DU CENTRE ET DES DIAMÈTRES

Donc, pour qu’une courbe ait le centre à l’origine, 1l est nécessaire et il suffit que son équ. ne soit point aliérée lorsqu'on y change x en — x, et yen — Y. ,

Appliquons ce précepte à l'équ. générale du 2° degré

Aÿ + Bry + C4 DyLErt F—0. . . (1

Il est manifeste qu’a/in que la courbe ait l’origine pour centre, il faut que son équ. ne contienne pas les termes Dy et Ex ; elle sera de la forme 4° + Bry Cx°LF—0. C'est pour cela que, par anticipation, nous avons donné le nom de centre au milieu de l’axe de l’ellipse et de l’hyperbole; et il devient prouvé que toute corde qui passe par ce point y est coupée en deux parties égales.

Mais une courbe pourrait avoir un centre qui ne fût pas situé à l’origine ; alors il faudrait qu'on pût l'y transporter; on changerait æen & — a, yen y —+ b, et l’on déterminerait les coordonnées arbitraires & et b de la nouvelle origine, de manière à chasser les termes de 1° degré en x’ et y. Faisons ce calcul pour l’équ. (1) : nous égalerons ces termes à zéro, et il viendra

Bb 2Ca LE —0, Ba 2AB+LD—0;. . (2)

: 2AE — BD 2CD — BE d'où Q—=————— , 5 TEE eee

B° — AC B° — 1A4C° et la transformée est Ay° + Bx'y + Cx'? + Q — 0, O désignant le terme tout constant. La courbe du 2° degré a donc un centre toutes les fois que ce calcul est possible, et elle n’en a qu’un seul ; mais elle n’en a point dans le cas contraire, qui a lieu lorsque B° — 4} AC = 0; les équ. (2) sont alors contradictoires (n° 114, 2). Cependant, si l’un des numérateurs de a ou b était en même temps — 0, l’autre le serait aussi : il y aurait une infinité de centres, et les équ. (2) rentreraient l’une dans l’autre (n° 114, 3°).

En général, si a et b représentent des coordonnées variables, les équ. (2) appartiennent à deux droites, dont l'intersection donne le centre ; elles sont parallèles lorsqu'il n’y a point de centre, et elles coïncident lorsqu'il y en a une infinité; les centres sont tous les points de cette droite. Ces cas particuliers s’éclairciront bientôt (n° 458).

Donc la parabole n’a point de centre, puisque B — 4 4C devient 0 — 4 X 0 = 0, pour l'équ. y — 2pr,

426. On dit qu'une ligne est Diamètre d’une courbe lorsqu'elle coupe en deux parties égales toutes les cordes parallèles menées dans une direction déterminée.

Lorsque deux droites sont réciproquement des diamètres l’une par rapport à l’autre, on les nomme Diamètres conjugués. Les axes de l'ellipse et de l’hyperbole sont, par ex., des diamètres conjugués.

Cherchons l’équation d’un diamètre quelconque d’une courbe du second degré. Soit y = ax + b l'équ. d’une droite ; en éliminant y de l’équ. (1), on aura une équ. du 2° degré, que nous représenterons par &° + kx + = 0, dont les racines, de la forme

g x = —:k+Ey/n,

sont les abscisses des points de section de la droite et de la courbe. Le terme — = k est visiblement l’abscisse +’ du milieu de la corde :

en faisant le calcul indiqué, on arrive à l’équ. propre à donner #; cette équ. est

2x (Aa À Ba C) + 24ab + Bb + Da + E = 0.

a étant constant, si b varie, on obtient les abscisses +’ du milieu d’une suite de cordes parallèles : maïs si l’on élimine b, en faisant b — y — ax’, on aura une équation en +’ et y’ propre à toutes ces. cordes; ce sera donc l’équ. de la ligne qui les coupe toutes par moitié; ainsi l’équ. générale d’un diamètre, ordonnée par rapport. à a, est a (Bx' + 24y + D) + 2Cx + Bÿj LE—=0.. . (3)

il s'ensuit que 1° les diamètres des courbes du 2° degré, ou les lignes qui coupent par moitié tout système de cordes parallèles, sont des droites, puisque l’équ. est du 1° degré ; pour une direction donnée a des cordes, cette équ. est facile à construire.

