Cherchons l'angle TMF = F (fig. 233) que fait le rayon

vecteur avec la tangente : ce rayon passe par les points ÆZ (x', y') et F (2p, 0); on à donc

| y—y = À'(&— x); d'ou, ARE CN Arai

D’après la valeur de À pour la tangente TI, on a

TTFAZ pe y

à cause de y? — 2px’, et en supprimant le facteur commun +p 2’. Ainsi tang VW — 4 = tang T, le triangle TMF est isocèle. Tous les rayons lumineux et sonores SM, qui sont parallèles à l’axe, se réfléchissent à leur rencontre 7 avec la courbe, et vont au foyer #. De plus, la tangente TM coupe l’angle QMF par moitié, et est perpend. sur le milieu de OF : enfin, FM — FT ; ce qui offre un nouveau moyen de mener la tang 7.

406. Faisons varier le point de contact M (x', y), et plaçons-le successivement en tous les lieux de la courbe, puis observons les diverses positions qu'affecte la tang., lesquelles dépendent de son

équ., c’est-à-dire de l’inclinaison tang 7 — eu et de l’ordonnée à } /

l'origine , Ai — © — + y’. Il est aisé de voir que, 1° au sommet

A, à et y étant nuls, l'axe des y est tangent ; 2 à mesure que le point de contact M s'éloigne, +’ et y’ croïissent, ainsi que Æi, qui est constamment la demi-ordonnée y’, tandis que l’angle 7 diminue.

La tangente prend toutes les inclinaisons ; ainsi 4/ y a toujours une tangente parallèle à une droite donnée : mais, plus Pangle T'est petit, plus le contact AZ et le pied T' s’éloignent du sommet. La parallèle à l’axe répond à une distance infinie. Étant donc donnée

une direction, ou À, on tire aisément y — £, et le point de con-

tact. Par exemple, si Æest 1, on a ÿ — p; d’où # = :p; le foyer Frépond au point G pour lequel la tang. est inclinée de 45° sur l’axe, dans toute parabole.

407. L’équ. yy = p (x + x’) peut servir à mener une tang., sans connaitre le point 7 de contact (x’, y’), pourvu qu’on donne certaines conditions. Si l’on veut, par ex., qu’elle passe par un point donné J (4, B), notre équ. devient By —= p (a +- #'); éliminant

avec y? = 2px', on aura deux valeurs de +’ et y’, deux points M de contact, et deux tangentes. |

Mais l'équ. By — p (ax + +) étant satisfaite par les coordonnées des deux points de contact, est l’équ. de la corde qui les joint. y = 0 donne l’abscisse 3 — — x du point de section avec l’axe, point commun à toutes les cordes semblables, quel que soit Z, pourvu que son abscisse « demeure la même. Ainsi le point Z décrivant une parallèle aux y, les deux tangentes, les points de contact, les cordes qui les unissent, varient , le point seul de section de ces cordes avec l'axe reste le même, et La corde tourne autour de ce point, qui est tantôt à droite, tantôt à gauche du sommet, selon que l’abscisse de Z est à gauche ou à droite du sommet À.

IM étant la tangente cherchée, qui doit être perpend. sur le milieu de QF, I est à la même distance de F' et de Q; le cercle décrit du centre Z avec le rayon ZF passe par le point Q de la directrice , lequel devient ainsi connu. OM parallèle aux x donne ensuite #, ou bien on mène ZM perpend. sur OF, et la tang. est tracée. Il ne faut pas craindre que le cercle ne coupe pas la directrice dès que Z est extérieur à la courbe ; car le problème est alors possible, et le point Q doitexister : on aun 2° point Q et une 2€ tang.

408. Appliquons les mêmes principes à l’Ellipse. Changeons æetyenx h, et y —- k dans l’équ. de cette courbe ; il vient

ay? + ba? = ab, @ (y + 4) Hp (x LR} = &b;

pan D, Me LU UE Dre | de d'où, k(2y +) a LL A(2x + h) b= 0, dur : dy EF

C'est la valeur de tang $, lorsqu'on veut l’équ. de la sécante en

deux points donnés. Pour la tang., on fera k et k nuls, et on trouve b°x 4 À PORN A = — ag Ii ne reste qu’à substituer dans les équations du

n° 403; on a (fig. 238)

1° Équ. de la tangente, «yy + bxx' = «b? ;

2° Équ. de la normale, y — y — @@ = +); a — x?

3° Pour la sous-tangente, TP — — ; b?x'

4° Pour la sous-normale, PN = —.

1° La valeur de 4 ne change pas, lorsque +’ et y’ prennent des signes contraires ; ainsi les tangentes en # et M’ sont parallèles (fig. 239).

