SOUSTRACTION

On voit qu'if faut réunir séparément les dizaines et les unités des nombres proposés ; ce raisonnement est général.

Par exemple, prenons 3731 —L 349 L 12487 + 54; en faisant séparément la somme des unités, puis des dizaines, des centaines , etc., on aura 15 mille 14 centaines +- 20 dizaines —-21 unités, ou 150001400200 L 21; mais, opérant de même sur ces derniers nombres, on a 16 mille 6 centaines — 2 dizaines + 1, ou 16621. Ce calcul se fait plus com- : ps modément en écrivant, comme on Île voit ei-contre, les 12 487 nombres les uns au-dessous des autres, et faisant corres- ss pondre, dans une même colonne verticale, les chiffres du même ordre. La somme des nombres de chaque colonne doit être écrite au bas, si elle ne passe pas 9; autrement on n’en pose que les unités, et on réserve les dizaines pour les ajouter, comme simples unités , avec les nombres de la colonne qui suit à gauche, ce qui détermine & commencer le calcul par la colonne à droite.

Voici plusieurs exemples d’addition :

Pour le premier, on fera ainsi le calcul : 3 + 8 font 1#,11+7 valent 18, 187 égalent 25 , somme des unités 3 Æ 8717: on posera 5 sous le trait, au premier rang à droite, et on joindra les 2 dizaines à la colonne suivante : puis on dira 2 plus 8 font 10, plus 1 font 11, plus 8 valent 19, plus 2 font 21 ; on pose À, et on retient 2 pour joindre aux centaines. 2 Æ 7 —9,9LS3— 12...;0ona 26 centaines, on pose 6 et on retient 2; enfin on trouve 24 à la 4°-colonne : on pose le 4 et on avance le 2, c’est-à-dire qu’on écrit 24 mille. La somme est 24 615.

De la Soustraction,

9. L'habitude d'additionner suffit pour trouver la différence entre les nombres simples; par exemple, le nombre qui, ajouté à 8, donne 7 pour somme, est 4 : ainsi 7 — 3 — 4, On peut aussi parvenir au résultat, en ôtant de 7 autant d'unités que 3 en contient ;

7—8—6— 9 — 5-1 — 4. Accordons par conséquent quon sache faire la soustraction des petits nombres.

Prenons cet exemple plus composé, 695 — 243. Ilest 9 visible que, si l’on connaissait le nombre qui ajouté à 243 245 donne 695 pour somme, 8 les unités de ce nombre, 452 4 + ses dizaines; 2 }-ses centaines devraient reproduire 695; on écrira donc les nombres proposés comme pour l'addition , le plus petit en-dessous; puis on retranchera chaque chiffre inférieur de celui qui est au-dessus : on dira5 —3—2, 9— 4—5, 6—2 — À4,et 452 sera la différence cherchée.

Mais il peut arriver que le chiffre inférieur surpasse le :>6 447 supérieur. Dans l'exemple ci-contre, on ne peut ôter 8 de 19 528 7. Ilest clair qu'alors 86 147 devant être la somme de 19,819 19 328 + le nombre cherché, en faisant la sonime de la 1° colunne , 8 les unités inconnues, ont donné , non pas 7, mais 17 pour somme; et qu'on à retenu la dizaine pour la joindre à la colonne suivante. On doit done dire, non pas 7 — 8, mais 17 — 8 — 9, et écrire ce chiffre 9 au rang des unités. Mais, en continuant l'addition , Ja colonne suivante est formée de la dizaine retenue, des chiffres 4, 2, et des dizaines cherchées ; et ajoutant celles-ci à 2et a la retenue 1, on doit produire 4 : il ne faut donc pas dire 4 — 2, mais 4 — 3 —1, qu'on posera aux dizaines. De même pour les centaines, au lieu de 1 — 3, on dira 11 — 5 reste 8, qu'on posera ; mais on retiendra 1 pour l'ajouter au 9 suivant; ainsi, 6 — 10, ou plutôt 16 — 10 — 6, et on retiendra l ;, 8 —2— 1.

