Venons-en aux divisions OP

let cas. Le diviseur n'ayant qu'un seul chiffre. Soit proposé de

diviser 40 761 par 7 , c'est-à-dire de trouver un nombre qui, multiplié par 7, reproduise 40 761. Si ce nombre était connu, on le vérifierait en le multipliant par 7 ; les unités devraient donner le produit 1; en retenant les dizaines pour les joindre au produit suivant , on trouverait de mème 6 aux dizaines ;

. : . : 40.761 7 le produit des centaines donnerait 7; enfin celui 35 {35 des mille , 40. Le quotient n’a point de dizaines de 57 mille, puisque 10 000 X 7 donne 70 000, qui sur- Ds passe 40 761. Concluons de là que 40 contient le 14 produit de 7 par le chiffre des mille du quotient, 21 et en outre la retenue faite sur les centaines. Le se.+. plus grand multiple de 7 contenu dans 40 est 35 on 7 fois 5, et 40 est compris entre les produits de 7 par 5 et par 6 ; si l’on multiplie 7 par 5000 et par 6000, l’un des produits sera donc moindre, et l’autre plus grand que 40 761 ; ainsi le quotient est entre 5000 et 6000, c'est-à-dire que le chiffre des mille est 5, donné par le plus grand multiple de 7 contenu dans 40, En retranchant de 40 ce multiple 85, le reste 5 est la retenue faite, dans la multiplication par 7, sur les centaines du quotient. Si donc on joint à ce reste 5 les autres chiffres 761 du dividende, 5761 sera le produit par 7 des parties inconnues du quotient ; et pour trouver celles-ci, il ne s'agira que de diviser 5761 par 7, question semblable à la proposée, et qui permet le même raisonnement.

On divisera donc par 7 les centaines 57, ou plutôt le plus grand multiple de 7 renfermé dans 57: le quotient 8 serale chiffre des centaines du quotient, qu'on posera à droite du 5 qui en est les mille. Observez qu’il est inutile de descendre, près du reste 5, toute la partie 761 du dividende, et que, pour former le dividende partiel 87, il suffisait de descendre près du 5 le chiffre 7 des centaines. En multipliant 8 par 7 , et ôtant le produit 56 de 57, le reste 1 est la retenue qui provient des dizaines, en sorte que, si l’on joint 61 à ce reste, 161 est le produit par 7 des dizaines et des unités du quotient : pour les obtenir, il faut donc diviser 161 par 7, et ainsi de suite. Le quotient demandé est 5823.

On voit qu'on trouve tour à tour chaque chiffre du quotient , en commencant par l’ordre le plus élevé, et qu’il faut sans cesse descendre près du reste le chiffre qui suit dans le dividende , puis prendre le plus grand multiple du diviseur qui est contenu dans le nombre ainsi formé.

Lorsqu'on s’est exercé à ce calcul, on ne tarde pas à reconnaitre

que, dans une opération aussi simple, il est inutile d'écrire chaque produit à soustraire, parce que la soustraction se fait de suite. Ainsi, après avoir trouvé que 40 : 7 donne le chiffre 5 des mille du quotient, on prend 5 fois 7, et on retranche le produit 35 de 40; le reste 5 s'écrit sous le 0 du dividende; on y joint le 7 des centaines, et on divise 57 par 7, etc. L'opération se réduit alors à la forme que nous lui avons donnée ci-contre. Il est même remar-

quable qu’on peut encore l’abreger, en n’écrivant pas 10224 —. . . « . 9

chaque reste pour le joindre au chiffre qui suit dans 76 le dividende : par exemple, 40 : 7 donne 8, qu’on F: écrit sous 40 ; le produit 7 fois 5 ou 35, se retranche de 40, et l’on conserve dans Ia mémoire le reste 5»)

de à 40 761 7 pour le joindre au 7 des centaines ; 57 : 7 donne 6? 5 895 } —

qu’on écrit sous les 7 centaines : 7 X 8 — 56, qui, ôté de 57, donne le reste 1; cet 1, joint au 6 dizaines , donne 16; 16 : 7—2, etc. Ce calcul a la forme très-simple que nous avons indiquée ici.

