X RS

Si B° — }4A4C — m est négatif, le radical est <°4<+ C; les deux valeurs de 7° sont, ou positives, et on a une ellipse ; ou négatives, et on n’a rien, ou enfin nulles, O0 = 0, eton a un point À. Quand = est positif, on a une hyperbole ; les valeurs de r? sont de signes contraires ; on change le — en + pour avoir le 2° axe. Cependant lorsque O— 0, on a les deux droites AK, AK’. Ce calcul n’est plus possible quand B?— 44C = 0.

Soit, par ex., l’équ. y? — 2ry + 2r—=2; d'où «= :, etc. M—:+y 5; DI—:, 41—=Y À,etle cercle XAK donne les directions 4K, AX° des deux axes. Enfin r° = 8 + J/ 5 sont les longueurs de ces axes, rayons des deux cercles tangents à l’ellipse.

On pourra s'exercer encore au calcul sur l'équation

gp — Goy Lx L2y — 6x L1—= 0, déjà traitée page 416. Cette méthodé s'applique pareillement au cas où les coordonnées | font un angle ». L’équ. du cercle est alors (n° 377)

a? + y LH 2ry cos y —=7r; éliminant x et y à l’aide de l'équ. y = Mr, on a (Ar + O0) M + (Br + 2Q cos ») M + Cr + Q —0; pour que cette équation soit un carré, il faut que

(2 Br + Q cosy) — (41° + Q) (Cr + O0) = 0,

ou (B?— 4AC)r4 — 401 (4 + C — B cosy) —=40" sin y; . « (5) puis (Ar LH O)M4<Br L Ocosy—0; . . . . (6) l’équ. (5) qu’on résout à la manière du 2° degré donne #° ; on peut éliminer r° entre les équ. (5) et (6). Enfin l’équation (6) donne #, et on peut construire l’équ. y = Mx.

453. Souvent on a plutôt pour objet de connaître la nature et la forme de la courbe dont on a l’équ., que de la construire rigoureusement ; le procédé suivant a l'avantage de donner avec rapidité ces circonstances, et n’a pas, comme le précédent, l’inconvénient d'introduire des irrationnelles dans les coeflicients.

Comme il suit de ce qui précède, que les lignes comprises dans

l’équ. générale (a) p. 409 sont connues d'avance, il ne faut, pour les distinguer entre elles , que trouver un caractère propre à cha--

cune : ce caractère est tiré des limites de la courbe, qui sont trèsdifférentes dans les cas de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole. Pour obtenir ces limites, résolvons l’équ. (a) par rapport à y ; nous aurons une expression de cette forme,

y= dr LBE UV (mx Linz tp}; . + « (1)

a, B,m,n et p sont des constantes connues (voy. p. 183). Chaque valeur de x répond à deux points de la courbe, tant que le radical est réel ; s’il est imaginaire , la courbe n’a aucun point correspondant à l’abscisse dont il s’agit; enfin, si le radical est nul, on n’a

qu’un point de la courbe. Les limites sont donc relatives à l'étendue

où le radical passe de l’état réel à l'imaginaire. Comme en prenant

pour x des valeurs suffisamment grandes, positives ou négatives,

le trinome m2° + nx — p recoit le signe (139 , 9°) du plus grand

terme mx’; si »m est négatif, pour ces valeurs, le radical devient imaginaire, de sorte que la courbe est alors limitée dans les deux à sens. Elle serait illimitée, si » était positif; enfin , # nul réduirait le radical àp/ (nr p), et l'on voit que la courbe serait limitée”

seulement dans un sens, puisque le signe de nx change avec x.

shot

La nature de nos courbes dépend donc du signe de m, ce qui“ nous force encore de distinguer trois cas dans notre analyse géné-

rale, suivant que », ou B° — 440, est négatif, positif ou nul.

Mais, avant tout, remarquons que, pour construire les ordon-"

nées PM, PM (fig. 258 et 259), qui répondent à une abscisse

AP = %,il faut d'abord porter parallèlement à l’axe des y (dont lan

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ, 495 direction est donnée et quelconque) PN = «x +- 8 ; puis, pour ajouter et soustraire la partie radicale MN=—M'N =y (mx? Lnz'4p), on en portera la valeur, de part et d'autre de N, en M et en #, et N'est le milieu de WW”, Tous les points N qui satisfont à l’équ.

y = ax LB UP ton VI dire (2)

coupent donc les cordes parallèles à {y en deux parties égales; ainsi, on tracera la droite BN, qui est un Diamètre de la courbe (n° 426).

