Transformons l'équ. de l’ellipse «y? + br? — wb’, et

prenons d'autres axes aussi rectangulaires PTE en posant (C, n° 883)

T2 C0Ssa—y'Sinx, y—+2 sine ty cos «, Fin Q « d’où @x"? sin? & 2a°x'y' sin « cos 4 —- a°y"? cos? x — bx"? cos & — 2b°x'y' sin & cos « - by"? sin? à = a°b?,

« désigne l'angle des >’ avec les +. Pour trouver les points de rencontre des nouveaux axes avec la courbe, on fera successivement , LJ .

æ = 0ety = 0; il viendra ab? ab?

À = ——— B? — a sin? « — b° cos’ 4? ai cos? & + b? sin? «

A et B sont les distances du centre aux deux points de section de la courbe par les axes +’ et y’ rectangulaires; donc D 'EINEES Nier, CR.

2 QE RES d RCARET DNS Cette expression étant indépendante de x, prouve que st l’on mène par le centre de l’ellipse deux lignes quelconques à angle droit, les distances À et B du centre à la courbe comptées sur ces lignes, sont telles

que A—? LE B—? est constant.

Le même calcul pour l'hyperbole donne

AT + B—2 — He — b—2 —= constante :

mais, pour concevoir ce qu'exprime PB, il faut imaginer qu'une autre hyperbole conjuguée ayant b pour 1er axe, et & pour 2e, est tracée entre les asymptotes de la courbe proposée, comme on le voit fig. 253.

437. La parabole n’avant pas de diamètres conjugués, rapportons-la à ses diamètres simples. Pour transporter l’origine 4 en un point quelconque (a, b), et changer en outre la direction des coordonnées, il faut (n° 383), dans y? — 2px = 0, faire

s=atcx Hey, y —=b+sx + sy, set s’ désignant les sinus de x et B, c et c’ leurs cos. : ce qui donne D2 — 2pa + 2x’ (bs — pc) + 27’ (bs' — pc’) +255 x'y" + s2%2 + s'2y2 = 0.

Mais, pour que l’axe des x’ soit diamètre par rapport à celui des y, il faut (n° 426) que les termes 2ss’x'y et 2y’ (bs’ — pc’) disparaissent :

done ss’ — 0 et bs' — pc’ — 0, La 1re équ. donne s — 0, = 1; la 2e revient à b tang 0 — p, 4 étant l'angle des x et y’ ; elle détermine cet angle, ou la direction de l’axe y’: a et b sont arbitraires. Donc les parallèles QS à l’axe Ax sont les seuls diamètres, et le sont tous (fig. 234). L’équ. transformée est

s?y"? — 2px' + D — 2pa = 0.

Mais il suit de la définition (n° 426) que, si une ligne est diamètre relativement à une autre, toute parallèle à cette dernière peut être prise pour axe des y: plaçons l'origine au point H, où l’axe des x coupe la courbe, nous aurons b° — 2pa—0, d'où

2px' == 3pa, en faisant L — p’. Comme tang 9 — — la tangente AT à l’ori- S 2

gine M est l’axe des y’ (n° 404); 2p' est ce qu'on nomme le Paramètre du diamètre MT; mais |

SN 9 = ——————— — ———— —— à V'E+) V(p +2)?

donc (n° 398) 2p' = =. = 2 (p + 2a) = 4 MF.

sin?

Ainsi, le paramètre est le quadruple de la distance de l’origine au foyer. Réunissons les équ.

btango=p, p—p+2a, b— 2pa.

On voit que, lorsqu'on connaît deux des quantités p, p’, a, b, et 0, on peut trouver les trois autres (sauf les exceptions analytiques) et construire la courbe ; elle a pour équ. y? = 2p'z’,

438. De ce que les équ. aux axes et aux diamètres sont de même forme, on peut tirer les conclusions suivantes.

1° La construction donnée pour l’ellipse (n° 431, 2°) s'applique à la parabole, lorsqu'on connaît un diamètre et son paramètre 2p'.

2° L’équ. de la tangente en un point quelconque (+, y') est /

yy = p' (x + x’); l’inclinaison sur le diamètre est donnée par £

qui est le rapport des sinus des angles que la tang. fait avec les axes.

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 409 Si la tangente doit être menée par un point extérieur, la construction et les propriétés données n° 407 ont encore lieu.

3° La sous-tangente est encore double de l’abscisse; ainsi l'on mènera aisément la tangente en un point donné, connaissant un diamètre.