Voici d’autres exemples de ces divisions:

2e cas. Le diviseur ayant plusieurs chiffres. Proposons-nous de diviser 1916 par 329. Puisque 829 X 10 — 3290 , qui surpasse le dividende 1916, le quotient est moindre que 10 : ainsi le quotient n’a qu’un seul chiffre; supposons-le connu, et on le trouvera facilement en faisant les produits successifs de 329 par 1, 2, 3,... jusqu’à ce que ce produit soit 1916, ou que la différence avec 1916 soit moindre que 329. Soit 5 ce quotient.

1916 étant — 329 X 5 — le reste, si l’on mul-

‘ Pr «sis ! 329 tiple par 5 les unités 9, les dizaines 2 et les centai- 5 nes 8, et qu'on ajoute le reste, on devra reproduire Produit...1645 1916. Le calcul indiqué ci-contre prouve que les PEN AEE : DE , 1916 centaines 19 du dividende sont formées, 1° du pro- ;

duit 15 des centaines 8 du diviseur par le quotient supposé 5; 2° de la retenue 1 faite sur les dizaines ; 8° de la partie 3 qui provient de l’addition du reste 271.

Il suit de là que, si l’on pouvait ôter de 19 ces deux retenues, le reste 15 serait le produit exact des centaines 3 du diviseur par le chiffre du quotient; et la division de 15 par 38 ferait connaitre ce chiffre. Mais comme on ne peut ôter de 19 la double retenue qu'on

ne connaît pas d’abord, on divise 19 par 8, prenant ainsi pour divi- dende un nombre trop grand : le quotient qu'on trouve peut être fautif; mais il ne peut pécher que par excès. Dans notre exemple, 19 : 3 donne 6; mais comme on trouve que 6 X 329—1974 ©1916, on reconnaît que lequotient supposé est trop fort : on essaye 5 ; etle produit 5 X 329 est 1645 <[ 1916 ; ce qui prouve que 5 n’est pas trop fort, et que par conséquent 5 est le quotient cherché. Otant 1645 de 1916, on trouve le reste 271.

Coneluons de là que si le quotient est <[ 10, c’est-à-dire n’a qu’un seul chiffre , &/ faut supprimer, à droite du dividende et du diviseur, un égal nombre de chiffres, et diviser les parties qui restent ; le quotient sera celui qu’on cherche, ou le surpassera; la multiplication servira ensuite à le vérifier *. Voici quelques exemples de ce calcul. Dans le 1er, on divise 72 par 8, mais on trouve, par la multiplication, que le quotient 9 est trop furt, et on le réduit à 8.

72 520 8 369 386 782 99 887 823 945 (82 476 Produit, .66 952 8 299 661 3 742 284 9 Reste..., 5 368 Quotient. 87 121 81 661

Proposons-nous maintenant de diviser 191 687 par 329. Je sépare vers la gauche du dividende la partie 1916, qui soit assez grande pour contenir le diviseur 329 ; je fais la division de 1916 par 329, en suivant la règle précédente : le quotient est 5, donnant le produit 1645 et le reste 271 ; j'écris ces nombres ainsi qu'on le voit ei-contre : ce mil À nombre 5 est le premier chiffre du quotient, 4Reste. 72718 a et désigne les centaines, ou 500, attendu que 2652 1916 exprime aussi des centaines. En effet, ?° Reste. ML puisque 1916 est compris entre 5 et G fois le %e Reste. 200 diviseur 329, cette partie 1916 étant des cen-

* C'est surtout lorsque le deuxième chiffre vers la gauche du diviseur surpasse 5, que la tentative conduit à poser un quotient trop fort ; car, dans la multiplication du diviseur par le quotient pour reproduire le dividende, le produit du premier chiffre à gauche du diviseur doit être ajouté aux dizaines qui ont été retenues. Pour 1435: 287, par exemple, si l'on dit 14 : 2 donne 7; ce 7 sera trop grand, attendu qu’en multipliant 287 par 7, le produit 2 X 7 des centaines devrait être accru de la retenue 6, provenant de 87 X 7. Mais si l’on suppose 5 pour quotient, comme 87 X 5 donne 4 à retenir, et que 14 — 4 di-

visé par 2 donne en effet 5, il est clair que 5 est le quotient cherché, 4 1435 j Observez que, si l’on remplace 287 par 300, le quotient se Sir trop faible, puisque,

ayant augmenté le diviseur, il est contenu moins de fois dans le dividende 1435. Si l'on vent

taines, le dividende proposé est lui-même compris entre 500 et 600 fois 329 (n° 13, 8°); donc le quotient cherché est composé de 500 -!- des dizaines et des unités, qu'il s’agit maintenant de trouver.