2° En faisant y — 0 dans l'équation de la tangente, on a

CT = x — S 5; a > x’ donne CT Ÿ a : CT'est indépendant de b;

ainsi toutes les ellipses décrites avec le même axe 40, ont un même pied T' pour la tang TM, TO...., l'abscisse à’ — CP demeurant la même. Ainsi, décrivons un cercle 400 sur le diamètre 40, prolongeons l’ordonnée PM en Q, menonslatang TO, et nous aurons le point 7°. C’est un moyen facile de tracer la tangente à l’ellipse.

UE a — b°

8° y — 0 dans l’équ. de la norm. donne x — CN — MT TER z” (fig. 288); ainsi N et # sont situés du même côté de Cy.

409. Par les points O et 4 (Æ a, 0) menez les droites quelconques ON, AN (fig. 239) ; leurs équ. sont

Le point A de rencontre a pour coordonnées,

a & dau VU te T9 y —= 7e u — « œ— à

Ce point N n'est déterminé qu’autant qu’on fixe les tang x,4 des directions de AN et ON; mais si elles sont arbitraires, on peut en disposer de manière que l'intersection N soit sur l'ellipse : on dit alors que ces lignes sont des cordes supplémentaires. Dans ce cas, nos valeurs de + et y doivent satisfaire à l’équ. «y? + b?x? — a°b’, ce qui donne

gx? bad — 0, ou ax (ax + b°) — 0.

On exprime donc que les cordes se coupent sur l’ellipse, en faisant z

’ . , * . ’ nr :

ou 4 nul (ce qui n'apprend rien), ou ax = — ee Ce signe — provient de ce que « et « sont de signes contraires; car, si VA40 est aigu, NOx doit être obtus. Traçons un cercle sur le grand axe; l'angle AN'O étant droit, 4WO est obtus. Les cordes supplémentaires du petit axe forment entre elles un angle aigu; ce qu'on démontre de même.

On prouve ces propriétés par l'analyse, ainsi qu'il suit, L’angle 6— N des deux cordes supplémentaires est donné par

a —&i, aa — b° 1 ax «(a — b°)’

en éliminant &’. Si à — b, tang 9 este, ou 4 — 90° ; /e cercle a seul des cordes supplémentaires rectangles, et toutes le sont. Quand a > b, x et tang 9 ont même signe : donc les angles NO, NOx sont obtus ensemble. Si a et b croissent proportionnellement , l’angle 4 ne varie pas : ainsi, les directions ON, AN sont constantes, ou les ellipses dont les axes sont dans le même rapport ont les cordes supplémentaires parallèles.

Si 4 est donné, « résulte de l’équ. du 2° degré,

tang 4 —

ae — (a — b°) « tang 0 + b = 0.

Il y a donc deux systèmes de cordes supplémentaires qui forment entre elles un angle donné 0; et ces cordes sont aïsées à construire : les deux valeurs de « ont même signe, à cause du dernier terme - b?. Les grandeurs de 4 sont égales, quand on a (a —b?)tang? 9 — 4a°b ; d’où tang 0 — Etes puis « —. Cette solution sépare les racines réclles des imaginaires (n° 139, 2°) ; ainsi les cordes supplémen taires qui concourent à l'extrémité B du petit axe se coupent sous le plus grand angle obtus. Si AN est couché sur 40, Vautre corde est à angle droit ; 4 tournant autour de 4, l'angle A devient obtus, et s’accroit jusqu'à ce que les cordes passent en B. Passé ce terme, AN continuant de tourner, l’angle N diminue et reprend les mêmes grandeurs.

Pour obtenir graphiquement les cordes supplémentaires qui font un angle donné, il faut tracer sur 40 un segment de cercle capable de cet angle ; l’ellipse est coupée en deux points qui donnent les solutions cherchées.

410. Toute ligne CM menée par le centre C (fig. 239), a pour équ. y = A'z ; si de plus on veut qu’elle passe par le point # (+’, y’),

il faut que y = A'x'; pour la tangente en M, 4 — — arf d’où a?

b° < AA = — Ts — zx. Si donc on mène une corde AA, parallèle à

la ligne CM, qui va du centre au point de tangence, on a 4 —«/,

MATHÉM, PURES, T, 1, 25

d’où 4 — 4; et la tangente TM est parallèle à la corde supplémentaire VO, ce qui fournit encore un moyen très- “simple de mener une tangente à l'ellipse.

