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FACTEURS DES NOMBRES. 27 où chaque reste est écrit à la droite du diviseur, pour qu'il occupe la place convenable à la division subséquente.
Donc, pour trouver le plus grand diviséur commun de deux nombres, divisez l’un par l’autre ; divisez ensuite le diviseur par le reste, et continuez de même à prendre chaque reste pour diviseur du reste précédent, jusqu’à ce que vous trouviez un quotient exact ; ce quotient sera le plus grand diviseur commun cherché.
Voici encore deux opérations de ce genre, l'une pour 2961 et
799 ; l'autre pour 115 et 69; les plus grands diviseurs communs sont 47 et 23.
24. Remarquez que , 1° les restes étant sans cesse décroissants, on doit arriver à un diviseur exact, ne fût-ce que l'unité : quand le plus grand commun diviseur est 1, les deux nombres proposés sont premiers entre eux. C'est ce qui arrive pour 50 et 21. Il est fâcheux de ne pouvoir reconnaitre ce cas à priori, puisqu'on a fait tous les frais d’un calcul inutile.
2° Le plus grand commun diviseur de deux nombres devant diviser tous les restes successifs qu’on trouve dans l'opération, si l'un de ces restes est un nombre premier qui ne divise pas le reste précédent, on est assuré que le calcul doit se termiuer par l'unité, seul diviseur des nombres proposés. Par exemple, pour 824 et 319, on arrive au nombre premier 53 qui ne divise pas 133 : il est inutile de pousser plus loin le calcul pour conclure que l'unité est le seul diviseur commun.
824 153 | 55 nombre premier.
1Pilu2
3° Le raisonnement précédent prouve aussi que tout diviseur de 312 et 132, tel que 3, divise aussi 48, puis 36 et 12, c'est-à-dire tous les restes successifs de l’opération : en sorte que tous les diviseurs de 12 doivent aussi diviser 812 et 132, et sont les seuls qui jouissent de cette propriété, savoir, 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Donc tout diviseur de deux nombres divise leur plus grand commun diviseur ; et pour obtenir tous les facteurs communs à deux nombres, il ne faut que chercher les facteurs de leur plus grand commun diviseur.
4 Si, dans le cours des calculs, on reconnait qu’un nombre divise deux restes successifs, on supprimera ce facteur dans le divi
dende et le diviseur, et on continuera l'opération; lorsqu'on aura trouvé le diviseur commun , il faudra le multiplier par le facteur supprimé. C'est ainsi que 4630 et 3570 sont multiples de 10 ; prenant donc 483 et 857, on fait la division , et on a lereste 126, qui, ainsi que 857, est divisible par 8 : ôtant ce facteur 3, on opère sur 119 et 42, dont le commun diviseur est 7 ; ainsi celui de 4830 et 3570 est 10 X 83 X 7 = 210.
Mais si l'on reconnaît que l’un des restes a un facteur premier qui ne divise pas le reste précédent, on peut le supprimer, sans que le diviseur commun soit changé. En cherchant-(p. 27) le plus grand commun diviseur de 2961 et 799, on voit que le reste 564 est multiple de 12 — 3 X 4 : d’ailleurs le diviseur 799 n’est divisible ni par 8, nipar 2; supprimant ce facteur 12, 564 est remplacé par 47; on trouve le quotient exact 17, ainsi 47 est le plus grand commun diviseur cherché. Cela résulte de ce qui a été dit (3°).
25. Si le produit de deux facteurs est divisible par un nombre qui soit premier avec l’un d’eux, ce nombre doit diviser l’autre facteur. Par exemple, 56 X 45, ou 2520 , est divisible par 15 qui est premier avec 56 ; je dis que 15 doit diviser 45; car 15 divise visiblement 15 X 45, et aussi 56 X 45 (par hypothèse) ; donc, 15 doit diviser le plus grand commun diviseur (24, 3°) qui est 45 , puisque 56 et 15 n’ont que 1 pour facteur commun.
1° Deux facteurs moindres qu’un nombre premier ne peuvent donner un produit divisible par ce nombre.
2° Le produit de deux nombres premiers ne peut admettre d’autres diviseurs que ces mêmes nombres, outre l’unité et le produit même.
8° Plusieurs facteurs 5 X 8 X 9 X 11 ne peuvent former un produit divisible par un nombre premier 3, qu’autant que l’un des facteurs au moins est divisible par 8.