En retranchant du dividende Île produit de 329 par 500, partie connue du quotient, c’est-à-dire en Ôtant 1645 de 1916, et joignant au reste 271 la partie 87 qu’on avait séparée , il est clair que le reste 27187 est le produit de 239 par les dizaines et les unités inconnues du quotient, plus le reste : d’où il suit que, si l’on divise 27187 par 8329, on devra obtenir au quotient ces dizaines et ces unités.

À cette question, semblable à la proposée, le même raisonnement s'applique , et l’on est conduit à la même conséquence. Séparons donc le premier chiffre à droite 7, c’est-à-dire descendons seulement le 8 à la droite du premier reste 271, ce qui donnera 2718 à diviser par 329 : le quotient 8 est, par la même raison que ci-dessus, le chiffre des dizaines; du dividende partiel 2718, ôtant le produit 829 X 8 — 2632, le reste 86 provient du produit de 329 par les unités, plus l’excès du dividende total sur un multiple exact. Enfin, si l'on divise 867 par 8329, on obtient les unités 2, et le reste 209. C’est le même calcul qui se reproduit sans cesse, et qui donne tour à tour les divers chiffres du quotient, en vertu d’un raisonnement qui diffère peu de celui qu'on a fait dans le cas où le quotient n’a qu’un seul chiffre. |

Donc, pour faire une division , il faut séparer, vers la gauche du dividende, les chiffres nécessaires pour contenir le diviseur, diviser cette partie par le diviseur ; le quotient n'aura qu’un seul chiffre, qui sera le premier des chiffres à gauche du quotient cherché, et son ordre sera le même que celui des unités du dividende partiel. On multipliera ce quotient par le diviseur ; on retranchera le produit du dividende partiel; à la droite du reste, on descendra le chiffre suivant dans le dividende proposé, et on recommencera la même opération , qui don-

éviter de longues tentatives, quand le deuxième chiffre vers la gauche du diviseur surpassera 5, on ajoutera 1 au premier chiffre, pour obtenir le quotient supposé ; mais lorsque ensuite on voudra vérifier ce quotient par la multiplication, il faudra rétablir le iliviseur tel qu'il était. L'erreur, s’il y en a, consiste alors à donner un chiffre trop faible pour quotient; et cette erreur est manifestée par un reste qui surpasse le diviseur. Dans le cas que nous considérons dans cette note, il y a quelquefois de l’avantage à doubler , ou tripler,.… le dividende et le diviseur, afin d'amener le deuxième chiffre de celui-ci à être € 5. Le quotient n’est point altéré par ce calcul (n° 15, 1°).

DIVISION. 25 nera le second'chiffre du quotient, de même ordre que le chaffre descendu. On continuera ce calcul jusqu’à ce que tous les chiffres du dividende soient épuisés.

Si l’un des dividendes partiels ne contient pas le diviseur , il ne faudra pas oublier de mettre nn zéro au quotient ; puis on descendra un second chiffre du dividende.

Au lieu d'écrire chaque produit et de soustraire, il est plus court d'effectuer à la fois la multiplication et la soustraction. Par exemple, lorsqu'il a fallu multiplier 329 par 5 et ôter de 1916, voici comment on à pu opérer : 5 X 9 — 45 unités, qu'on ne peut Ôter des 6 unités du dividende 1916 ; mais ajoutez 4 dizaines à ce 6, et dites 46 — 45 — 1, que vous poserez sous 6. Comme 1916 aura par là été augmenté de 40, pour ne pas altérer la différence cherchée, il faudra de même ajouter 40 au nombre à soustraire, c'est-à-dire retenir 4 dizaines, qu'on joindra au produit suivant 2 X 5 —= 10; on a donc 14 à ôter de 1 dizaine ; on dit, de 21 Ôtez 14, il reste 7, qu’on écrit sous À, et on retient les deux dizaines ajoutées; enfin 5 X 8+2— 17, 19 — 17 — 2 ; et on a le premier reste271,

De même, pour ôter de 2718 le produit 829 X 6, on dira 8 X 9 — 72; ajoutant 70 aux unités 8, on a 78 — 72 —6, qu'on pose aux unités, et on retient 7. Ensuite 2 X 8 + 7 = 23, ôtés de 1, ou plutôt de 31, il reste 8, qu'on éerit sous 1, en retenant 8 ; enfin, 8 X 8 + 3— 27, Ôtés de 27, 1916.87 | 529 il reste 0, qu'il est inutile d'écrire, etc. L'opération Fe Lu 582 prend alors la forme abrégée que nous lui avons 2 09 Reste. donnée ici *.

