L'équ. d'une sécante bb’ csty = Kx + L; y — 0 donne

le point de section par l’asymptote, Ch = —L : K; Éliminant æ et yavecry = m°,0nalespoints V, N'de section avec la courbe; d’où Æy° + Lx = m°. Or (n°137, 8°), — Z : K est la somme des racines = Ca’ aN = Ch, ou = Ca + «x b ; donc aN = «à Ÿ, et les triangles Vab, N'ab' sont égaux; d'où BN = b'N'. Toute sécante a des portions égales comprises entre l’hyperbole et l’asymptote.

On tire de là un procédé facile pour décrire la courbe, lorsqu'on a un de ses points A et ses asymptotes. Par ce point menez une droite quelconque bb”, prenez L'N' = bN, N° sera un 2° point de la courbe. En répétant cette construction, on obtient autant de points qu'on veut.

Les abseisses a/V, Ca’, de N et NW’, étant z’, +”, en résolvant les triangles abN, bN'O, on trouve

sin & sin & Nb= #’ : x ; ; N'h= Nb! = x ——; sin b sin b multipliant ces équ., il vient sin? & m? Sin 4 bN Nb’ (=== zx X sin? b K * sim b?

à cause du dernier terme de l’équ. Xw° - Lx = m°. Or, ce produit est indépendant de Z, et toute parallèle à notre sécante l’eût pareillement donné. Donc, deux sécantes ont même valeur pour le produit DN XX L’N, que le carré de la demi-tangente SM, lorsque ces trois droites sont parallèles.

422. Le procédé du n° 403, pour trouver 4 dans l'équation (1), s'applique à toute équ., quel que soit l'angle des coordonnées ; en suivant attentivement ce qu'on y prescrit : on voit qu'il faut changeræenx — h,et y en y +-k, dans la proposée, ce qui donne deux sortes de termes; 1° ceux qui n’ont nik, ni k, et qui, restant quand ces accroissements sont nuls, recomposent l’équation de la : courbe, et s’entre-détruisent ; 2° des termes dont X ou # sont facteurs, qui sont destinés à donner leur rapport # : h, auquel on substitue 4, en y faisant À et & nuls.

Mais il est clair que les termes qui disparaissent de ce rapport sont éeux où k et k entraient à une dimension supérieure à la 1"°. Done, si, supprimant les raisonnements, on s’en tient au matériel du calcul, on voit qu’il faut 1° changer xen x Lh; yen y Lk, et développer, en ne conservant que les termes de 1"° dimension en h

TANGENTES, 995 et en k3 2% faire k — Ah et diviser tout par le facteur commun h ; 3 enfin tirer la valeur de A. Quand nous serons plus avancés (voy : n° 504), nous reconnaitrons que 4 est éqal à moins la dérivée de l’équ. proposée par rapport à x, divisée par la dérivée par rapport à y. Substituant dans les équ. du n° 408, on à celles de la tangente et de la normale.

Ainsi, pour y + 2ry — 2y + x, on trouve d'abord

2yk + 2xk Qyh — 2k + h, puis 2y4 + 254 + 2y = 24 + 1; pe. cut Le uv:

d'où A PTS tx

Par ex., le point (1, 1) estsur la courbe, puisque ces coordonnées,

mises pour + et y, satisfont à la proposée; on trouve 4 — — =, et l’équ. de la tang, en ce point de la courbe, est y—1=—;(z— 1), ou 2y Lx —53.

Prenons encore l’équ. y? — mx + nx°, qui appartient à nos trois courbes, suivant les valeurs qu'ont #» et n (n° 400) ; on trouve

2yk— mh + 2nhx, 24y — m+ nr, d'où | yes mur

423. Quand la tangente est parallèle aux +, il est clair que dès que la branche de courbe est entièrement au-dessous ou au-dessus de la tangente, l'y du point de contact est © ou <° que les y voisines. Ainsi , l'équ. 4 — 0 doit donner l'y qui est un maximum ou un minimum ; et on la trouve en éliminant > et y entre 4 — 0 et la proposée. 4 — © donne les tangentes parallèles aux y, c’est-àdire les limites de la courbe dans le sens des +.

Soit , par ex., l’équ. y — xy £a — x =: = 0, pour laquelle on trouve 4 1, posant y — æ + 1 —0, et éliminant avec la proposée, on obtient x = 3 et 1, ety—2 et 0, coordonnées des points où la tangente est parallèle aux x; 2 est la plus grande ordonnée, 0 la plus petite ; la courbe ne passe pas audessous de l'axe des +, qu’elle touche au point (1, 0). 2y —x—0 donne z=2+ y 2, y—1+y<, coordonnées des limites latérales (n° 454, fig. 261).

424. Étant données l’équ. d'une courbe du 2° degré, et celle y— ax —- B d’une droite, pour trouver les points de section, il faut éliminer y, ce qui conduira à une équ. du 2° degré en x, de Ja forme ax? + bx +- c — 0. Les abscisses des deux points d’inter-

DH y (b° — ac) œ 24 réelles ou imaginaires, la droite coupe ou ne coupe pas la courbe. Si D? — ac —0, les racines sont égales, et la droite est tangente ; car sia et B étaient arbitraires, en les faisant varier, la droite changerait de position, et les deux points d’intersection seraient d’autant plus rapprochés que D? — 4ac serait plus petit; ces points coïncident quand b? — ac — 0, équ. qui exprime une relation entre 4 et B quand la droite est tangente. L'une de ces constantes reste arbitraire, et on peut la déterminer par diverses conditions, ce qui donne lieu à un grand nombre de problèmes. L’abscisse du

section sont 7 — , t suivant que ces rac. sont

b | ; point de contact est x Eu Quand cela arrive, « et B étant

donnés, on trouve que l’équ. en x est un carré exact ; on reconnait donc que la droite est tangente, et on a le point de contact. Ex. :

Sy = hr 2, y — 2vy 2x LL 4x — 5y + 4 —=0; l'élimination de y donne 2° — 2% L 1 —0—= (x — 1); ainsi la droite touche la courbe au point pour lequel x = 1, y = 2.

Lorsque faisant y — 0, dans une équ., on trouve(x — x} = 0,

on doit en conclure que la courbe touche l’axe des x au point (+, 0) (voy. fig. 261 et251, n°5 443 et454).

Du Centre et des Diamitres.

425. Le Centre d’une courbe est un point C (fig. 243 et 245), qui jouit de la propriété de couper en deux parties égales toutes les cordes, telles que M’, menées par ce point. Mettons l'origine en C ; menons PM, P'M'parallèles à l’axe Cy ; les triangles CPAM, CP'M sont égaux à cause de CM— CM ; d'où CP —CP", PM—P'M'. Donc, lorsque l'origine est au centre de la courbe, les ordonnées et les abscisses sont deux à deux égales et de signes contraires. La réciproque a visiblement lieu.

L’angle yCzx des coordonnées est ici quelconque.