Si l’on a une parabole tracée MAM' (fig. 234), on pourra déterminer un diamètre , l’axe, le sommet, les tangentes, etc.; car, en menant deux cordes parallèles quelconques, et joignant leurs milieux, on aura un diamètre MS : traçant ensuite la corde MW perpend. à MS, et AN parallèlement par le milieu P, on aura le sommet 4....

On remarquera que 2p° — D; ainsi le paramètre est une troisième proportionnelle à une abscisse et son ordonnée. On décrira donc facilement une parabole , connaissant la direction d’un diamètre JS sur Mt, et un point de la courbe : car les coordonnées x’, y de ce point font connaître le paramètre 2p', en sorte qu’on a l’équ. y — 2p'x, et qu'on retombe sur ce qu’on a vu.

Discussion des Équations du second degré.

439, Soit demandé de construire les courbes dont l'équation est

. Aÿ + Bay + Ca + Dy+ Er+F—0; . + (a)

les coefficients 4, B.... sont donnés en grandeur et en signes. Les coordonnées seront supposées rectangulaires, attendu que, sans changer le degré de l'équation, on peut toujours les ramener à cet état par une transformation (Æ, n° 384). Comme les courbes ont des formes et des propriétés très-différentes, suivant qu’elles ont ou n'ont pas de centre, nous distinguerons les trois cas de B° — 4 AC nul, négatif ou positif, Pour abréger, nous ferons, par la suite, B? — 44C— m.

lercas. B? — 44C—m— 0.

440. La courbe dont il s’agit étant MDM' (fig. 248), n’a pas de centre; Axet Ay sont les axes. Rapportons cette courbe à d’autres axes 4x’, Ay', aussi à angle droit, et cherchons si l’on peut

rendre ces axes tels, que l’équ. devienne de la forme P

ay® + dj Lex LF—=0, , ,. . . (b) La même courbe WMDM' a pour équ. (a) et (b), les axes étant différents, si l’on peut, par une transformation de coordonnées , réduire l'une à devenir identique avec l'autre. L'angle x 4x’ des deux axes étant 6, passons de cette dernière à l’autre, c'est-à-dire du système y'Ax' à yAT, à l'aide des équ. (C, n° 383), où nous ferons négatif cet angle 9 des deux axes x et x’, parce que celui # de la transformée (a) est en dessous de celui +’ de l’équ. (b) que nous regardons comme donnée, pour un instant. Faisons donc dans l’équ. (b)

Y = y COSô — xsind, » —=ysin0Lx cos , ..(c) Puisque le résultat de cette substitution doit être identique avec (a), et que le nombre constant Fest le même des deux parts, il faut que

les coefficients soient respectivement égaux. Comparons donc, terme à terme, le résultat avec (a) ; nous aurons

@ COS = À, , d'inPdss O; ce 50. HE) — 2a sin6cos8— B; . . . . (2) dcos 8 Le sn0=—D,ecosô— d sinô—#Æ. . . . . (3)

Nous trouvons ainsi 5 équations pour déterminer les 4 inconnues a, e, d, 0: maïisen vertu de la condition B° = 440, (2) rentre dans les relations (1); en sorte que ces 8 équ. n'équivalent qu'à 2, propres à déterminer a et 4, et que le calcul ci-dessus n’est possible que dans le cas de »m — 0. Ajoutant les deux 1res, il vienta = 4+ C; d'où

D'u B sin 0— V A cos 0 — V 2 tang ô — V —, Sin 20—=——, ( a A (2

Éliminant ensuite d et e entre les équ. (3), on a d= Dcoss— E sing, e—DsinsLE cos, , . (4) Dy 4A—EVC MMDY CE &) y a Lo T" y a LT La condition B° — 44C rénd (n° 138) les trois 1° termes de. l’équ. (a) réductibles au carré d’un binome, ou (ky + {x} ; alors 4 et C sont des carrés positifs, dont les racines 4 et/ sont réelles. L’infini, ou l'imaginaire, ne peut donc jamais s'introduire dans ces résultats : ce qui prouve que, dans le cas de 5» = 0, on pourra

ou d —

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. ai

toujours, par une transformation d’axes, réduire la proposée (a) à la forme (b).

Si 4 ou C était nul, comme B°=— 440, B le serait aussi; la proposée serait donc sous la forme (b), etil n’y aurait pas lieu à changer d’axes : et si l’on avait à la fois 4 et C nuls, l’équ. (a) serait privée de ses trois premiers termes, c’est-à-dire serait au E°r degré.