En général, lorsque le chiffre supérieur sera le plus faible, on l’augmentera de dix, puis on retiendra un pour le joindre au chiffre inférieur qui est à la gauche. On remarquera qu’en effet le nombre supérieur est augmenté par là de 10, mais qu'on augmente pareiilement l'inférieur de 10, ce qui n’altère nullement la différence (n° 4).

Pareillement , dans lexemple ci-contre , on dira : 3 990 499 9 — 3—6 ; 2—7 nese peut; 12— 7 —5, et je retiens 1 ; 2 578 575 4 — 6 (au lieu de 4 — 5) ne se peut, 14 — 6—8,etje 121 856 retiens 1 ;,0 — 9 {au lieu de 0 — 8 })ne se peut, 10—9—1]; 0 —8 ne se peut ; 10 — 8 — 2, etc.

Voici quelques autres exemples de soustraction :

SOUSTRACTION. il

10. Lorsqu'on veut retrancher un nombre de l'unité suivie d'autant de zéros que ce nombre a de chiffres, c'est-à-dire de 1000... 2{ faut retrancher le chiffre des unités de 10, et les autres chiffres de 9. Ainsi 1000 —— 259, se trouve en disant 10 — 9 = 1; puis 9 — 5 —=4; 9 — 2 — 7, eton a 1000 — 259 — 741. De même . . . . . .

1 000 000 — 279 953 — 720 047. Ce calcul est si facile qu il mérite à peine d'être compté pour une opération ; on s'en sert pour réduire toute soustraction à une addition ; voici comment :

Soit demandée la différence 3487 — 259. Il est clair qu’en décomposant 3487 en 2487 1000, la différence avec 259 n'est pas changée , eton aura 2487 H 1000 — 259, ou 2487 + 741—3228. Aiusi, au lieu de soustraire 259, on a réellement ajouté 741. On voit donc qu’on peut retrancher un nombre d’un autre, en soustrayant le 1*% de 1 suivi d'autant de zéros qu'il a de chiffres, et ajoutant le résultat au 2° nombre donné , pourvu qu'on retranche ensuite une unité de l’ordre immédiatement supérieur à celui du nombre à soustraire. On indique cette dernière soustraction par placé à l’ordre de chiffres dont on vient de parler ; ainsi l'opération ci-dessus revient à 3487 — 259 — 3487 L 1741, calcul qu’on effectue comme on le voit ci-contre. Observez que En 1741, ajouté au nombre 259, donne zéro, ou 1741 +259 29%

— 0. La quantité 1741 est ce qu’on nomme le complé-

ment arithmétique de 259. En général, pour former le complément arithmétique d’un nombre, il faut retrancher tous ses chiffres de 9, et celni des unités de 10, puis placer 1 à gauche. Le complément d’un nombre ajouté à ce nombre donne zéro pour somme. Au heu de retrancher un nombre, on peut ajouter son complément AS Er tique.

Lorsqu'il y a plusieurs additions et sous-

tractions successives, l'usage des compléments de so Fe se peut présenter des avantages; par exemple, + 9 | __ ‘371

32731 + 5729 — 371 — 4834, prend la 35 166 | — 4 834 forme ci-contre, attendu que les compléments de 371 et 4834 sont 1629 et 15166. Nous recormmandons toutefois d'éviter Femploi du complément, et de s’exercer à faire les additions et soustractions colonne par colonne. C'est ainsi que, dans notre exemple, après avoir dit 9 EL 1 — 10, 4 + 1—= 5, on retranchera 5 de 10 et on posera 5 au rang des unités du reste; puis 3 +2= 5, 7 + 3—10;5 — 10 ne se peut ;

33 255 | Reste 33 255

donc 184 — 10 — 5, qu’on pose aux dizaines, en retenant 1 pour joindre aux centaines soustractives, etc.

De la Multiplication.

11. Nous écrirons le multiplicande le premier ; ainsi 4 X 5 X 2 signifie qu'on répétera 4 cinq fois, et que le produit 20 devra être pris 2 fois.