411. Faisons décrire la courbe au point de contact M (x, ÿ), et suivons la tang. dans toutes les positions qu’elle affecte. En O,z = a,y = 0; l'équ. de TM devient # = a : ainsi la tang. est parall, aux y. À mesure que le point de contact s'élève sur la

4 A ' , A È bx courbe , + décroïît et y’ croît ; donc 4 = — SR décroît, et | y

CT . croit ; ainsi le point 7' s'éloigne sans cesse, et l’angle MTC diminue, jusqu’à ce qu’en B la tangente devienne parallèle au grand axe. La symétrie de la courbe dispense de poursnivre plus loin cet examen : donc, à n’y a point d’inclinaison donnée qui ne puisse convenir à l’une des tangentes de l’ellipse.

On obtient le point de l'ellipse où une droite doit la toucher, son inclinaison étant donnée, en cherchant x’ et y", lorsque 4 est connu; on a pour cela les équ.

y? + brt = ab, Aœy + br — 0.

On peut également résoudre un grand nombre de problèmes relatifs à la tangente, et qu’on traiterait par une analyse semblable.

Cherchons les segments OA, AK (fig. 238), formés par une tangente quelconque XI sur les tangentes menées aux sommets, On a ayy + bar = db; faisant à = Æ 4, les y sont nos deux segments, savoir,

OP ES ho DE ay ay

Le produit de ces deux quantités se réduit à b° ; donc le produit des segments OZ, AK, formés par une tangente quelconque XA, est constamment égal au carré du demi-petit-axe, quelle que soit la direction de cette tangente XA, Nous verrons (p.390) que les lignes AK et OH peuvent être deux tangentes parallèles quelconques, pourvu qu'au lieu de b° on prenne le carré de la longueur Cy, qui leur est parallèle.

412. Cherchons l'inclinaison des rayons vecteurs sur la tang. (fig. 288). Soient CF — %, les angles FMT = V, FMT = PV”, Toute droite qui passe en Æ (4, 0), a pour équ, y = 4° (x — à);

/ L d'où, #4 — e J =» pour le rayon vecteur FM, qui passe par le

point donné M (z', y'); mais pour l’inclinaison de la tangente,

2 æ/ !/ A= — +! æ = @ — b° donne tang F — au ren +.

y —+ AA ay En changeant « en — «, on a pour tang une valeur égale avec un signe contraire ; on en conclut que les angles F7 et # sont suppléments l'un de l’autre (n° 349). L’angle FMT est aigu et supplément de l'angle obtus F’MT, ou plutôt les angles aigas FMI et FMT sont égaux.

Ainsi, les rayons vecleurs de l’ellipse, menés au point de contact, sont également inclinés sur la tangente et sur la normale. Done, tous les rayons lumineux ou sonores Æ"M, qui partent du foyer F', doivent, à leur rencontre en Æ# avec l'ellipse, se réfléchir à l’autre foyer F. En prolongeant FM, la tang TM divise en deux parties égales l'angle F MG, et la normale l'angle F'MF.

413. On peut se servir de cette propriété pour mener une tang. ou une normale en un point donné Æ# de l’ellipse (&g. 238); car, prenant sur le prolongement de FM, MG = FM, TM sera yperpend. sur le milieu de FG.

Pour mener la tangente TM par un point extérieur donné Z,

cherchons le point # de contact. Supposons le problème résolu ; alors Z étant à égale distance de F'et de G, le cercle FG, qui passe en F, et dont Z est le centre, passe aussi en G ; mais

FG=—= FM +MEF= 40;

donc le point G est aussi sur le cercle décrit du centre F avec le rayon 40.

Une fois ces deux cercles tracés, le point G est connu ; on mène F'G, et l'on a le point #7 de contact. Il est d’ailleurs certain que les deux cercles doivent se couper, puisque, sans cela, le point G n’existerait pas, et le problème serait absurde ; ce qui ne peut être, tant que le point Z est extérieur à l’ellipse : on a même deux points G, et partant deux tangentes.

On peut encore traiter le problème comme n° 379, 3°, et 407; les coordonnées x, B du point donné extérieur Æ (fig. 280) devant satisfaire aux équ. de la tang #X et de l’ellipse, on a

By! + baux’ == ab’, ay"? = br’? == ab ; 25*

l'élimination donnerait pour +’ et y des valeurs du 2° degré. Ainsi, par le point Æ, on peut mener deux tangentes MX, INK. aBy + bax — «b est l'équ. de la droite MAN qui joint les points de contact, puisqu'elle est satisfaite par æ — 2’ ety — y. Il est donc facile de tracer cette droite et d'en conclure ces points, et enfin les tang. ; la fisure 260 ne suppose pas les coordonnées rectangulaires.