Dans toute équ. proposée où » — 0, on fera donc le calcul cidessus, on plutôt on posera de suite la transformée (b), après en avoir trouvé les coefficients à l’aide de nos équ., et construit le nouvel axe 4x’ (fig. 248), d'après la valeur de 6, savoir :

B tang De V % sin 29 = —— AC o « (6)

Le signe de sin 24 est contraire à celui de B, ce qui apprend si l'angle 28 est © 180, c’est-à-dire si 9, ou +'4x étant > qu’un quadrans, l'axe 42’ est au-dessous de 4x. De là résulte le signe du radical qui entre dans les équ. (5), J/ « conservant toujours le signe -. Du reste, ces coefficients sont compliqués de l’irrationna-

lité p/ a.

Soit, parex., 2y° — 2ry LE Ex y — 2x +5—0;

multipliant par 2, pour mettre en évidence le carré parfait, nous avons 4 = 4,B—=—4,C=1,,:....; doùa—=5, tangé — +, sin 29 — À. On prend les radicaux positifs, et l’on trouve d =0,e——2}/ 5; d’où 5y? — 2x y/ 8 10 — 0. Telle est l’équ. qu'il s’agit de construire, l’axe des +” étant tel, que l’angle x'Ax ait + pour tangente (on prendra 4Æ quelconque et sa perpend. FE, moitié de AE, fig. 248).

441. Le calcul précédent réduit donc , en général , la proposée à la forme (b), qu'il s’agit maintenant de construire sur les axes rectangulaires 4x”, Ay' (fig. 248). Transportons l’origine en un point (., k); ces deux lettres désignent des arbitraires. En changeant

y'etz',eny het x k, dans l’équ. (b), elle devient ay? (2ak + d) y Lex (ak + dk Leh L F) = 0.

Pour déterminer k et, chassons le terme en y’ et le terme constant (la nouvelle origine sera un point de la courbe) ; posons donc

2ak + d—0, ak + dhkLeh LF=0;

dr? — 4aF ak — F

ae e

d'où 4 = — Sa? h —

Telles sont les coordonnées de la nouvelle origine, qui est un des points de la courbe * : la transformée est ay’? ex’ —0, qui, comparée à y? — 2px', est l'équ. D’uNE PARABOLE rapportée à son axe **, et tournée dans un sens, ou dans le sens contraire, selon que e est positif ou négatif.

Soit l’équ. 2y° + 5y — 4x = ?; on trouves = — À, h— —1; on prendra 4B = — 1, BC = — Ÿ (fig. 249); ré e est men de 4 en C, et l’équ. devient y” — 2%. La parabole a son sommet

en C, et le paramètre est 2.

L'équ. y — 2y + x = 0, donne y? = — x, AB = BC — (fig. 250), l’origine passe de Z en C, et la parabole est ouverte dans le sens des x négatifs.

Reprenons enfin l'exemple de la page 411, déjà réduit à 5y° — 2x y/ 8 + 10 — 0, les axes étant 4x’, Ay' (fig. 248); nous trouvons 4 —0, k = / 5; le sommet, ou la nouvelle origine est en M’, prenant 4M' = y/ 5 : l'équ. devient y? — 2x’ J/ =; le paramètre est J/ à.

442. Il est un cas où notre calcul ne peut se faire, celui où e— 0 ; car À n'entre plus dans le calcul, et demeure arbitraire ; en sorte qu'on a deux équ. pour déterminer la seule quantité 4. Posant alors seulement 24k + d —0, nous avons, dans cette circonstance,

ay + ak dk LF=0, ou key? — d — kaF,

La nouvelle origine est l’un quelconque des points de la parallèle aux æ, qui à pour CU, ÿ ik

1° Si d — 4aF © 0, on a 2ay = + y" d’— 4aF), équation qui donne deux droites parallèles aux x’, et placées à égales distances de cet axe. Telle est, par ex., EL y® + 4y +3 — 0.

do Si d’— haF —0, on a y — 0, équ. de l’axe des x’; l’équation (b) est donc celle d’une droite parallèle aux +’, L’équation y? + ky + 4 — 0 est dans ce cas.

* Dans les fig. suivantes, À désigne la 1e origine des coordonnées, € la nouvelle.