Aux points D et D’ d’intersection de la courbe avec son diamètre, lés équ, (1) et (2) ont lieu ensemble (n° 372), et ces points sont donnés par les racines de l’équ.

ma nr Lp=0 4 0 51.68)

On voit de plus que les ordonnées £D, £E"D' correspondantes sont tangentes à la courbe, puisque , le radical étant nul, la proposée est le carré des y — ax — B— 0 ; ainsi les points d'intersection sont réunis en un seul, aux points D et D’ (n° 424).

1er cas. Courbes limitées en tous sens, 1 négatif.

454. 1° Si les racines de l’équ. (3) sont réelles, en les désignant par a et b, et prenant 4E — a, AE° = b (fig. 258), on aura les tang. et les points d'intersection cherchés D, D’ : le radical de (1) prendra la forme te im (x — a)(x — b)]: il n’est réel qu'autant que les facteurs x — a, x — b sont de signes contraires, de sorte que x est compris entre a et b. La courbe ne s'étend donc qu'entre les limites £F, EF" ; elle forme un contour fermé ; c’est une Ellipse.

Remarquons que, pour obtenir Æ, Æ’, on a tiré de (3) des racines de la forme x = h +y/ f; on a donc porté AK —k, puis KE'= KE = f. Donc C est le milieu du diamètre DD’, ou le centre de l’ellipse (n° 427) : ainsi l’on obtiendra le conjugué en cherchant l’ordonnée centrale CO”, à partir du diam., c’est-à-dire la valeur que prend y/{m2°—nx + p) lorsqu'on fait + —h. La courbe étant rapportée à ses diam. conjugués, il sera facile de la décrire.

Par exemple , 3y° — 6xy —L 9x — 2y — 6x + < — 0 donne

= 4 LiHy (— 9x +Lizx—5;onprend 4B—; (fig. 258), et l’on mène le diamètre BW, dont l’équ. est y = x + =; lorsque l'angle y4x est droit, BA fait avec 4x un angle de 45°. En éga- | Jant le radical à zéro, on a # — + x =—+; d'où x =5iE;:

donc 4K = *, KE —KE"— donnent le centre C et les points D, D' d’intersection de la courbe avec le diamètre BN, De plus, EF, £'F" sont tangentes et limites, puisque le radical peut être mis sous la forme VI — 2(x — 1)(x— -)]; d'où l’on voit que y n’est réel qu'autant que x est © et < I.

En faisant x — = sous le radical, il devient p/ ? — CO"; c’est l’un des demi-diamètres conjugués ; l’autre est CD : il est donc facile de tracer la courbe (n° 431, 2°). Ontrouvey = 1 + y: pour la plus grande et la plus petite ordonnée, n° 493.

Pareillement 4° — xy + + x asie; + + = 0 donne lellipse DOD'0"' (fig. 261); 4AK—9, EK —E"K = 2, CK—1;Cest le centre. y— 0 donne 2° — 2x EL 1— 0, carré de x — 1 : donc, si l'on prend 47—1, la courbe esttang. en Zà 4x; 00 —9%b = 2, la plus grande et la plus petite ordonnée sont 2 et 0.

Ilest inutile de dire que, dans les constructions , il faut surtout avoir égard aux signes ; ainsi, pour

49 Byx + Ba? + 12x HE 8y + 1 = 0, ma y=—r—1£y/ (04;

on construit le diamètre BD (fig. 262), dont l'équation est y—=—2— 1; de # Lx—}?, ontireæ—=—:;Æ+l, on prend AK = — =,et KE — KD'— 1, ce qui donne les limites tangentes £D, E'D' de l’ellipse : Cen est le centre, et l’on trouve b'=1.

2° Si les racines de l’équation (3) sont égales, a étant leur valeur, le radical équivaut à p/ — m (x —.a}; ainsi, (1) devient y = ax LB Æ (x — a)y/— m : on ne peut donc rendre y réel qu’en prenant x = 4, d'où y — ax + 8.

Ainsi , on n’a qu'un point ; ses coordonnées sont connues.

Il est aisé de voir qu’en effet la proposée équivaut ici à (y — ax — Bÿ L(x — a) m —0; et comme la somme de deux quantités positives ne peut être nulle, à moins que chacune ne le soit en particulier, la proposée se partage d'elle-même en deux autres (n° 112). L’équ. y — xy + a — 2x + 1 — 0 donne le point dont les coordonnées sont x — 1, ety —+. L’éq.2?+y—0 donne l'origine.

