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| D ROSE À k le centre est au point { — res NE est-à-dire qu’on a

en faisant Q— 4h + Ch + Dk LELLEF=E—

Voici divers exemples de ces calculs :

Les équ: 2y° 32° — 3x—92y+2—0, 4y tar a+ 20 | ne représentent rien; la 1r° a pour centre (2, 2), ét se réduit à

*“ Les coordonnées du centre s’obtiennent aisément à l'aide du théorème (506), qui apprend à chasser le 2e terme d’un polynome. Si l'on multiplie respectivement les équ. qui suivent par = et #, et qu'on ajoute, on trouve 44? + Cha = = + (Dk + E), qui sert à réduire la valeur de Q, ainsi qu'on l'indique plus bas,

DISCUSS: DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 419

2y1 LE 8x3 > ñ dr la 2° a le centre au point (+, 0), ét donne AVR: —

L'éqnu. y + né — 2y + 4x +3 = 0 appartient au féint (1,2 1).

L'équ. + y + 32° — 12% EL 3 — 0 dônne 4 — 2, 4— 0, puis 2 2 4 8x°—9: les demi-axes de l’ellipse sont ay 8,b=ÿ/6; on prend 4C = 2 (fig. 255), et l'on trace l’ellipse DFEO, en formant DC=— y 3, CO — y 6. Si les coordonnées étaient obliqués, ces longueurs seraient celles des demi-diamètres conjugués.

Pour y 2x — 2y — 0, on a une ellipse tangente à l’axe dés x, dont le centre est sur l'axe des y au point (0, 1); on û as 1, bia 4/"4,

L'équ. y — 42° 4y + 12 — 5 — 0 pa y 129974 en rapportant r Origins de 4 en C (fig, 252), AB = À, BC—=—2; on prend y —=2et x — + 1, et l’on trace CD et CE.

Pour 2y? — 32° — A 2 —0, le centre est au point (—À, À), et l’on a 27° = — ?, On A UTLR AB= <= BC (fig. 256), et l'on décrira bal dont a — +, b — y/ + sônt les axes Ou les diamètres conjugués, selon que és coordonnées sont rectangles ou obliques. ,

L'équ. y° — 24? — 2y + 9 — CAEN — 24? 8 — 0, T'hyperbole pour laquelle 4 — 1, h== 0, «a — 2, b—27y 2.

Enfin 3y° — 22° 9x -L 3y —: donne 4B = h=— + (fig. 257). BC—=k = — ;; d'où 3y? — 27° — ?, équ. qu'il est aisé de rap procher de celle de la fig. 256 ; seulement la courbe est placée différemment.

451. II résulte, de cette exposition, que l'équation généräle du 2° degré présénte trois cas : le 1° où » — 0, qui donne une püra- | bole, oùtre les cas particuliers d’une droite, de deux parallèles, et dè

rien ; le 2° où #ñ est négatif, qui donne wne ellipse, outre les cas particuliers d’un point et de rien ; le 8° enfin où # est positif, qui répond à l’hyperbole, rapportée soit au 1°, soit au 2° axe, outre ün cas qui donne deux droités non parallèles. Comme les sections d’un cône par un plan sont précisément une parabole, une ellipse où une hyperbole; et que lorsque la section se fait par le sommet, on a une droite, un point où deux droites croisées ; de nos huit cas, six sont des sections coniques : ce qui fait dire que toutes les équ. du second degré appartiennent aux sections d’un cône par un plan. Par-

tout où un plan et un cône existent ; il ne peut pas arriver qu'iln'y 27”

ait pas intersection ,-ou qu’on ait deux parallèles ; d’où l’on voit que ce théorème souffre deux exceptions.

En faisant mouvoir le plan coupant parallèlement à lui-même, lorsqu'il passe par le sommet, l’ellipse devient un point, la parabole une droite, l’hyperbole deux droites croisées; c’est ce qui a fait considérer le point comme une sorte d’ellipse dont les axes sont nuls ; une droite, comme une sorte de parabole ; deux droites croisées, comme une hyperbole (n° 400) : ces considérations n’intéressent en rien la théorie.

452. On obtient la grandeur et la direction des axes principaux par le procédé suivant. Supposons d’abord que les axes soient rectangulaires, et que l’origine soit au centre ; l’équ. de la courbe proposée est

Aÿ +- Bxy un Cr? —- O ES QT UNS EURE (1)

Concevons que du centre 4, avec un rayon r, on ait tracé un cercle (fig. 256 bis); l'équ. est x? + y? — r° : il y aura, en général, quatre points de section ; pour les obtenir, menons par l’origine une droite ZX à l'un de ces points, et soit y — Mzx son équ.; en éliminant x et y entre ces équ., on trouve

(A4®LO)MELB°M+Cr+OQ—0. . . (2?

Si le rayon rest donné, cette équ. fera connaître deux valeurs de 4Z, ce qui prouve qu’il n’y a que deux droites allant du centre aux quatre points d’intersection, c’est-à-dire que ces points sont deux à deux sur nn même diamètre. Ces lignes s’obtiennent en construisant les deux valeurs de #7, qui est la tangente de leur angle d'inclinaison sur l’axe des x. Quand les racines sont imaginaires, le rayon r est trop grand ou trop petit pour que le cercle ren-

contre la courbe ; et si les racines sont égales, les points de section «

coïncident deux à deux, et le cercle est tangent à la courbe. La tangente commune à l’un et à l’autre en ce point, est perpendicu-

laire au rayon du cercle, propriété qui ne convient qu'aux axes” principaux. Ainsi les valeurs de /] qui répondent au cas des racines”

égales sont propres à ces axes. Alors on a (n° 136)

Bré.— } (4 + Q) (Cr + 0) —0, ou (B — 4AC) r4 — 40 (4+ C)= 40, puis (48 +HOM+EBr=0,

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 421 en extrayant la racine de l’équ. (2) qui est un carré; on entire

dr :6r 20

TER 7: CFE M — 24M = 1,..,.. (3)

en posant, pour abréger, 4 — C— Ba; donc M — ax + y/ (14). Ainsi prenez sur l’axe 4x, AD — 1, élevez l’ordonnée DI = &, AI sera W (1 4 «) : du centre Z, tracez le cercle KAK', avec” lerayon 47, et les points de section X, Æ' donneront les directions 4X, AK" des axes principaux, puisque les valeurs de Æ sont les tangentes des angles XAD, K'AD. Ces lignes sont à angle droit, d'après la construction ; et en effet le produit des deux valeurs de M est — 1 (n° 137). On en tire ensuite les deux valeurs de r qui sont les longueurs des axes :

A+ CEYE — 340 E(A+C>