** Observez que si l'équ. (b) était la proposée, et que les axes n’y fussent pas rectangulaires, il ne serait pas nécessaire de les amener à cet état par une 1re transformation, et que les équ. (b) pourraient être appliquées pour transporter l’origine ; la parabole serait seulement rapportée à l’un de ses diamètres, comme n° 437 ; on pourrait alors aussi aisément la construire que si elle l'était à son axe.

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 415

3° Si dé — haF <[0, la proposée ne représente rien, puisqu’on la ramène à y? n°—0, qui est PARA absurde, C’est ce qui arrive pour l'équ. y"? + 4y +5

L'équ. (b) devient ay° + dy 1; Re —= 0, dans le cas de e — 0; on peut lui donner la forme

(2ay Ed) — d + 4aF = 0.

Ainsi, le 1° membre est plus grand ou plus petit qu’un carré, ou même est un carré exact, selon que 4aF est > , < ou — d’. On peut aisément voir que l’équ. (a) offre la même particularité, et a, dans ce cas, la forme (ky + !x L c} + Q — 0, qui est absurde si O est positif, du 1°' degré si 0 — 0, et enfin qui donne deux droites parallèles si Q est négatif (voy. p. 431).

443. Il est donc prouvé que si m — 0, l’équ. du 2° degré est celle d’une parabole; mais que des cas particuliers donnent wne droite, deux parallèles, ou même rien.

Quant à l’équ. cæ° + dy + er + F— 0,

comme elle revient à (b), où x est changé en y, et yen x, la courbe est la même, rapportée à l’axe des y: on peut au reste transporter l'origine comme ci-dessus. Par exemple, l’équ. 2° + 8y = 2x — 1, en prenant 4C = 1 — k (fig. 251), et portant l’origine de Zen C, devient +’? 3y — 0. La parabole est ouverte du côté des y négatifs, et l'axe des y’ est celui de la courbe.

On trouve que, 1° l’équ. x? — 6x 10 — 0 ne représente rien; 2° 3° — 6x 9 — 0 est l’équ. d'une parallèle aux y; elle revient àæ — 38 ; 8° pour +° — 6x + 7 — 0 on a deux parallèles aux y.

2e cas, B? — 4A4C — m négatif.

444. La courbe à un centre, auquel nous commencerons par transporter l’origine ; car on ne peut plus ici réduire la proposée à la forme (b). Faisons donc le calcul du n° 425, et l’équ. (a) sera ramenée à la forme

Aÿ + Bry + Cx +0—=0.. . . . (f)

Cherchons à la dégager du terme xy, c'est-à-dire à la transformer en

qtpr +O=0 1 #7 ,., . (9)

Substituons donc, dans cette dernière, les valeurs (c) de y’ et +’, et

comparons, terme à terme, le résultat à l’équ. (f), pour exprimer

l'identité ; il viendra g cos 8 -L p ain°0= 4, ., ,.. {1} g sin 0, nCcof be (oh. à to til 2 sind.cos.(p—q)— B., . +. + . (3)

Ces trois équ. servent à déterminer les trois inconnues 4, p et q. La somme des deux 1res devient p Æ g — 4 + ©; formant ensuite B° — 440, ou m, en carrant la 3° et retranchant quatre fois le produit des deux autres, il vient

m== — pq (sini6-L2sin9,. cos’ 8-cos46)=—— 4pq (sin?6—-cos’6),

ou m— — pq. Les inconnues p et q, ayant 4 + C pour somme et — = m” pour produit, sont les racines de l’équ. du 2° degré,

m2 —(4 LC: im à 6. (0) d’où petqg=i(4+ C)+: EE A — Cp.

Ces racines p et g sont visiblement réelles dans le cas actuel. La différence entre les équ. (1) et (2) est

(g — p) (cos 8 — sin° 6) = (q — p) cos 20 4 — C;

en recourant à l'équ. (3), on trouve donc

sin 26 CA PT ET PU er tang 20 = Se " q—P q—p 4 — 0 Cette dernière valeur, facile à construire, donne 24, et, par suite, l'angle 9 d'inclinaison de l’axe des z’ sur celui des x : le signe de tang 26 apprendra si 29 est © ou <[ 90°; mais, dans tous les cas, 8 est <[ 90°, et l'axe des +’ tombe en dessus de celui des +. D'ailleurs, sin 26 est toujours positif; ainsi p — q doit être de mêmesigne que B : donc g est la plus grande des deux racines de 2, si B est négatif, et la plus petite, si B est positif. On saura ainsi distinguer entre elles » les racines qu'il faut préférer pour q et p.