3° Si les racines de l’équation (3) sont imaginaires, pour aucune valeur de x, le trinome — mx—-nx—-p ne peut changer de signe (n° 139, 9°); ce signe demeure toujours le même que celui de son

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 425

plus grand terme — m2°; j/ (— mx? EL nx + p) étant sans cesse imaginaire, la proposée ne représente rien. En effet, cette équ. revient alors à (y — ax — B) + (mx° — nx — p) = 0, dontles deux parties sont positives et ne peuvent s’entre-détruire; par conséquent il est absurde de supposer leur somme = 0, puisque la seconde ne peut être rendue nulle, comme on l’a fait précédemment.

C’est ce qui arrive pour y — 2xy + 22° — 2x + 4 —0.

Pour que m, ou B? — 440, soit négatif, il faut que les trois 1°" termes de la proposée (3), 4y° + Bxy + Cx° forment une quantité plus grande qu'un carré parfait. Dans le 1” exemple cidessus, page 423, ces termes sont

Cherchons dans quels cas l’équ. générale du 2° degré est celle d’un cercle, les coordonnées étant rectangles. Cette équ. est

Aÿ° + Bxy + Cx° + Dy + Ex LH F—= 0;

l’équ. la plus générale du cercle est (2— a) + (y —@® = 1, où

Ye 22 — 2By — Dax Le LB —r = 0.

La 1°, dégagée du coefficient 4 de y? doit être comparable terme à terme à la 2. On en tire d’abord 4 = C, B = 0 : donc quand les x et y sont à angle droit, l’équ. du 2° degré est celle d’un cercle, lorsqu’elle est privée du terme en xy et que les coefficients de x? et de y? sont égaux. Mais de plus il faut que D = — 248, E = — 244, F = A(xæ + 8 — 7), d'où l'on tire

ré ve

ce sont les coordonnées du centre et le rayon du cercle, qu’il est ainsi facile de construire. Remarquez cependant qu'il y a deux exceptions, savoir, quand le numérateur de la valeur de 7° est nul ou négatif : dans le 1% cas, on a wn point unique; dans le 2 ,iln’y a pas de courbe.

On trouve, par ex., que l’équ. 2y° + 22? — 4y — 4x + 1= 0 est celle d’un cercle dont le rayon est W +, et le centre au point (1, 1).

Lorsque les coordonnées sont obliques, on raisonne de même en partant de l’équ. (3) n° 577.

2° cas. Courbes illimitées en tous sens, .m positif.

455, Ici 4y° EL Bxy H- Cx° est moindre qu'un carré.

1° Quand les racines de l’équation (3) sont réelles, a — AE, b=— AE” (fig. 259) donnent , comme ci-dessus, les points D et D’ d’intersection de la courbe et du diamètre BW, et les tangentes £F, E'F'; puis le radical, prenant la forme p/m (x — a) (x — b), n’est réel qu’autant que # — a et x — b sont de même signe, c’est-à-dire quexest © ou <'aet b; x ne peut donc recevoir de valeurs entre a— AE et b— AE", et la courbe s'étend à l'infini de part et d’autre des limites EF, EF; ainsi, elle est une hyperbole.

Pour obtenir le diamètre conjugué de DD', comme le centre C est au milieu de DD", on fera x — AK — h sous le radical, on rendra le résultat réel (n° 429), et l’on aura ainsi D”. On tire ensuite la position des asymptotes (n° 435). Nous allons au reste donner bientôt (n° 457) un moyen plus facile de déterminer ces droites.

Soit, par ex., y — Dry — x — 9y 8x — 8 —0;onentire y=%klH y (2x — 6x + 4). On trace d’abord le diamètre BN,(y—=x<+1);21 — 6x + 4 — 0 donne x = i Æ*, et le radical devient p/2 {x — 1) (x — 2); on prend 4X — 3, EK —£"K—;<; ona les limites EF, EF’ tangentes en D et D'; et comme x est > 2 ou <° 1, on obtient l’hyperbole HW, 00’ (fig. 259). ; |

Pour trouver le diamètre conjugué de DD, on fait — 4AK—° dans W/ (2° — 6x 4), et l’on rend réel; on ab —y/ +. En prenant D'F'— D'H — }/ +, on forme le parallélogramme inscrit, dont les diagonales GÆ”, FI sont les asymptotes de notre courbe.