2° Chaque direction des cordes a son diamètre particulier.

8° Tout diamètre passe par le centrê, puisque les coordonnées 4’, y de ce centre (équ. 2) satisfont à notre équ. (3).

Cependant si le centre n'existe pas (la parabole), alors B? — }A4C— 0; éliminant C, l'équ. devient

PUR PIED cat Vo et 0 2710-01)

Le coeflicient de x’ étant indépendant de a, tous les diamètres de

la parabole sont parallèles entre eux ; la direction en est connue. Comme l'axe est l’un de ces diamètres, et qu'il est perpendiculaire

aux cordes, la condition (4) page 355, se trouve iei exprimée LQ

Ba sui 2.4 ” Pr 2. LL 1—0, d'où a — re Cette valeur de a, substi-

tuée dans le dernier terme de l’équ., fait connaitre la position absolue de l'axe, les coordonnées étant rectangles.

Le même calcul pour l'équation générale (3) donne la condition Ba + 2a (GC — À)— B qui détermine a dans cette équ., lorsqu'elle appartient aux axes de l’ellipse et de l’hyperbole.

427. Pour que l'axe des x soit diamètre, les cordes étant parallèles à l'axe des y, il faut que chaque abscisse donne deux valeurs égales et de signes contraires pour y; ainsi, en résolvant par rapport à y les équ. du 2° degré, qui jouissent de cette propriété, il faut qu'on aity= +} À, À contenant x. En faisant le calcul sur l'équ. (1), il est visible que cette condition n'a lieu qu'autant que cette équ. est privée des termes Bxy et Dy.

De mème, pour que l’axe des y soit diamètre par rapport à celui des x, il faut que l’équ. de la courbe ne contienne ni Bxy, ni E#. Donc, pour que les deux axes des et y soient diamètres conjugués, il faut que l’équ. soit privée à la fois des termes By, Dy et Ex, c'est-à-dire qu’elle ait forme

bnp 2, 0,7}

Ainsi, l’origine est au centre ; l’ellipse et l’hyperbole peuvent avoir des diamètres conjugués , mais la parabole n’en a point. Tout cela est indépendant de l’angle des coordonnées. Donc

1° Soit BB” (fig. 243 et 245) un diamètre de l’ellipse ou de l’hyperbole ; on a vu (n°408 et 414) que les tangentes ZG et HX en B et B’ sont parallèles ; de plus, elles le sont aussi au diamètre conjugué Cy, puisque les cordes qui lui sont parallèles sont coupées au milieu par BB, et qu'à mesure que ces cordes s’approchent de B ou B”", les deux extrémités se rapprochent ; enfin, les deux points de section se réunissent en Z , et la double ordonnée devient nulle. Ainsi, pour que la courbe soit rapportée à ses diamètres conjugués, l’axe Cy des ordonnées doit être parallèle à la tangente menée au point B ou PB’, où l’axe Cx des abscisses rencontre la courbe.

2° Toute ligne CB, menée par le centre C, est un diamètre dont le conjugué est parallèle à la tangente en 2; cela résulte de ce que

l’équ. de la courbe rapportée à ce système d’axes, a alors nécessairement la forme (4\. Aïnsi, dans l’ellipse et l’hyperbole , il y a une infinité de diamètres conjugués.

8° Quand 40 (fig. 239, 240) est le 1°' axe de l’ellipse ou de l’hyperbole , il y a toujours deux cordes supplémentaires, ON, AN, parallèles aux diamètres conjugués ; et la relation &’ax + = 0, donnée (n°: 409, 414) pour l'inclinaison de ces cordes sur l'axe 40, convient aussi à celle de ces diamètres. Ils conservent des directions parallèles dans toutes les ellipses ou hyperboles dont les axes a et b ont même rapport.