Soit, par ex., l’équ. 5y° 2ry Bx° + 2y — 2x —<{; en transportant l’origine au centre (n° 425), point dont les courdonnées sont h— 7, k= — +, la proposée devient 5y° Æ 2xy + 5x° = 2; on a ensuite, pour l’équ. (2), — 1034+24=0 ; d'oùz=56+l; ainsi, À étant positif, g=—= #4, p=— 6, puis 4y? + 6x7 = 2, équ. qui

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 415

reste à construire, les axes des 2’ et y étant déterminés par tang 2=—= œ , d’où 29 — 90°, c’est-à-dire que l'axe des #’ fait un angle de 45° avec celui des x en Gessus duquel il est placé. Ces constructions sont sans difficulté.

445. Ce calcul ne peut présenter aucun cas d’exception. Il est à observer que» étant négatif dans le cas actuel, sav., B°—44C—1m, le radical des valeurs de z se réduit à V/ (4 + C} — m, qui est <T A + C. Ces valeurs de p et q sont donc de même signe que A +- C, en sorte qu’on peut regarder. comme positifs p et q dans léqu. (g), qu'il s’agit maintenant de discuter. Nous examinerons successivement trois cas, selon que © est nul, positif ou négatif.

1° Si Q = 0, on a qy”° - pr? — 0 ; équ. qui ne peut subsister que si, à la fois, # = 0, y — 0. On a donc un point, qui est l’origine des z’ et y’. L’équ. y — 4x y + 5a° + 25 1 = 0 est dans ce cas; le point est (— 1, —2), ainsi qu'on le reconnait par le calcul, qui transforme d’abord la proposée en y? — 4xy Æ 5° = 0, puis donne z — 3 + 2 y/2, tang 20 = — 1, 20 — 135°, enfin (8 9/ 2).y? LL (3 —9 p/ 2) x? — 0.

2° Si Q est positif, la proposée ne représente rien, puisque l’équ. (g) est absurde, trois quantités positives ne pouvant s’entre-détruire. C’est ce qui arrive dans l’ex. précédent, quand on met, au lieu du dernier terme 1, une valeur > 1.

3° 192 Q est négatif, la transformée (g) devient qgy? + px? = Q. En faisant tour à tour +’ et y’ nuls, pour obtenir les points où la courbe coupe les nouveaux axes, on obtient

F V ge Pc

d’où gq —?, ne LE puis ay"? + br? — a °b°. La courbe est

donc we ELLIPSE , rapportée à son centre et à ses axes 2a et 2b.

Si, dans l'ex, précédent, on met — 1 au dernier terme, on trouve d’abord y? — 4ry —- 5x? — 2, les mêmes valeurs de z et de 9, puis l’équ.

qui appartient à une ellipse dont les axes sont p/ 8 (3 Æ 2 2). 446, Concluons de là que l’équ, générale du 2° degré appartient

à l’ellipse, toutes les fois que m est négatif ; maïs qu’on trouve deux cas particuliers, qui donnent l’un rien, l’autre un point. Lorsque m <{ 0, les valeurs de z sont de même signe : elles deviennent égales dans le cas du cercle, car p — q. Voy. n° 454.

8° cas. B? — AC — m positif.

447. Tous les calculs du n° 444 conviennent encore ici, en sorte qu'il faut reproduire la même transformation et les mêmes valeurs de det z; seulement, comme B? — m + 44C, m étant positif, le radical est © 4 Æ C, et les deux racines de z sont de signes contraires, en sorte que, dans la transformée (g), on peut donner le signe —- à q, et le — à p; savoir :

1° Q = 0, on a 97? = pr, d'où y = +4 V2: il est q

évident qu’on obtient deux droites, CD, CE (fig. 252), qui se croisent à la nouvelle origine C, l’axe des x’ coupant par moitié l'angle

DCE qu'elles font entre elles. L’ordonnée + V/£ qui répond q

à æ' — 1, sert à construire ces droites; elle est la tangente des angles DCx', ECx'.

Par ex., l'équ. y? — Gxy + 2° + 2y — 6x 1 — 0, en trans-

portant l'origine au point (0, — 1), qui est le centre, devient Y° — Gxy HE x —0 : on trouve x — 2: — 8; d'oùs —1+3; savoir, q—=4,p——2ety? —<x—0;doùy +: y:

enfin, 9 — 45°. Ces constructions n’offrent aucune difficulté (voy. fig. 252).

