et qu'on ait un point de la courbe, on voit que 2p est 3° proportionnelle à l’abscisse et à l’ordonnée de ce point.

Pour tracer la parabole dont on a le paramètre 4B — 2p (fig. 233), comme y estmoyenne proportionnelle entre 4B et x, on décrira un cercle BCP qui passe en B, et dont le centre soit en un point quelconque de 40 ; AC sera l’y qui répond à l’abscisse 4P : ainsi les parallèles CH, PM aux axes coordonnés, détermineront un point # de la parabole. On en obtiendra de même autant d’autres qu’on voudra.

Si l'on faitz—=+;p == AF (fig. 284), on a y = + p; ainsile paramètre 2p est encore, dans la parabole, la double ordonnée passant par le foyer.

8399. La génération de la courbe donne un moyen simple pour la tracer. On a vu que 3 = <p + x; ainsi le rayon vecteur est encore rationnel. Prenez sur l'axe 4x (fig. 234), à partir du sommet 4, des distances 4D — AF —+9p, F sera le foyer, la perpend. QQ" à Az sera la directrice ; et il s’agit de trouver tous les points # qui sont à égale distance de l’un et de l’autre. Menez une ordonnée indéfinie quelconque ZW’, puis du foyer F pour centre, avec PD