4 Le problème qui consiste à frouver des diamètres conjugués qui font un angle donné 8 a été résolu pour les cordes supplémentaires (n° 409): 9 a une limite. Cet angle ne peut être droit que pour les axes; dans le cercle, tous les diamètres conjugués sont rectangulaires. Le problème proposé revient à former le triangle ONA, connaissant la base 40 et l’angle opposé V — 8; on décrira donc sur AO un segment de cercle capable de l'angle 4, et les deux points de section avec la courbe donneront les positions du sommet (voy. n° 431, 4°, et 433).

5° Si le diamètre conjugué Cy rencontre aussi la courbe, ce qui a lieu pour l’ellipse (fig. 243), on verra de même que ZK et GH, tang. en D et D’, sont parallèles au 1° diamètre BB”, Le parallélogramme GIKH est appelé Circonscrit à la courbe. Mais Cy (fig. 245) ne rencontre pas l’hyperbole, puisque cette droite est tracée hors de l'angle des asymptotes (n° 417, 3° cas). Le 1° diamètre coupe done la courbe, mais le 2° ne la rencontre pas.

428. Soient Cx et Cy (fig. 243) les diamètres conjugués d’une ellipse; on nomme BB" et DD leurs Longueurs. Faisons CB — a’ et CD =D". Or y — 0 donne x = «’ ; x — 0 donne y — b’ ; ces conditions étant introduites dans l’équ. (4), on a

LA

Ba? — Q, AD? = O ; d'où B — a? A =,

ce qui change cette équ. en ptet, 0... (0

qui est celle de l’ellipse rapportée à ses diamètres conjugués. 429. Soient pareïillement Cx et Cy (fig. 245) les diamètres conjugués de l'hyperbole; CB — a’ donne Ba”? = Q, car y = 0 répond

à æ = 4’. De plus, Cy ne coupant pas la courbe, si l’on connaissait l'équ. rapportée aux diamètres C>, Cy, et qu’on voulüt trouver le point où Cy rencontre la courbe, x — 0 donnerait une valeur imaginaire pour y; mais (par les mêmes motifs qu’au n° 393), changeons le signe sous le radical , cette valeur deviendra réelle; représentons-la par D’; alors x — O0 devra donner y — — b”*, d'où — 4b°?=— Q, b' ou la demi-longueur du second diamètre étant l’ordonnée oblique qui répond au centre, mais rendue réelle. Les équations

Ba®—=@, — Ab°—0Q, donnent B =< A= — ee

12 9 et en substituant dans (4), on obtient pour l’équ. de l’hyperbole rapportée à ses diamètres conjugués

ay? — Dr = — ab", , . . . . (6)

Si l’on prend CD — CD’ — b', les parallèles GA, TK à Cx forment le parallélogramme GZXH inscrit dans l’hyperbole.

Les équ. (5) et (6) pouvant se déduire l’une de l’autre en mettant D’ p/ — 1 pour ?’, il en sera de même des résultats de calculs, qu’on est ainsi dispensé de faire pour l’hyperbole.

430. En changeant x en y, et y en x, l’équ. de l’ellipse conserve sa forme ; toutes les constructions qu’on fera sur l’un des diamètres seront donc applicables à l’autre. Si l’on compte les x sur le 2° diamètre de l’hyperbole, l'équ. devient

* by? gear 4 a’2x° — a'2b'?,

431. Puisque les équ. de l’ellipse et de l’hyperbole rapportées aux axes et aux diamètres sont de même forme, il est inutile de reproduire ici les calculs déjà effectués pour les axes, et l’on peut en déduire que

1° Les carrés des ordonnées PM (fig. 243 et 245) sont proportionnels aux produits des distances PB, PB’, de leur pied P aux extrémités B et B’ du diamètre (n°° 388 et 394).

