APE 1 cos

Des Sections d'un cône droit par un plan.

AFM compté du sommet; il vient 3 —

400. On demande l’équ. de la courbe 40 (fig. 235), intersection d'un cône droit ZDB par un plan quelconque O4.

Si par l’axe BX on fait passer un plan BDI perpendiculaire au plan coupant (il le sera à la base, n° 272), l'intersection de ces plans sera la droite 4O, projection de l’axe du cône sur le plan coupant; c'est ce qu'on nomme l'AÆxe de la section conique. Par un point quelconque P de cet axe, menons un plan parallèle à la base D] ; ses intersections, avec le cône et le plan coupant, seront le cercle FMG et la droite PM, laquelle étant perpend. (n° 273) sur FG et AO, est une ordonnée commune aux deux courbes.

Cela posé, soient 4P = x, PM = y; cherchons une relation entre x, y, et les données du problème, qui sont l'angle B40 = a, l'angle DBI — B et 4B — c. La propriété du cercle donne y = FP X PG; trouvons FP et PG.

Dans les triangles 4FP, POG et 4BO, on a (C, n° 355)

sin & FP sin © sin sin (x + 8) B) ACL UE dc aura 2 PT Sie TM PO TS A0 2% sin O sin (æ— 8) sin MRC c sin B 4H eût c 6 CO SRE. sin sin (x 8)"

Or, dans le triangle BHF, l'angle F est complément de + 8; donc

___ æsin & __ sin («+ 8) c sin B re cos + B? Es cos + B nr a+ B) —«),

et l’on a, pour l'équation demandée,

d — mr [cæ sin B — x? sin («+ B) |. . . . (4)

Pour obtenir toutes les sections du cône, il sufhit de faire prendre au plan coupant toutes les positions possibles , c'est-à-dire de faire tourner la droite 40 autour du point 4 dans le plan BZD, et de changer aussi 4B = c. Il se présente trois cas.

1° Lorsque & + 8 — 180°, le plan coupant est parallèle à Ja génératrice BI (fig. 236); et la courbe s'étend à l'infini ; en faisant sin (4 — 8) — 0, notre équ. devient (à cause de G, n° 357)

sin? B

ç' PEER 4 cos? + B

scæ == dc sint£ 6 . +. . . (B) c’est celle d’une parabole *

2° Tant que « + 8 <[ 180°, le plan coupant rencontre toutes les génératrices d'un même côté du sommet ; la courbe est fermée : (4) en est l’équation.

3° Enfin, lorsque à + 85% 180°, le plan coupant rencontre les deux nappes de la surface de part et d'autre du sommet ; la courbe a donc deux branches étendues à l'infini WAN', LO'O (fig..235), dont la courbure est opposée. Or, « + 8 © 180° change le sinus du signe, et l'on a

sin &

= —— à Les sin Pr-frar sine ( (x 8) + . . (C)