Puisque 4 X 5 n'est autre que 1 + 1 1 HE 1 répété 5 fois, il suffit de prendre chaque unité 5 fois, ou 5 Æ 5 +5 is 5; expres-

sion qui revient à 5 répété 4 fois : ainsi, so M à L 4 fois 5 est égal à 5 fois 4, ou #4 X 5—5 X 4. Soir

Ce raisonnement peut être présenté sous la 4 dt

forme d’un tableau 4, composé de 5 lignes, TT Petite dont chacune contient #4 unités. Il est clair res ATIIEe que le nombre des unités est 4 répété 5 fois, —— Mais , en renversant le tableau, comme on battus Sd le voit en 2, on trouve 5 répété 4 fois, le B OT Die nombre des unités étant nécessairement le Sphioint cu: même dans les deux cas, le produit de 4 X 5 SL er 5

est le même que celui de 5 X 4.

Soit aussi 5 X 4 X 2 ; comme 5 répété A DIN ES LM ee Do RAT le 5H 5+L5+S5, il reste à prendre 2 fois ce résultat, ou . 10H 10-L10— 10, ou -10 répété 4 fois. Donc 5 X 4 X 2 —5 X 2 X 4. On peut donc changer de place les deux derniers facteurs, comme on à vu qu'on pouvait échanger les deux premiers entre eux. Ainsi,

DIX AN 24 NX = SN 2 Ki ENONCE M me EN ER a

On voit donc qu'on peut intervertir de toutes les manières possibles l’ordre des facteurs sans altérer le produit.

Démontrons ce théorème pour plus de trois facteurs : par exemple, pour 4 X 5 X 3 X 2 X 9.

Le facteur 9 ayant la dernière place dans le premier produit, prouvons. qu’on peut le placer où l’on veut, et d’abord à l’avantdernier rang, savoir 4 X 5 X3X2XI—=4X 5X 3 X9X2. En effet, les trois premiers facteurs 4 X 5 X 3 donnent 60, et il faut prouver que 60 X 2 X 9 — 60 X 9 X:2, et c’est ce qui vient d'être démontré. De mème dans le produit #4 X 5 X 3 X 9, on

peut faire passer le 9 avant le 3, savoir 4 X 5 X 9 X 8, et ainsi de suite. D'où l’on voit que, sans changer le produit, on peut faire occuper successivement toutes les places au dernier facteur 9, les autres facteurs restant dans le même ordre.

Mais à son tour le nouveau facteur terminal 2 peut être mis à tel rang qu'on veut dans chacun de ces résultats, savoir, IXSXIXEX2—4X5XIK2X3—4X5 X2X9X3— etc. Donc, en définitive, la place de chaque facteur est arbitraire.

12. Lorsqu'il arrive qu'un nombre se mulliplie lui-même plusieurs fois consécutives, comme 3 X 3 X 3 X 3, on dit qu'il est élevé à une Puissance, dont le degré est marqué par le nombre de facteurs, qu'on appelle Exposant. Ici 3 est élevé à la quatrième puissance, ce qu’on indique par 3% — 61; # est l’exposant ou le degré. De même 2—2 X 2 X 2—8. On donne aussi à la deuxième puissance le nom de Carré, et à la troisième le nom de Cube. 7° ou 7 X 7—49 est le carré de 7 ; 7° —7 X 7 X 7 — 843 est le cube de 7.

Le nombre qui se multiplie ainsi lui-même, ou qui est affecté d’un exposant, se nomme Racine : ainsi 7 est la racine carrée, ou seconde de 49, la racine cubique ou troisième de 343, la quatrième de 2401, etc. Ces racines s'indiquent par lesr@ne Ranrcai W/ , et on place, dans les branches, le nombre qui en marque le degré.

7 — 348, d'où 7—y/ 343; 54—625, d'où 5—1/ 698.

Lorsqu'il s’agit de la racine 2°, on se dispense ordinairement d’en indiquer le degré, et d'écrire le chiffre 2 sur le radical; en sorte

que Yet V4 sont la même chose ; 8° — 64, donc 8 — 1/64, 6 est dit la racine, ou la racine carrée de 64.