2 Deux ellipses qui ont l’une pour axes, et l’autre pour diamètres conjugués, 2a’ et 2b', ont mème équ.; ainsi, pour chaque abscisse, l’ordonnée est d’égale longueur, mais sous des directions différentes. Donc, pour tracer une ellipse, lorsqu'on connait les directions et les longueurs des conjugués CB, CD (fig. 244), on

MATHÉM, PURES, T, !, 26

402 SECTIONS CONIGUES.

prendra sur la perpendiculaire à BB", CK = CK' = CD; puis, à l’aide de la propriété des foyers ou autrement, on décrira l’ellipse BKB'KÆ' sur les axes BB’ et KKÆ’ ; enfin on inclinera chaque ordonnée PN, suivant PM, parallèle à CD. Si a’ = b', BKB'K' est un cercle.

Cette construction s'applique visiblement à l’hyperbole; on verra qu’il en est de même de la parabole.

8° L’inclinaison d’une tangente en un point quelconque (x',y"), et l’équ. de cette ligne, sont pour

, b'?: / l'ellipse, 4 = — , Q°yy + bax' = a°b?, l'hyperbole, 4 — ap? ayy — br — — ab”,

A n’est plus la tangente de l'angle que cette droite fait avec l’axe des æ, mais bien le rapport des sinus des angles qu’elle fait avec les deux diamètres conjugués (n° 367).

4° En ayant égard à la même distinction, on pourra voir que le calcul fait (n° 409) pour les cordes supplémentaires s'applique ici, et que le/procédé qu’on en déduit pour mener une tangente a encore lieu. Soit donc menée du centre C (fig. 246) au point de contact # la ligne CA, et la corde parallèle B'N, la tangente TH sera parallèle à Ja corde BN.

Quand l’eilipse et le point # de contact sont donnés, il est aisé de tracer la tangente ; car on trouve d’abord le centre C en menant . 2 cordes parallèles quelconques , et prenant le milieu de la corde BB" qui les coupe par moitié; notre construction s'applique ensuite.

5° D'un point X (fig. 280), hors de l’ellipse, pris sur une droite donnée BB", menons les tangentes XW, XN, puis le diamètre DD’ parallèle à BB’, et son conjugué C4. L'analyse du n° 413 peut être reproduite ici ; ainsi, l’équ. de la corde ÆN, qui joint les points de contact M et N, est a’°By - baux — a”b°; ce qui permet de construire cette corde, donne les points # et N, et enfin les deux tangentes. De plus, si le point ÆÀ se meut sur BP, la corde MN et les tangentes varient, mais le point £ reste fixe : on a, pour son abscisse, ax — a”? ; elle est indépendante de b’ et de £.

6° La propriété démontrée à la fin du n° 411 subsiste visiblement, lorsque l'ellipse est rapportée à ses diamètres conjugués, ce qui

justifie ce qu’on dit que OA, 4K (fig. 238) peuvent être deux tan-

gentes parallèles quelconques (voy, p. 386.)

D er RL

DIAMÈTRES CONJUGUES. 405

Toutes ces constructions ont également lieu pour l'hyperbole.

432, Cherchons maintenant les relations qui existent entre Îles demi-axes a, b, et les demi-diamètres conjugués a’, b'. Reprenons les équ. de la courbe rapportée aux axes et aux diamètres conjugués, et ramenons l’une d'elles à l’autre, à l’aide d’une transformation de coordonnées. Commençons par l’ellipse.

La courbe est rapportée aux axes rectangles C4, CM (fig. 243), et il s’agit de changer les + et y en coordonnées obliques z’, y’, comptées sur les diamètres conjugués CB, CD ; on sait qu'il faut substituer pour x et y, les valeurs (B, n° 383) dans l’équ.

ay + b°r? — D:

savoir, æ—x cosa—+y cos B, y—= x sin « + y'sin 8,

«, B étant les angles que font avec les + les nouveaux axes CB, CD des +’ et y. On obtient

(a? sin? «D? cos? à) +? (a? sin? B D? cos’ B) y”? — (a? sin & sin B — b° cos « cos B) 2x’ y = ab.