20 Lorsque les facteurs de mx° Æ-nx- p sont imaginaires, la courbe ne coupe pas son diamètre BN (fig. 263) : de plus, ce trinome doit toujours conserver le même signe que -- mx°, quelque valeur qu’on attribue à x (n° 139, 9°); donc chaque abscisse donne toujours des crdonnées réelles, la courbe s'étend à l'infini de part et d’autre, et elle est une hyperbole disposée comme on le voit fig. 263. |

Quant aux diamètres conjugués, le centre est sur BN qui ne coupe pas la courbe; or, si l’origine était au centre, les abscisses égales et de signe contraire (n° 425) répondraient à des ordonnées égales ; ainsi, le radical devrait être de la forme j/ (mx'? p) ; si donc on

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 427

veut transporter l'origine au centre , il faut fairez=x"<h;h étant tel, que le 2° terme de mx° + nx— p disparaisse (n° 506) ; est l’abscisse du centre ; on trouve k = — — la mème valeur que ci-devant. Ainsi, on prend 4K = h, l'ordonnée XC donne le centre C : faisant ensuite + — k dans J/ (m2° nx + p), il devient — DC— «’. Pour obtenir ?’, il faut chercher les points de rencontre de BN avec la courbe; en prenant la partie imaginaire des racines de x ax + p—0, et la rendant réelle, on a XO = KO’ pour les abscisses des extrémités Æ, £’, du diamètre conjugué prises à partir de celle du centre.

Comme les parallèles FA, GI au diamètre BN sont tangentes à la courbe en D et D’, les ordonnées O'F, IH déterminent aussi le parallélogramme inscrit, et les asymptotes ZF, GI.

Soit, par exemple, y? +- 2zy — 2y — x — 0; on entire y=—xt12Ep(a — x + 1); le diamètre BN (fig. 263) a pour équation y——x1 1; comme x — x + 1 —0 donne v=i + :y—3, la courbe ne coupe pas BN; de plus, 4° — x4-1 étant toujours positif, y est aussi toujours réel ; ainsi, on a l’hyperbole de la figure 263.

Pour trouver les diamètres conjugués, on construit , . . . .. s=i+iy8, AK — :, KO —:y 3— KO' donnent le centre GC, et le 2 diamètre Æ£"; de plus, en faisant + = = dans V (&@—x+l),;onaa =:

3° N° les racines de l’équation (3) sont égales, le radical équivaut à m (x — a), et l'équation (1) devient

y=atLBE(x — a)V/m,

savoir, y=r (Em LBEay/m;

on a donc deux droites qui se coupent au point du diamètre pour lequel x = 4, et qu'il est aisé de construire, puisqu'on a leurs équ.; on obtient un 2° point de chacune, en posant x —0,

d'oùy—8+ay m;

c’est-à-dire qu'il faut porter a p/ # sur l'axe des y au-dessus et au-

dessous du point où cet axe coupe le diamètre. Les droites menées

par ces points et par le 1er, qui leur est commun, sont celles dont il s'agit. 1

Il est clair qu’en transposant et carrant, on a (y — ax — Bÿ — m(x — a) = 0.

Ainsi, la proposée est décomposable en deux facteurs rationnels par rapport à æ et y, et du premier degré, qu’on peut égaler à zéro indépendamment l'un de lautre : c’est ce fait analytique qui explique l'existence de deux droites dans le cas présent.

Soit, par exemple , 4y? — 8xy x? EE 4y + 2v — 2 —0; on trouve y— x — + Hip (82° — 6x LS); or, 8x? — 653 —0 donne x — 1; le diamètre (fig. 264) BN, (y = x — +) est donc coupé en un seul point N pour lequel D A4 = 1 ; et comme la proposée revient à y —=% — + +<+(x — 1)}/ 3, on a deux droites. z —=0 donney=— : +1}/8; on prend BE = BE" — 11/3, et lon trace les lignes £N, E'N.

Soit proposée l’équ. y? — 2xy — 8% — 4h? = 0 ; on en tire y—=xE2p (x LE); y— 3x donne le diamètre BN (fig. 265); et l’on voit qu'il n’est pas coupé par la courbe, et qu’on a l’hyperbole MO, M'O'. Le centre est en C ; on prend CO= CO’ = 2k ; O0’ est le 1° diamètre, puis CE — CE”"—k donne le 2e, DD’, et les asymptotes ÂF, TG. À mesure que 4 décroîtra, la courbe se rapprochera du centre et des asymptotes qui ne changeront pas; k — 0 donne ces droites mêmes. Enfin, si £’ prend un signe contraire, l'hyperbole est GD’, ID tracée dans l’autre angle entre les mêmes asymptotes, et s'en éloigne à mesure que # croit.

456. Quand 4 — 0, la proposée manque du terme en y et l’on ne peut plus opérer comme n° 453 ; mais si l’on change x en y, ety en #, ce qui ne produit qu'une inversion dans les axes, on pourra appliquer nos calculs; il suffira donc d'y changer C en 4, D en E : B — 44C se réduit à B?, m est positif, et l’on a encore une hyperbole. Au reste, pour discuter l'équ. privée du terme 4y?, il est préférable de la résoudre par rapport à x, et d'opérer sur l’axe des + d’une manière analogue à ce qu’on a fait pour celui des y.