13. Puisque pour multiplier un nombre (n° 3), il suffit de l'ajouter autant de fois qu’il y a d’unités dans le multiplicateur, on voit que, 1° sil’on multiplie l'un des facteurs par 2, 3, 4...,le produit est lui-même multiplié par 2, 3, 4... En effet, si, au lieu de 3 X 5, je prends 12 X 5, chaque fois que j'ajouterai 12 au lieu de 3, je prendrai le quadruple de 8, c’est-à-dire que j'aurai pris de trop le triple de 3 ; le résultat sera donc composé du produit 3 X 5 quadruplé : ainsi, 12 X 5 est quadruple de 3 X 5, parce que 12 est quadruple de 3. Et aussi pour multiplier 12 par 5, on peut, si l’on veut, multiplier 8 par 5, et ensuite le produit 15 par #4, parce que 12—=0 X À

De même si l'on divise l'un des facteurs par 2, 3, 4..., le produit sera divisé aussi par 2, 8, 4.

20 2 l’on multiplie l’un des facteurs, et qu'on divise l’autre par un même nombre, le produit n’est pas changé: 14 X 8—7 X 16; 14 est double de 7, et 16 l’est de 8.

3° Lorsque les facteurs sont terminés à droite par des zéros, on peut les supprimer, pourvu qu'à la suile du produit on en mette un pareil nombre. Ainsi 300 X 20 devient 3 X 2, en Ôôtant les trois zéros, qu'on restituera à la suite du produit 6 ; on aura 300 X 20—6000. En effet, 300 X 20 — 3000 X 2, car 300 est décuplé (n°6), et 20 est divisé par 10. Or, dans l'addition de 3000 à lui-même, on voit que les trois zéros demeurent dans la somme, comme provenant des trois premières colonnes; la suivante donne 3 X 2—6; donc 6000 est le produit demandé.

14. I s’agit maintenant de pratiquer la multiplication de deux nombres donnés ; il se présente trois cas.

1er cas. Les deux facteurs n’ayant qu’un seul chiffre chacun. La table suivante, qui est due à Pythagore, se formie en écrivant sur une ligne horizontale les 9 premiers nombres, puis ajoutant chacun d'eux 9 fois successives, on écrit ces produits dans une même colonne verticale. Par exemple, 4 4—8, 8+4=—12, 12+4—16, 16 —- 4=— 20, 20 —- 4 — 24, etc.

T'able de Pythagore.

Veut-on trouver le produit 7 X 5, il suit de la génération des divers nombres de ce tableau qu'on cherchera 7 dans la première ligne, et qu'on descendra dans la colonne verticale correspondante, jusqu’à la case qui est dans la ligne horizontale dont 5 est le chiffre initial ; cette case porte 35, et ona 7 X 5 — 35. Il importe dese rendre familiers les produits des nombres simples, afin de ne pas être forcé, chaque fois qu’on veut les obtenir, de recourir à cette table, qui n'est elle-même formée que par des additions successives.

S'il fallait, ainsi que l'exige la définition (3), ajouter le multiplicande autant de fois qu’il y « d’unités dans le multiplicateur, V'opération deviendrait presque impraticable pour les grands nombres. Voyons comment on peut la réduire à la multiplication des nombres simples.

2e cas. Le multiplicateur n'ayant qu’un seul chiffre. Pour multiplier 2967 par 4, j'imagine. pour un moment, qu'on veuille en effet exécuter l'addition de 2967 pris 4 fois, ainsi qu'elle est faite ci-après. La colonne des unités ne contiendra que le chiffre 7 écrit verticalement 4 fois; ainsi cette somme sera 7 X 4 ou 28 ; on

posera 8, et on retiendra 2 pour joindre à la colonne des ; de

dizaines, formée du chiffre 6 écrit 4 fois. Il faut donc dire 2 967

6 X 4 — 24, et ajoutant la retenue 2, on a 26 ; ainsi on Eee 8 *

posera 6 et on retiendra 2, etc. Cette opération revient

donc à multiplier chacun des chiffres du multiplicande par 2 967

le multiplicateur, en commençant par la droite : on écrit les role à |

unités de chaque produit au-dessous du chiffre quil'a donné, Er

eton retient les dizaines pour les joindre au produit suivant.

Ce procédé n’est, à proprement parler, que l'addition même,

excepté qu'on se dispense d'écrire plusieurs fois le nombre à ajouter. 3e cas. Les deux facteurs étant composés de plusieurs chiffres.

Multiplier 2327 par 532, c’est répéter 2327, 2 fois,

30 fois, 500 fois, et ajouter le tout. 1° On multi- = He pliera d'abord 2327 par 2, comme on vient de le 7 654.par 2 dire ; 2 pour former le produit par 80, on multi- 69 81...par 5

: ÿ LADE : 1 163 5....par 5 pliera 2327 par 8, et on ajoutera un zéro à droite =

1 257 964 du produit, d'après ce qu'on a vu (13, 3°) ; enfin, pour répéter 500 fois 2327, on multipliera par 5, et on ajoutera deux zéros. L'opération prend donc la disposition ci-dessus, dans laquelle on observe que, comme leszéros n’influent en rien sur l'ad-

dition , on s'est dispensé de les écrire : alors le produit par 3 a été simplement reculé d'un rang vers la gauche, et le produit par 5 de deux rangs. On voit donc qu'il faut multiphier l’un des facteurs tour à tour par chacun des chiffres de l’autre. Chaque produit partiel doit être écrit de manière que ses unités soient placées au même ordre que le chiffre du multiplicateur qui les a données : on ajoute ensuite le tout.

La multiplication des nombres composés dépend ainsi du cas où le multiplicateur n’a qu’un chiffre, et celle-ci dépend à son tour du cas où chaque facteur n’a qu’un seul chiffre, c'est-à-dire de la table de Pythagore. Comme il convient d’être très-exercé à la pratique de cette opération , nous en mettrons ici quelques exemples,

Quant au nombre de chiffres qui composent le produit, supposons qu'on ait à multiplier 3687 par 968 ; le facteur 968 est © 100 et <[ 1000 ; ainsi le produit est entre 368700 et 3687000, c’est-àdire qu’il a 6 ou 7 chiffres. En général, le produit de deux nombres est formé d'autant de chiffres qu'il y en a dans les deux facteurs, ou un chiffre de moins. Quand on a 8,4,... facteurs, le même raisonnement donne des limites de la grandeur du produit et du nombre de chiffres qui le composent *.

De la Division.

15. De même que la multiplication n’est que l'addition réitérée

* Soient «, B, y... la quotité des chiffres de divers facteurs, a, b, c.…., dont le nombre est n ; ilest clair que a «10 ES (5. c Lio)... le produit est Pose AT È 1} — 1

ou abc... 10m, en posant m = « + 8 + y... D'ailleurs,a > 10,8 > 107 ,

cD107 "3; d'où abc... D 10 METTRE EE > 10° * : donc le produit abc... est compris entre 10”—# et 10": il ne peut avoir au delà de #2 chiffres, mais il en a plus de m—n. Ainsi le produit ne peut avoir plus de chiffres que les facteurs proposés écrits successivement comme s'ils ne formaient qu'un seul nombre ; mais il en a plus que celle quotité moins le nombre des facteurs.

du même nombre, on peut considérer la division comme une soustraction répétée, le quotient marquant combien de fois on peut ôter le diviseur du dividende. Si on veut diviser 8 par 2, et qu’on retranche d'abord 2 de 8, puis 2 du reste 6, 2 du reste 4, et enfin 2 de 2, on arrive au reste zéro ; 2 ayant pu être soustrait 4 fois de 8, on peut regarder 8 comme composé de 4 fois 2; et par conséquent 4 est le quotient. Il suit de là que le quotient qui marque combien de fois un nombre est répété pour former un produit, indique aussi le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende ; ou, ce qui équivaut , le dividende contient le diviseur autant de fois qu'il y a d'unités dans le quotient. Donc, si l’on veut former deux parts égales dans 8 unités, il faut diviser 8 par 2 ; le quotient 4 exprime la grandeur de chaque part.

Le dividende n'étant autre chose que le produit d'une mulüiplication dont le diviseur et le quotient sont les deux facteurs, il suit de la définition et des propriétés connues (n° 13) que, 1° on ne change pas le quotient lorsqu'on multiplie ou qu’on divise par un même nombre le dividende et le diviseur: 36; 9 donne le même quotient que 72 : 18 et que 12 : 3.

2° Si le dividende et le diviseur sont terminés à droite par des zérus, On peut en supprimer à chacun un égal nombre sans altérer le quotient : 6000 : 200, et 60 : 2 donnent le même quotient 30 (voy. p. 14).

3° Si l’on multiplie seulement le dividende, le quotient sera multiplié par le même nombre; si l'on multiplie le diviseur, le quotient sera divisé. Qu’il s'agisse, par exemple, de diviser 24 par 3, le quotient sera 8, ou 24: 3 —8; mais si l’on double 24, ce quotient sera doublé, 48 : 3 — 16; et si l'on double 3, le quotient sera réduit à moitié, 24: 6— 4. Enfin 48 : 6 —8, c'est-à-dire que le quotient reste le même quand on double le dividende et le diviseur.

4 Lorsqu'on veut exécuter plusieurs divisions successives, l’ordre dans lequel on les doit effectuer est arbitraire ; on peut même n’en faire qu’une seule, en prenant pour diviseur le produit de tous les diviseurs. Si l’on veut, par exewple, diviser 24 par 2, et ensuite le quotient 12 par 3 , on obtient 4 pour résultat ; mais si l’on eût divisé par 3 d'abord , et ensuite par 2, ou bien si l’on eût divisé 24 par 2 X 3 ou 6, on aurait obtenu de même 4. Cela résulte de ce que la division par 2 et par 3 revient à supprimer tour à tour les facteurs 2 et

3 dans 24, qui est le produit de 2 X 3 X #4, ou de 3 X 2 X 4. Par

MATHÉM, PURES. T, 1, Q

la même raison, (6X 4) :(8X2)—(6 : 3) X(4 : 2}—6 : 2X3)X4.

16. Le quotient de 35 : 7 est 5, puisque 35 —7 X 5; mais si l'on veut diviser 38 par 7, on décomposera 38 en 35 3, ou 38 — 7 X 5 + 3; la division ne se fait plus exactement : 35 est seulement le plus grand produit de 7 contenu dans 88, et 8 est le reste de cette division.

Si l’on forme tous les produits consécutifs d'un nombre par 1,2, 3,... les résultats sont tous divisibles par ce nombre, ou en sont les multiples. C'est ainsi que 35 est multiple de 7, ou divisible par 7, tandis que 38 ne l’est point.

En prenant pour dividende et diviseur deux nombres quelconques, on doit donc dire que le quotient, multiplié par le diviseur, donne un produit qui, ajouté au reste, forme le dividende. Le reste est d’ailleurs moindre que le diviseur, puisque , si celui-ci y était encore contenu, le produit du diviseur par le quotient ne donnerait pas le plus grand multiple du diviseur contenu dans le dividende.

En multipliant toute l'équation 38 —7 X 5 3, par un nombre tel que 4, on a 182— 28 X 5 + 12: le quotient de la division de 152 par 28, et celui de 88 par 7, est également 5; mais le reste 3 est devenu quadruple. En multipliant le diviseur et le dividende par un même facteur, le quotient n’est pas changé, et le reste est multiplié par ce facteur.

Soient 34 et 24, deux nombres qui, divisés par 5, donnent le même reste 4, leur différence 10 doit être multiple de 5, car

34— 6 X 54, 24— 4 X 5 + 3, et retranchant ces deux équations, on a 10 — 2 X 5.

17. La table de Pythagore sert à trouver le quotient , lorsqu'il n’est exprimé que par un seul chiffre, aussi bien que le diviseur. Veut-on diviser 835 par 7, par exemple, on descendra, dans la colonne verticale du nombre 7, jusqu’à la case qui contient 35 ; elle répond à la ligne horizontale qui commence par 5, en sorte que 35 — 7 X 5; donc 5 est le facteur ou le quotient cherché.

Pour diviser 65 par 9, comme on ne trouve pas 65 dans la 9e colonne, mais 63 et 72, on a 65— 7 X 9 +2: on voit que 7 est le quotient , et 2 le reste. Il faut se rendre ces divisions trèsfamilières, afin de ne pas être obligé de consulter la table de Pythagore pour les exécuter.