4° Si un produit est divisible par un nombre non premier, il faut qu’on retrouve tous les facteurs de ce dernier parmi ceux qui constituent les nombres multipliés. Ainsi 10 X 70 est divisible par 28, attendu que 28— 2 X 2 X 7 ; que le premier facteur 2 se trouve dans 10—2 *X 5 ; etle second 2, ainsi que 7, dans 70—92 X 7 X5: le quotient est 5 X 5. Mais si quelqu'un des facteurs du diviseur manquait, la division du produit serait impossible exactement. Donc, si plusieurs facteurs sont premiers avec un nombre quelconque, le produit l'est aussi ; et si ces facteurs sont premiers entre eux, et
qu'un nombre soit divisible par chacun d'eux, il le sera aussi par leur produit , et par les produits qu’on forme en combinant ces facteurs 2 à 2, 3 à 3...
26. {n'y a qu'un seul système de facteurs premiers, capable de produire un nombre donné. Par exemple, 360 = 2° X 3° X 5 ne peutêtre produit par d’autres facteurs premiers, tels que 7 X 11 X2; car on aurait 2° X 3 X 5—7 X 11 X 2, et il s'ensuivrait que le premier membre serait multiple de 7, contre ce qu’on a vu (4e). On ne peut donc admettre pour 360, que les facteurs premiers 2, 3, et 5, et il reste à faire voir qu'on ne peut leur donner qu’un système d’exposants ; qu’on n’a pas, par exemple, 360—2 X 3° X 52. En effet, il en résulterait .8*.,5 — 2,3.5?, ou, en supprimant les facteurs communs, 2 — 3 X 5, ce qui est absurde (4°).
Si deux nombres, tels que 7 et 11, sont premiers entre eux, deux puissances quelconques de 7 et 11, telles que 7° et 114, sont aussi premières entre elles ; puisque, si elles avaient un facteur commun , ille serait aussi de 7 et de 11.
Soit un cube exact, tel que 8000 — 20* : si l’on décompose 20 en 4 X5, 8000 sera le cube de 4 X 5; mais, comme la multiplication permet d’intervertir l’ordre des facteurs, on à 8000 = 4° X 5°, On voit donc que chaque facteur se trouve élevé au cube. On peut en dire autant de toute puissance , quels que soient les facteurs. Donc, si un nombre est une puissance exacte, en le décomposant en facteurs premiers, chacun doit être affecté d’un exposant multiple de la puissance.
27. Pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on le divisera d’abord par 2, autant de fois successives qué cela sera possible, et le nombre proposé sera le produit d’une puissance de 2 par un quotient connu, non divisible par 2. On essayera de même la division de ce quotient par 3, autant de fois qu'il se pourra , et il sera le produit d’une puissance de 3 par un nouveau quotient connu,non divisible par 3. On continuera de même à éprouver si la division est possible par tous les nombres premiers consécutifs 5,7, 11, 13... Le nombre proposé sera le produit de ces divers nombres premiers, chacun élevé à une puissance marquée par le nombre des divisions qu'il a effectuées.
Par exemple, pour 360, on divisera par 2, puis le quotient 180 par 2, enfin 90 par 2; comme le troisième quotient 48 n’est plus divisible par 2, on a 360 = 2° X 45. On civisera 45 par 3; on
aura 433 X5; d'où 860—2%X3X 5. La dé- 69
composition est ici terminée, parce que 5estun 180 [2 105 | 3
nombre premier. On donne ordinairement au 4 = “ : calcul la disposition ci-contre, afin de mieux 15 | 3 5 | 5
voir la série des facteurs.
On trouve de même que 210 =2 X 8 X 5 X 7 *.
Ce procédé conduit au but par un nombre limité d'essais. On sait d’ailleurs que la résolution en facteurs ne peut produire qu’un seul résultat (26). |
La table qu'on trouve à la fin de l’Arithmétique peut faciliter cette opération.
Ce procédé donne aussi le plus grand commun diviseur de deux nombres ; car en décomposant ces nombres en leurs facteurs premiers, ce diviseur est le produit de tous ceux de ces facteurs qui sont communs, chacun avec le plus petit exposant dont il se trouve affecté dans l’un et l’autre. Ainsi
B12— 2% X 8 X 13, 132 — 9 K 8 SK 11:
le plus grand commun diviseur est 2° X 3 — 12, comme p. 26. 28. Il arrive quelquefois que les essais qu’on tente ne réussissent point, et qu’on ne trouve aucun diviseur exact, soit du nombre proposé, soit de l’un des quotients auxquels on est conduit ; alors ce nombre, ou ce quotient, est premier, et on ne peut en opérer la décomposition en facteurs. Mais on doit remarquer que ces tentatives inutiles de division ne doivent être poussées que jusqu’à la racine carrée du nombre qu’on veut diviser. En effet, puisque ce nombre est le produit de sa racine par elle-même, et qu'on ne peut faire croître l’un des facteurs sans que l’autre décroisse, pour que le produit reste le même (13), on voit que si ce dividende a l’un de ses facteurs plus grand que la racine, l’autre facteur doit être moindre ; en sorte qu'un nombre ne peut être divisible par une quantité qui surpasse sa racinecarrée, à moins qu'il ne le soit aussi par une quan-
* Soient «, 8, y... les nombres de fois qu'on a pu diviser un nombre N par les nom-
res premiers &@, b,c....;on a N — a x 5° X ce! X ... NN n'est divisible (n° 25) que par les divers termes du produit
(1+ a+ ha, X (1-04 02+ 065... + b°) X (1+e+e +. + e?) or. 2 le nombre des termes du produit, ou la quotité des diviseurs de N, est
ia) (18) (147).