Par ex., pour l’équ. à — 2xy Æ 2x — 8y + c — 0 (fig. 266), onac—y—1l+y (y +y—c+ 1); la droite DD'(y = x +1) est diamètre, c’est-à-dire coupe en deux parties égales toutes les cordes parallèles aux x. L’équation y EE y —c — 1 donne y=—i+t y (e — D); si donc c > +, on prendra 4X = +, KE = KE = y (ce — ©), et l’on aura en D et D’ les points où l'hyperbole HD, M'D' coupe le diamètre DD", En faisant y = — =

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC, DEGRÉ. 429

dans W (y y — c + 1), et rendant réel, on a W/ (ce — 2), ce qui donne le conjugué de DD’, et lesasymptotes F'G et FH, dont la seconde est parallèle aux y.

Sic—;, on a les asymptotes mêmes ; et si ce +, on a encore une hyperbole entre les mêmes asymptotes, mais elle est tracée en HN et FN’ dansles deux autres angles. |

457. Dans l’équ. générale (1) (p. 422), le radical affecte la quan-

she nv . n° tité m ( = +2) ; ajoutant et Ôtant-— ,

pour compléter

le carré (n° 138), on a 1 RE LAS AD EAU

le radical est de la forme y/ (3° — /); en le développant par l’extraction (page 176), on verra, comme n° 416, qu’on a une suite de termes où z — 2mx H- n est au dénominateur , et qui décroissent quand x croit, le seul ie terme excepté. En négligeant donc Z, on a les équ. des asymptotes de notre hyperbole -

Vus Li; . 0 4

donc, après avoir résolu la proposée, complétez le carré sous le radical

où vous négligerez les termes constants, el vous aurez les équations des asymptotes.

Il est facile de construire ces équ. ; les droites se croisent au

ñn an oint {[——, B — — ui est le centre, et l’on a un 2e point P ( Im° P a) 1 $ P 4 en faisant + — 0, ce qui donne les ordonnées à l’origine B + n°

on portera sur l’axe des y, en dessus et en dessous du point

n 2V m de section de cet axe par le diamètre.

Dans le 1° exemple, p. 426,y—x+1Æ+y (2: — 6x%+ 4); ajoutant et Ôtant © sous le radical, il devient W/ [2 (x — ?} — ;]; négligeant 2, on a, pour équations des asymptotes (figure 259), F—x41+(2r—38)y Faisant nul, ontrouveY = 1+3y ;; il faut porter 3 p/ = de Benzet 2’; Ciet Ci’ sont les asymptotes.

Pour l’équ. page 428, on a y —x +24 (x° +- k); on néglige k&, et il vient, pour équ. des asymptotes, Y — x £2w.

La discussion de l’équ. devient très-facile qüand le terme en #’, où en 4° manque ; par exémple, Bey + Cx° 4 Dÿ + Er EF =0 donne, en résolvant , effectuant la division, et désignant par h, k, { des coefficients connus,

à Cx°LEz+E | AIRE".

PRET De 0 PARLE

Or si l’on construit la droite FC (fig. 266) dont l'équation est Bx + D = 0, cette ligne, parallèle aux y, est l’une des asymptotes nr AUS B de la courbe ; car plus x décroît vers la limite — D? et plus y augmente, devenant infini à cette limite ; ce qui montre que la courbe s'approche indéfiniment de la droite FC. D'un autre côté, en construisatit la droite F’G qui a pour équ. y = hr k, on voit qué pour obtenir les points de la courbe qui répondent à une abscissé quelconque #, on a l’ordonnée en ajoutant à celle de la droite F'G

la longueur G; °t comme plus x est grand, plus cette fraction

Bx + est petite, devenant nulle pour x infini, il est clair que la courbe s'approche de plus en plus de la droite F”G qui est la 2° asymptote.

Lorsque c’est le terme en 2? qui manque, on résout l’équ. par rapport à +, et on trouve de même les deux asyptotes, donit l’une est parallele aux %. Ainsi, quand l’équ. de la courbe est privée du terme en x? ou en y*, l’une de ses asymptotes est parallèle à celui des axes coordonnés dont le carré manque. Gette théorie ne suppose pas que les coordonnées soient rectangulaires.

Soit l’équ. à? — 2vy - 2x — 3y À 1 = 0, ona (fig. 266)

æ+92r+1, . LÉ: