ASYMPTOTES

en développant (2° — a?) (p. 178) : le 1 terme excepté, x n'entre qu'au dénominateur ; ainsi tous ces termes décroissent in-

définiment quand + augmente. L'équ. F = + — x appartient donc a

à deux droites CO, CO" (fig. 241), dont l'ordonnée PO 5 PM donne la différence /Q aussi petite qu'on veut. Ces droites, que nous savons ètre les limites des tangentes, sont donc aussi les asymptotes de l'hyperbole.

Si l'hyperbole est équilatère, à = b ; les asymptotes sont à angle droit.

On trouvera que la propriété démontrée à la fin du n° #11 subsiste aussi pour l'hyperbole.

417. Éliminons y entre l’éq. de l'hyperbole et celle y = kx +! d'une droite quelconque, pour avoir les points de section : nous trouvons

(ah? — D?) 2° Æ 2a’hlx + a (P + b:) = 0.

Cette équation du 2e degré se réduit au 1* quand «4 = b:, ou PL D 2k ne coupe donc la courbe qu’en un point, (Le 2° point de section est à l'infini.) Pour l'asymptote même, / = 0, et les deux sections sont

à l'infini, En général, on a

k= + La d’où # = — . Une parallèle aux asymptotes

“3 @kl + ab V4 (EE bp — x).

É— ak? — b? ?

et comme y = kx —- L, le radical est le même pour x et y. Pour que la droite coupe l'hyperbole, x et y doivent être réels ; distinguons trois cas, selon que

ak = <'ou > À EP.

Dans le 1° cas, la droite n’a qu'un point commun avec lhyperbole ; l’équ. du 2°. degré devenant un carré, la droite touche la courbe (voy. n° 424). On peut tirer de là un moyen de mener une tang. par un point extér. Z (+', y") (Gg. 231) ; car y — y = À (x—x) devant aussi être l'équ. de la droite, on voit que [= ÿ — kx', qui, avec léqu, @ k? = l + b°, détermine # et /.

Dans le 2° cas, il y a deux points de section. Posons

akl + bu :

ak? — PL D — æ; d’où tr = — a »

et si la droite passe au centre, / —0,

ab hab , V/ Œ—*«) b frere ben

Toute droite AM’ qui passe par le centre C, et est dans l'angle asymptotique, coupe la courbe en deux points opposés # et W', dont les abscisses sont égales en signes contraires; il en est de même des ordonnées, et de CM et CW'.

Dans le 8° cas, la droite ne coupe pas la courbe. Si /=— 0, on a ak © b, la droite passe par le centre et est dans l'angle OCÆ (fig. 241) ; elle est parallèle à deux tangentes ; tandis qu’au contraire toute ligne qui est dans l’angle @CO’ coupe la courbe et n’a aucune tangente parallèle.

418. Rapportons l'hyperbole aux asymptotes Ch”, Cb (fig. 242) pour axes des x’ et y; menons /P parallèle à Cb; CP = x,

PM = y. L'angle xCB — « a pour tangente 4 (n° 415); d'où (n° 346), en faisant, pour abréger,

2m —y (a? + b°), | S & — sh in È Re Fe Ve +) TE — Om’ TV & + FT Im

les formules générales (B, n° 383) deviennent

2mx = a (y x), 2my=b (y — x).

Au sommet 4, où y = 0, onax'—y, CD — DA; CBAD est donc un losange, ce qui suit aussi de ce que l’angle DAC —DCA. Substituons ces valeurs d’x et y dans @°y° — b°x° = — al? ; il vient z'ÿ — m° pour l'équation demandée. En faisant + = y, on a CD=m=;y (a + b). Si l'on compte les x et y positifs, selon Chet CH’, l’'équ. est y = — n°.

On nomme »° la RUSAUES de bisperholes si la courbe est qui latère, CBAD est un carré — m° = = «°.

De xy — m° on tire que y décroit nai x augmente, et réciproquement; ce qui prouve que les axes sont en effet des asymptotes.

. ASYMPTOTES. 395 Nous avons trouvé que a = 2m cos «, b — 2m sin « ; ce sont les axes de l'hyperbole qui sont ainsi connus, lorsqu'elle est rapportée à ses asymptotes. Les diagonales C4, DB, du losange CDAB, résolvent d’ailleurs le problème ; car 2 m» sin « = b, DL — CD sin « = m sin «, donnent BD — b.