" Ce genre de caleul sert aussi à vérifier chaque chiffre du quotient : on fait alors l'opération ci-dessus, en procédant en sens contraire, c’est-à-dire de gauche à droite ;et si quelque soustraction est impossible, à plus forte raison le sera-t-elle en commençant par la droite, puisque les produits à retrancher sont augmentés des retenues. Ainsi, pour 328 ?

produit 328 X 6 est 7 1916, cas où le chiffre 6 n’est pas trop fort. Commençons la multiplication par les centaines, on dira 3 X 6 = 18 ; de 19, il reste 1, qui, joint au chiffre suivant, 1, donne 11 dizaines ; d'où l’on ne peut ôter le produit des dizaines6 X 2 ou 12; ainsi le 6 est trop fort, et on doit essayer 5.

Observons que, dans toute multiplication, chacune des retenues ne peut excéder le mulüiplicateur qu’on éprouve : s'il est 5, il faudrait que l'autre facteur fût au moins 10, pour que le produit surpassät 50. Donc, si en faisant l'épreuve, comme on vient de le dire, on trouve quelqu'un des restes au moins égal au quotient éprouvé, on est assuré que, lorsqu'on fera l'opération de droite à gauche, et qu'on arrivera à ce même reste, la

I . . ,r ° s e , re on a - , €L il s'agit d'éprouver le 6 qu'on obtient, c’est-à-dire de s'assurer si le

Voici quelques exemples de division :

72312.146 8369 386782.67 99887 5360 1 "8640 87121 6 TEST 358 74 7219 07 5 986 Reste .,.,. 219 98 Reste ...... 3986 82394568708.9 8247685671 721.542 291 ” 8165397669 9 99 139 3 92478 Resies 742480566 0 29 94 Reste . ... 244 700209.031 683679 25677.875 2568 16521 03 Ce 2565 8 9999 2847 451 254 67 Reste . ... 112 735 23 555 Reste 4.7: 4435

19. Nous ferons observer que, 1° la division est la seule des quatre règles qui commence par la gauche.

2° Lorsqu'on a trouvé combien de fois un dividende partiel contient le diviseur, ce chiffre est toujours précisément celui qu'on doit mettre au quotient. Cependant comme pour trouver ce nombre de fois, le procédé indiqué, p. 20, consiste à réduire le diviseur à son premier chiffre à gauche, il se peut que cette opération donne en effet un chiffre trop fort : mais l'erreur est dans ce procédé et non dans le principe; car une fois qu’on a obtenu le quotient de cette division partielle, on est assuré que ce chiffre est juste celui du quotient cherché.

3° Chaque chiffre qu’on descend en donne un au quotient ; l’un et l’autre sont de même ordre, en sorte qu’on peut toujours désigner à priori la quantité de chiffres du quotient, et indiquer l'ordre de chacun. |

4° Tout quotient partiel ne peut excéder 9, qui est le plus grand

soustraction sera possible, ainsi que toutes les suivantes. Par exemple, pour GE s , On

. 5 . La dira — donne 8, qu’on reconnaîtra être trop fort : il faudra donc éprouver 7 ; ce qu’on

fera ainsi qu'il suit : 3 X 7 = 21 ; de 25, il reste 4, qu'on joint au 6 des centaines de 25643; on à 46; puis7 X 5 = 35; 46 — 35 donne un reste > 7; ainsi 7 est le quotient cherché. En général, l'épreuve doit être poussée jusqu’à une soustraction impossible, ou jusqu’à un reste au moins égal au chiffre éprouvé. Si le 1er cas arrive, ce chiffre est trop fort ; dans le 2e, au contraire, il ne l’est pas. 11 est rare qu'on soit forcé, pour vérifier un chiffre, de pousser le calcul jusqu'aux unités, et le plus souvent, on reconnaît s’il est bon dès la seconde soustraction.

, Al 170 Ms 2, noiubre d’un seul chiffre. Ainsi, pour 5 dira , il est vrai, en

17, combien de fois 1? mais, loin de mettre 17 au produit, il ne

faut éprouver que 9, encore ce chiffre est-il trop fort ici ; le quotient

n'est que 8, qu'on aurait obtenu de suite en disant TZ au lieu de

* + e : Q 7; Sestce que prescrit la note, page 21.