20 Si Q est positif, l’équ. (!) devient qy°? — pa”? = — Q : posant

on pose y = 0, et l’on a

ce sont les demi-axes D'une nyrERBoLe, ainsi qu'il suit du calcul de la

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 417

substitution des valeurs p — a, q = @, qui donne

ay"? STE bx'? = ‘ms aæb?.

On a un exemple de ce cas en remplaçant + 1, dans le dernier terme de l’équ. précédente, par 8 ; les valeurs de z, 9sont les mêmes, et l’on a y? — + 2° — — 1 ; les axes sont b=— 1, a — y 2,

30 92 Q est négatif, on à qy? — px? — © ; un calcul semblable, ou seulement le changement de x en y, et y en x, prouve qu’on a une hyperbole dont les axes sont l'inverse des précédents. Qu'on change + 1 en — 3, dans le dernier terme de l'exemple ci-dessus, et l’on trouvera y? — + °° — 1; les axes sont a—1,b—=}y/2; la courbe coupe le second des axes coordonnés (celui des y).

448. Faisons varier Q dans l’équ. (7). Q étant positif, on a l’hyperbole MAN, LOI (fig. 253); et il suit des valeurs des axes a et

b, qu’en prenant 4D = 4D° — V2 et l’abscisse C4 — 1

q (ou 4D— b et AC — a), les droites CD et CD” sont les asymptotes

de toutes les hyperboles, qu’on obtient à mesure que © s’accroit ; seulement le sommet 4 s'éloigne de plus en plus, et la courbe s'ouvre sans cesse davantage. Si O0 — 0 ,on a les asymptotes mêmes, gy® — pr? = 0. Enfin, si Q devient négatif, on obtient l’hyperbole M'A’ N', T'O'L', tracée entre les mêmes asymptotes, mais dans les autres angles, les sommets 4’, O' s’éloignant à mesure que @ augmente

449. Ainsi l’équ. générale du 2° degré appartient à lhyperbole, toutes les fois que m est positif; mais, dans un cas particulier, on trouve deux droites qui se croisent. Les valeurs de z sont alors de signes différents; et lorsque, abstraction faite de ce signe, elles sont égales, C=— — 4, l'hyperbole est équilatère. Comme B° — 4 4C est toujours positif dès que 4 et C ont des signes différents, on est alors dans le cas de l’hyperbole, quelles que soient les grandeurs de A, B, C.... La même chose a lieu si 4 ou C est nul , c’est-à-dire si la proposée est privée de l’un des carrés +? et y”, et même si ces carrés manquent l’un et l’autre. Dans ces divers cas, la marche des calculs est toujours la même : mais comme dans le dernier elle devient très-simple, nous l’exposerons ici. Soit proposée l’équ.

Bxy + Dy + Ext F=0;

MATHÉM, PURES, T, 1, we :

418 SECTIONS CONIQU ES.

on transporte l’origine au centre, en faisant Bk E = 0, Bh + D = 0; d'où E D 7 Q SEE matter À PET 7? |

en posant O0 — DE — BF. Ces expressions ne sont sujettes à aucune exception. Ainsi l'équ. proposée est celle d’une hyperbole rapportée à des axes parallèles aux asymptotes. L'hyperbole est équilatère quand les xy sont rectangulaires (n° 416). Si CD’ (fig. 253) est l'axe des +’, CD celui des y’; la courbe est tracée dans les angles DCD”, ECE'; si Q est positif, elle est MAN, LOÏ; enfin elle est M'A'N', l'O'L' quand Q est négatif, Si O — 0, l'équ. proposée appartient aux asymptotes mêmes.

Ainsi, pour l'équ. y — 2x + y Æ m — 4, les axes étant 4r, Ay,on ak=—92, h= 1; on fera AB = 1 (fig: 254), BC; Cx’, Cy' seront les asymptotes de l’hyperbole +'y — 2 — m, qui sera MN, OP, si m <°2; M'N', O'P',sim > 2; enfin, »m — 2 donne les droites Cx', Cy'.

450. Il convient de remarquer que, dans les cas de » > ou < 0, si la proposéeest privée du terme en y, le calcul de la discussion est très-simple, et se réduit à transporter l’origine au centre ; il n’est pas même nécessaire de rendre les coordonnées rectangulaires « quand elles ne le sont pas, et l’équ. est alors rapportée aux diamètres conjugués, au lieu de l'être aux axes. En effet, soit la proposée

Aÿ + Cr + Dy + Ex + F=0; E 2C?

QChHE—0, 24kLD—0, Ay°LCr+0—=0,