Comme y — 0 donne xx’ — «°, équ. indépendante de b et B, CE est constant, quelque part qu’on prenne le point X, pourvu que CA — x et le grand axe 2a restent les mêmes. Donc, si À se meut sur BB parallèle aux y, les tangentes et les cordes varient; mais le point Æ reste fixe, même quand le 2° axe 2b change; en sorte que Æ a la même position que pour Île cercle décrit du centre C avec le rayon a. Le point Æ, dont labscisse est à — a? : «est situé au dedans ou au dehors de l’ellipse, suivant que « est © ou € a, c’est-à-dire suivant que la droite BB’ est en dehors de la courbe, ou la coupe. | |

414. Venons-en maintenant à l’hyperbole : on pourrait ici refaire tous les calculs qu’on vient d’appliquer à l’ellipse ; mais il suffit de changer dans ceux-ci b en by/ — 1 (n° 397). On trouve alors les résultats suivants.

1° Pour l’inclinaison et l’équ. de la tangente,

2 pal Aie “E , @yy — bar = — ph,

La tangente TM (fig, 231) fait avec l'axe des # un angle aigu : elle est parallèle à celle qu’on mènerait au point #7.

On aura de même l’équ. de la normale.

a . La Do CT="; les points Æ et 7 tombent du même côté de laxe

F, Sous-tang = —— ,

Sous-normale = —.

3° Pour les deux cordes supplémentaires ON et AN (fig. 240),

b on à ax — —; les deux angles formés avec l'axe des x sont en-

semble aigus ou obtus. L’équ. de ZN est y = 4(x — a); passant

par le point N (x’, y);ona pour la corde AN, « — + J ; donc

« et y sont de même signe, puisque + > a. Ainsi les angles des cordes supplémentaires avec l'axe des x sont aigus quand A est placé comme äans la figure. Ils sont obtus pour la branche supérieure à gauche, etc... Pour la ligne CH et la tang TM en M, on

j b a AA — ai on conclut donc que le procédé (n° 410) pour me-

ner une tangente à l’ellipse, est applicable ici. On mène au point M de contact la ligne CH, puis la corde ON parallèle à CM, et sa corde supplémentaire VA ; celle-ci est parallèle à la tangente TH.

On trouve, comme (n° LÉ pour l'angle 8 — ONA des cordes

a? 2 suppl. , tang 4 — LES OF LD CHIDEEES ou a >» b; ainsi tang 4 est positif et l'angle 4 est aigu. Si les axes varient dans le même rapport, 4 demeure constant.

Quand 4 est connu et qu'on cherche &, il faut résoudre l’équ. du 2e degré da — a (a? b°) tang9 = b°, dont les racines ne sont jamais imaginaires et ont des signes différents. L’angle 4 n’a pas ici de limites comme dans le cas de l'ellipse. On peut construire les deux solutions en décrivant sur 40 un segment capable de l'angle donné 4, que doivent faire les cordes supplémentaires , et menant des droites de chaque point de section aux deux sommets. Plus x décroît, c’est-à-dire plus 4AN s’abaisse sur 4x, plus 4 diminue, en passant par toutes les grandeurs de 90° jusqu’à zéro.

4° Les angles formés par les rayons vecteurs et la tangente con-

b RAS | servent la inème valeur — ; leurs inclinaisons sur la tangente sont ay

donc les mêmes, ainsique sur la normale; TM divise F'MF (fig. 231) en deux parties égales; on construit donc la tangente par le même procédé que pour l’ellipse (n° 412).

Si le point donné est sur la courbe en 47, on prend MG = MF, et l'on abaisse MT perpend. sur le milieu de FG.

Si le point donné est en Z hors de la courbe, du centre Z on décrit le cercle FG; puis du centre FÆ”, avec un rayon F'G — F'M— FM—AO, on trace un 2° cercle, qui coupe le 1er en deux points ; G étant connu, F"G prolongé en # donne le point de contact #7, Du reste, les conséquences du n° #13 ont également lieu ici.

415. Faisons parcourir au point de contact M (fig. 241) les divers points de la courbe. En 4 (x = a, y = 0), l'équ. de la tang. devient — a; ainsi DD’ tangente au sommet est parallèle aux y. A mesure que le point # s'élève sur la courbe, pour connaître les positions successives de la tangente, il faut en déterminer le pied T' et les diverses inclinaisons ; mais on ne peut déduire ces angles

2 ml

bx | de la valeur 4 — ej? parce que x’ et y croissent ensemble. Pour

lever cette difliculté, mettons pour ay’ sa valeur Æ b/ (x? — «°), et divisons haut et bas par bz’ ; il vient

et D «