5° Pour éviter les erreurs , il conviendra de marquer d’un point chaque chiffre du dividende , à mesure qu'on laura descendu.

Décomposition en facteurs premiers. Propriétés des diviseurs communs à plusieurs nombres.

20. On dit qu'un nombre est premier, lorsqu'il n’est exactement divisible que par lui-même et l'unité : tels sont 7, 11, 2, 1. Deux nombres qui, tels que 21 et 40, n'ont d'autre diviseur commun que l'unité, sont dits premiers entre eux.

21. Lorsqu'un nombre est divisible par un autre, tous les multiples du premier sont aussi divisibles par le second. Si 18 est multiple de 2,3 X 18, qui revient à 18 Æ 18 + 18, est divisible par 2, puisque chaque partie est multiple de 2.

22. Supposons qu'après avoir obtenu le produit de 32 par 157, on divise ces trois nombres par un autre quelconque, tel que 9, examinons ce qui arrivera * : 32 étant décomposé en 9 X 35, si l’on multiplie par 157, la première partie sera un multiple de 9; et le produit proposé étant divisé par 9, doit donner le même reste que 5 X 157. Mais de même 157 se décompose en 9 XX 17 + 4; multipliant par 5 et divisant par 9, le reste dont il s’agit est le même que celui de 4 X 5; ainsi /e reste de la division d’un produit est le même que celui que donne le produit des restes des deux facteurs.

* Si l’on divise deux facteurs entiers F'et F' par un nombre quelconque 7, ils recevront la forme ci-contre, g et g'étantles quotients 7 = Gn +» entiers, ret r' les restes. En examinant les termes du produit FF", F'=— gn+r! on reconbait qu'ils contiennent tous le facteur n, rr' excepté. Donc, grprr — ga n + qg'nr À : FF'.et/ 77" an heanr ANT!

en divisant le produit par n, on voit que — — doivent don- DOTE, n 7

- ner le même reste,

23. Avant de nous occuper de la recherche des diviseurs des nombres, problème d’une grande importance, proposons-nous de trouver le plus grand nombre qui puisse diviser exactement deux nombres donnés, tels que 312 et 132; c'est ce qu'on appelle leur plus grand commun diviseur.

Observons que si 132 divisait exactement 312, 132 serait le plus grand commun diviseur de ces nombres, puisque 132 ne peut être divisible par un nombre plus grand que lui-même. On essayera donc cette division, 312 : 132; mais on trouve le quotient 2, et le reste 48, savoir,

Divisons toute celte équation par un nombre quelconque 3 qui divise exactement 812 et 132; ce nombre 8 divisera aussi 2 X 132 (n° 21); 46 doit donc être aussi divisible par 8 , puisque le quotient 48 : 3, ajouté à celui de 2 X 182, doit donner pour somme le quotient de 312 : 3 , et que ces deux derniers quotients sont entiers. Concluons de là que tout diviseur commun à deux nombres divise aussi le reste de la division de l’un par l’autre.

Maintenant, supposons que 12 soit le plus grand diviseur commun ci-dessus cherché, et divisons toute l'équation par 12; nous aurons 26— 2 X 11 4. Or les quotients 26 et 11 doivent être premiers entre eux , puisque , sans cela, 12 ne serait pas le plus grand diviseur de 312 et 132. De même 11 et 4 ne peuvent avoir de diviseur commun, puisque ce nombre devrait aussi diviser 26, savoir, 26 et 11, contre ce qu'on vient de dire. Ainsi 12 est à la fois le plus grand diviseur commun de 812 et 132, et aussi de 132 et 48. D'où l’on voit que la question se réduit à chercher le plus grand diviseur commun de 132 et 48, problème plus simple, puisque 46 << 312. |

En raisonnant de même sur 48 et 132, on prouvera qu’il faut diviser 132 par 48; que si la division se faisait exactement, 48 serait le plus grand diviseur commun cherché ; et que, comme on trouve 36 pour reste, ce diviseur est le même que celui de 48 et 36. Divisant 48 par 86, on verra que le plus grand commun diviseur demandé est celui de 86 et 12 (reste de la division de 48 par 36); enfin , 12 divisant 36 , c'est 12 qui est le plus grand diviseur conmun de 312 et 132, On donne au calcul la disposition ci-contre ;