Mais on veut que les nouveaux axes soient des diamètres conjugués, c’est-à-dire que la transformée soit a°°y?-L b°x°° = ab”; le coetficient du terme en z’y’ doit donc être nul, | @ sin & sin 8 - b° cos « cos B = 0, a° tang « tang B + b = 0 (1); en divisant par cos & cos B.

Cette équ. , qui a lieu pour les cordes supplémentaires (n° 409), s'accorde avec ce qu’on a dit n° 427 des directions de ces cordes, des tangentes, et des diamètres conjugués.

De plus faisons successivement y’ et + nuls, pour trouver les longueurs 4’, b’ des diamètres, il viendra

(a? sin? 4 He b? cos? à) a? = œb, , + + (2) A (@ sin° Bb cos B) P?— ab. . . . (3) Pour éliminer # et B entre ces trois équ., on tire les valeurs de sin « et cos « de l'éq. (2), à l’aide de l’équ. sin° &« + cos'a = 1; on a a? (a — b°) sin 4 = b° (a? — a”),

a? (a — D) cos 4 = a° (a? — b°).

L'équ. (3) donne de mème (en changeant a’ en b' et « en 6) D’? (a? — b°) sin° B — b° (& — b?), D? (a? — b°) cos B — a° (b°? — b?).

Or, en transposant le 2° terme de l’équ. (1), etélevant au carré, il vient ah sin? & sin? 8 — b4 cos’ & cos° B,

Substitnant pour sin’ et cos’ leurs valeurs ci-dessus, on trouve, après avoir supprimé les facteurs communs,

/ (ar — a”) (a — D?) = (a° — p) (D — br); d'où ah — bh — a (a? + D?) — b° (a? + b?).

Toute l’équ. est divisible par a? — P°; donc enfin

ba LD, À Ainsi la somme des carrés de deux diamètres conjugués de l’ellipse est

constante, et égale à la somme des carrés des axes. Multipliant l’équ. (2) par (3), on trouve

añb4 — a°b° [ (ak sin? a sin? 8 —. b4 cos? « cos? B) — a°b° (sin? & cos’ B Æ sin’ B cos? à) |.

Retranchant de la parenthèse le carré de l’équ. (1), puis divisant par @b°, il vient

ab? — a°b"? (sin? & cos” B + sin° B cos? « — 2 sin x cos « sin B cos B).

Ce dernier facteur est le carré de sin 8 cos « — sin « cos B, ou sin (8 — «); donc a'bsin(s ed) = aber i(n)

Puisque ab sin 9 est (n° 364, V, 2°) la surface du parallélogramme CDBK (fig. 243), on voit que le parallélogramme CK. circonscrit à l’ellipse a une aire constante et égale à l’aire du rectangle des axes, quelles que soient les directions des diamètres conjugués.

Ainsi les trois équ. données par la question, qui étaient 1, 2 et 3, reviennent à 1, # et 5, savoir,

DR fe 0 QD, 27 (4) db = db sin 2 LL ON (5) a tangatang BH =0, , . . , (6)

Observez que B — «est l'angle DCB — 4 que font les diamètres

conjugués ; ces lignes étant parallèles à deux cordes supplémentai-

res, l'équ. (6) résulte aussi de ce qu'on a vu n° 409. Au reste, en

éliminant a et b, à l’aide des équ. (4) et (5), on trouve que (6) revient à x

0 = a" sin & cos « —- b’? sin B cos B, 0 = a”? sin 24 + b? sin 28. ..(7)

Posons a = D’, pour obtenir les diamètres conjugués égaux. L'éq. (7) donne sin 24 — — sin 28; ces diamètres sont donc également inclinés sur le grand axe, de part et d'autre du petit. L’équ. (6) devient — a tang? « + b? = 0 ;

» b BC d'où tang « = + a? T1 (fig. 239).

