GÉNÉRALITÉS

2° A l’ellipse, quand n — nie Bt. où de ar a a 3° Enfin à l'hyperbole, lorsque n nya m sait. Ah (12 a

401. Il n’y a rien à changer à tout ce qui vient d'être dit , lorsqu'on fait varier B et c, c’est-à-dire les dimensions du cône et la distance 4B.On ne pent faire 8B=— 0, ou B= 180°; car il n’y aurait plus de cône : c = 0 suppose que le plan coupant passe par le sommet. L'intersection est alors un point lorsque « + B <[ 180° ; une droite quand & 8 — 180° (le plan est tangent au cône); enfin deux droites quand « + B © 180°. Le calcul comprend aussi ces trois cas ; car en faisant c — 0 dans (4), puis sin (4 + 8) positif, nul et négatif, on trouve

ÿ + Kr—=0, L'REZ-T AR | ARR TEE Kr?.

La 1r°équ. ne peut être satisfaite qu’autant (n° 112) que > — 0, et y — 0, ainsi elle représente wn point; la seconde est celle d’une droite ; la troisième , enfin, donne y = + x J/ À qui représente deux droites.

Donc, quels que soient le cône et la position du plan coupant, l’'équ. (4) est celle des six sections coniques ; c étant — 0, on a les trois sections qui passent par le sommet ; et lorsque c n’est point nul, cette équ. représente une ellipse, une hyperbole ow une parabole, suivant que le coefficient de x° est négatif, positif ou nul. |

402. Étant donnée l'équat. d’une ellipse, d’une hyperbole , ou d'une parabole rapportée à son sommet, ainsi qu'un cône droit quelconque, il est facile de placer cette courbe sur le côre, c'està-dire de trouver la situation du plan coupant qui la reproduirait ; car, dans les deux derniers cas, on connaît a, K et B, et il s’agit de trouver cet l'angle «, en recourant aux équ. D, Or, la 1r° fait connaître c, quand on a tiré « de la 2%° : celle-ci devient par les équations letG,p.334 et 333,

2XK cos 2 B— 2 sin° & cos B 2 sin & cos & sin B — (1 — cos 24) cos BH sin 24 sin B.

Cette équ. de la forme b = n sin 24 7 cos 2x, a été résolue p. 352. Et si l’équ. donnée est celle d’une parabole y = 2p#, l'équ. B donne p = 2csin° + 8, d’où l’on tire c, et par suite la position du plan coupant (fig. 236).

Méthode des Tangentes.

403. Si par deux points # et © (fig. 237) d’une courbe quelconque BMQ, on mène une sécante SO, et qu’on fasse varier la position de © sur la courbe , AZ restant fixe, la sécante prendra diverses inclinaisons. Si l’on rapproche Q de 47 jusqu’à faire coïncider ces deux points, la sécante $Q deviendra TM : cette droite se nomme Tangente; c’est une sécante dont on a fait coïncider les points d’intersection. |

L’équation de toute droite qui passe en un point 7 (x, y') est

Y—Y = A (5 —ir)e ge … ei (li

Pour déterminer la tangente TA, il suffit d’assigner à 4 = tang T la valeur qui convient à l’inclinaison de cette droite ; il faut pour cela exprimer en analyse les conditions qui lui servent de définition.

Désignons par 4 + } et y + k les coordonnées du 2° point Q d'intersection de la sécante SM,ouMR—=Rh, OR =R; la tang.

de l'angle OMR est — tang $. En changeant +’ et yen x’ + h,

et y —- À dans l’équ. de la courbe, et réduisant, il sera facile d'en

tirer > qui est la valeur de tang S. Or, tang Test visiblement /a li- 7 À

mite de tang S, lorsqu’on fait varier le point Q pour l’approcher de M ; en sorte que si l’on pose tang T'ou À = tang IS — x, « pourra décroître indéfiniment. Si donc la valeur ; de tang S a la former p —- B, p étant une quantité invariable , et B une expression en LM et £ susceptible de devenir, avec ces variables, aussi petite qu’on veut, l'équ. 4 = p + BL « se partagera (n° 113) en deux autres, dont l’une, 4 — p, déterminera 4. À est donc ce que devient p + B, lorsque B est nul, c’est-à-dire que A est ce que devient le rapport k : h, quand on y pose k et h nuls.

Concluons de là qu’! faudra substituer y H k et x’ Hh pour x’ et y’ dans l’équ. de la courbe, et en tirer le rapport k : h, puis y faire k et h nuls; on obtiendra ainsi la limite de ce rapport, ou 4, et par suite l’équ. (1) de la tangente (voy. p. 395). 1

La droite indéfinie AZN, perpend. à la tang. au point # de con-

tact, est la Normale ; l'équ. est facile à déduire de celle de la tang., puisque ces droites passent par le point AZ (+’, y’), et de plus sont perpend. L’éq. de la normale est (n° 371)

(4 1 ; RS a mdrr AC. lacon bat Rabie 3 (2)

Les longueurs TP, PN, comprises entre les pieds 7, P, et N de la tangente, de l’ordonnée et de la normale, sont la sous-tangente et la sous-normale. En faisant y — 0 dans nos équ., on obtient pour # les abscisses AT et AN des points T'et N.

sous-tang. TP ou x — x = 7. "2:00 3 4(8)

sous-norm. PNouz—x— Ay. . . . (4)

Il pourrait arriver que la tangente et la normale n’eussent pas la même disposition que dans notre figure, et que la sous-tang fût æ — x',et la sous-normale 2° — x ; mais alors le signenégatif qui affecterait les valeurs (3) et (4) indiquerait cette circonstance (n° 339).

Les longueurs AT'et MN sont appelées aussi, l’une Tangente, l’autre Normale.

404. Appliquons ces théorèmes à la parabole (fig. 234), dont l’équation est y —= 2px; on à y? = 2px', (y + k} — 92p (x L h), qu'on réduit à

k 2p 4 LE —— h : où, — — A — , 2ky LB —= 2ph; d'où, ñ tang S D + Faisant 4 nul, on a À —tang TT:

1° Équ. de la fangente. . . . . yy = p (x + x). | 20 Équ. de la normale. . . . . (y — y) px —x) y = 0.

3° Longueur de la sous-tang. TP — 2x.

4° Longueur de la sous-norm. PN = p.

Donc /a sous-tangente est double de l’abscisse, le sommet Æ est au milieu de TP, le pied 7 de la tang. est à gauche du sommet , et la sous-normale est constante et égale au demi-paramètre, double de la distance focale AF.

La norm, MN=V (PH+PN)=V (+p)=V p@r Fr).