tité moindre que cette racine. Or, quoiqu’on n'ait essayé que des diviseurs premiers, on est sûr que d'autres nombres non premiers ne pourraient diviser (n° 25, 4°) ; ainsi l’on a par là reconnu qu'il n'existe pas de diviseur moindre que la racine du dividende : il n’y en à donc pas non plus qui surpasse cette racine.
Par exemple, 127 n’est divisible ni par2, 3, 5,7, ni 11, à plus forte raison par 4,6, 8, 9 et 10; et comme p/ 127estentre 11 et 12, on est assuré que 127 est un nombre premier.
1524 est divisible par 8 et 4, et on a 1524 = 2° X 3 X 127 : on voit ensuite que 5, 7,11, ne divisent pas 127. Sans pousser plus loin les tentatives, on reconnaît que 127 est premier, et la décomposition de 1524 est terminée.
29. Cherchons maintenant tous les diviseurs d’un nombre donné. On le décomposera en facteurs premiers, et l’on sait (n° 27) que si Von affecte quelques-uns de ces facteurs d’un exposant quelconque, égal au plus à ceux dont ils sont affectés dans le nombre proposé, on aura un diviseur de ce nombre; et qu’il faut effectuer toutes les combinaisons possibles de cette espèce pour être assuré de n’avoir omis aucun diviseur, Voici un moyen de n’oublier aucune de ces combinaisons : reprenons l’équation 360 — 25 X 3° X 5; avec 2: on formera la suite 1, 2, 2°, 25; avec 3° on formera 1, 3, 3; enfin, 5 donnera 1, 5. D'abord chacun de ces termes est diviseur de 360 : en outre si l’on multiplie tous les nombres de la première suite par tous ceux de la deuxième}et le résultat par tous ceux de la troisième, on aura visiblement toutes les combinaisons ; on sera donc assuré d’avoir tous les diviseurs cherchés, qui sont
Pour 210 — 2 X 3 X 5 X 7, on formera le RER de let2, par let 3, par 1 et 5, et par let 7; et on aura
Pour 675 = 33. 5°, formez (1 +3 + 9227) X(1+ 5495),
d'où
30. Puisque le plus grand commun diviseur de deux nombres doit diviser tous les restes donnés par l'opération indiquée, cher-
chons les quotients successifs de ces divisions. Reprenons l'exemple de 2961 et 799, p. 27 ; etcher-
chons combien #7 est contenu 2961 , 799 ne de fois dans la série des divi- { [+ fe + 2 seurs. Il est d’abord visible 65 17 12 5 2 1
qu'il est 1 fois dans 47, et 2 fois
dans 94; on posera 1 sous 47 et 2 sous 94. On a 235—2 X 9447, 235 94 47 | TRE
d’où DT = DIN 77 + 77 —? X 2 1,ou5, qu’on écrira
sous 235. Ce chiffre 5 a été obtenu en multipliant entre eux les deux
chiffres écrits sous 94, et ajoutant au produit le 1 qui est à droite
dans la dernière ligne. De même, pour obtenir le quotient de 564 ee
par 47, on a 564 — 2 X 235 94, d'où ———2X5+2—12, qu'on posera sous 564. On continuera à RE entre eux les deux chiffres écrits sous 564, et à ajouter le chiffre à droite. Voici la série des calculs à partir du chiffre 5: 2 X Top + = SOIEX 0 F2 NT, 1 X 12 +76 = 17,7 3" X 171-119 =",
Ce calcul, auquel nous trouverons par la suite (n° 595) une grande utilité, peut ici nous servir à composer deux nombres pour lesquels on donne le commun diviseur, le nombre de divisions nécessaires pour le trouver, et les quotients successifs. Après avoir écrit ces quotients formant la deuxième ligne, on en déduira la troisième ligne par le calcul ci-dessus ; enfin, prenant les deux plus grands résultats, on les multipliera par le facteur commun proposé.
Voici encore deux exemples, l’un pour 115 et 69, dont le commun diviseur est 23 qu'ils contiennent 5 et 3 fois ; l’autre pour 8085 et 910, qui contiennent 617 et 182 fois le diviseur 5.
115 je 46,25 5085 pee, ne LA