L’ellipse a donc deux diamètres conjugués éqaux, parallèles aux cordes supplémentaires qui joignent les extrémités des axes. Ce sont les diamètres qui font le plus grand angle obtus. Soit CA l’un d’eux (fig. 243); le triangle CPM donne

a y = a? = (a + b) (équ. 4):

éliminant y° de l’équ. ay + br? = «h°, on a x° = + a°, résultat indépendant de b. Ainsi, les extrémités des diamètres conjugués égaux de toutes les ellipses décrites sur le même grand axe 2a, ont même abscisse = à V4 2.

433, Quant à l’équ. qui fixe la position des diamètres conjugués, inclinés sous l’angle 4, elle a été donnée n° 409,

@ tang? & — (a? — b°) tang a tang 0h = 0. . .. (8)

Les cinq équ. #, 5, 6, 7, 8, qui n’en forment que quatre distinctes, entre les 7 quantités a, b, a’, b', «, «' et 4, servent à en trouver 4, lorsqu'on connait les 8 autres.

Ainsi, dans ce problème (consultez le n° 427, 4°), trouver les axes, étant donnés deux diamètres conjugués en grandeur et en direction, on connaît a’, b', et 9. Multiplions (5) par Æ 2, et ajoutons à (4), nous avons

(a +b} = a +2 a b'sin0 + D,

Cette équation, comparée à D, n° 355, montre que a - b et a —b sont un côté dans deux triangles, dont l'angle opposé est 90° + 4

pour l’un, 90° — 4 pour l’autre, et a’, b’ les deux autres côtés.

434. Pour l’hyperbole, sans refaire ces calculs, il suffit de changerbetb',enby —1etb y —1,etl'on a

a? — D? — @ — P, ab’ sin 4 — ab, a”? sin 24 — D"? sin 28, ou a? tang « tang B — b?, a tang® à — (a? H b°) tang a tang 0 — bp”,

qui servent aux mêmes usages que pour l’ellipse. On voit donc que, dans l’hyperbole, la différence des carrés des diamètres conjugués est : égale à la différence des carrés des axes, et que le parallélogramme inscrit à l’hyperbole est constant et égal au rectangle des axes.

Si a — D, on a a = b, et réciproquement : l’hyperbole équilatère a donc seule des diamètres conjugués égaux, et tous le sont deux à deux, On a encore tang « tang 6 — 1 : que CA (fig. 242) soit le 1° axe, CM et Cy' deux diamètres conjugués égaux ; on a tang MCA — cot y CA = tang y'Cy, ou y Cy — x’ Cz ; etcomme l'asymptote SC fait l'angle SCA de 45°, on a SCM — SCy : ainsi, l’asymptote coupe par moitié les angles de tous les diamètres conjugués de l’hyperbole équilatère.

435. Les triangles OSM, CMP (fig. 242) sont équivalents | (n° 420), et l'aire CPMQ = CMS — = ab : or (page 847), CMS = ©: SM .CM sin 4, 9 étant l'angle CMS des diamètres conjugués ; ou ab — «a X SM sin 4— ab . sin 9 (n° 434); done SM — D’. Quel que soit le diamètre CM, la longueur et la direction de son conjugué est ST. Les diagonales A7 et GX (fig. 245) du parallélogramme inscrit sont les asymptotes.

Le calcul du n° 416 fait sur l’équ. a’?y° — ba = — a°b° dors

b : K uit g «pour équ. des asymptotes, quand les diamètres con-

jugués sont pris pour axes. Nous pouvons en déduire de nouveau divers théorèmes.

Faisons æ = & — CM (fig. 242); il vient y =D = MS = MT; ainsi À est le milieu de S7' (n° 420), et les asymptotes sont déterminées par les extrémités S, T' des diamètres conjugués (n° 435).

Pour toute abscisse, il y a deux ordonnées égales et opposées, quand Cy' est parallèle à la tang ST, Czx’ coupe donc bb’ et NN’ par moitiés; d'où bN = b'N' : et puisque la direction ST' est quelconque, toute corde jouit de Ia même propriété (n° 421).