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l'équ. 2x L 8 — 0 est construite en prenant 47— — À, et menant FH parallèle à Ay ; l'équ. y = + x + + appartient à la droite Æ°G; ce sont les deux asymptotes. Le reste de la construction est facile (n° 421).

De même, pour 27° + 34y — 8y — 8x LE 1 = 0,

les droites GA, FI (fig, 263), dont les équations sont 37 — 3 = 0,

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC. DEGRÉ. 451

à = 2 ? y +92, sont lés asymptotes, la première parallèlé aux x. Si l'équation est privée à la fois des deux termes en 4’ et y,

2y + Dy + Ex LF—=0,0ona

les deux asymptotes sont parallèles aux axes, et ont pour équation y= — Ë, x = — D. On pourrait discuter l'équation en transportant l'origine au centre , car l’hyperbole serait alors rapportée aux asymptotes prises pour axes (n° 425), l'équation prenant la forme Ty = NN.

3° cas. Courbes illimitées d’un seul côté, m — 0.

458. Lorsque »m — 0, ou B° —- 440 —0, les trois 1° termes de la proposée, ou 4ÿ + Bxy L Cx’, forment un carré (n° 138) : le radical de l’équ. (1) p. 422 se réduit à /{nx —- p). Après avoir tracé (fig. 248) le diamètre BI (y — «x — 8), on trouve son point D d’intersection avec la courbe et sà tangente £F, en faisant nx — p —0. Soit. — a — la racine 4E de cette équ., le radical devient p/ n (x — a), et n’est réel que quand n et x — a sont de même signé; donc x est > a, et la courbe est située comme M'DM lorsque n est positif; si » est négatif, æ est € a, et l'ona ODM'. La courbe qui s'étend à l’infini d’un seul côté est donc une . parabole.

On peut aisément en déduire le paramètre de ce diamètre, à l’aide d'un seul point de la courbe, et soumettre la courbe à une description rigoureuse (n° 438).

Soit l'équation y? — xy + + 2° — dy — x L5—0;on en tire y =2 x 1ÆEy (2x — 4); on prend 4£ — 2 (fig. 218), EF est limite, 4B = 1, DE — 2 ; la courbe est située comme W'DM.

Pour 4° — y + + x° — 2y + 3x — 8 — 0, on obtient le même diamètre ; et comme le rädical est p/ (— 2x —L 4), on a la courbe ODY'.

Sim ét n sont nuls à la fois, l’équ. devient y = ax . FE En à + V p.

* 1°Si p est positif, on a 2 droîtes parallèles, qu’on trace èn portant ÿ pen BD et BD’ sur l'axe des y (fig. 267), de part et d’autre du | point B où le diam, BN rencontre cet axe. (y + x) — Qy — 2x = 1

donney= — # X1Æ 2; on prend 4B = AN — 1, BN est le diamètre ; puis BD = BD'=y/ 2 — BN; et l'on mène DE, D'E’ parallèles à BN.

2° Si p est nul, y—= ax + B; on n’a qu’une droite : telle est l’'équ. (y + x) — 2y — 2x + 1 — 0, représentée par BN (fig. 267).

3° Si p est négatif, l'imaginaire subsiste toujours, et 2 n’y a pas de ligne. Telle est l’équ. (y + x) — 2y — 2x +2 — 0.

En un mot, (y + x) — 2y — 2x + 1 — k donne

Y—=—<X + —.- V k: # on prend 4B — AN — 1, et l’on trace BN, puis BD = D'B=Y k. Or, plus 4 diminue, plus les parallèles se rapprochent du diamètre BK, avec lequelelles se confondent enfin lorsque 4 — 0 ; si k est négatif, l’'équ. ne représente plus rien.

Quelque point G qu’on prenne sur BN (fig. 267), il doit couper au milieu la partie ZM d’une droite quelconque ; BN est le lieu d’une infinité de centres (n° 425).

Quand » et n sont nuls ensemble , la proposée rev ient À {y — ax — B) — p— 0: 1° quand p est positif, elle est le produit de y— at —B + pp par y — ax — B — V p, où x a même coefficient ; on y satisfait donc en égalant à zéro l’un indépendamment de l’autre ; 2° si p est nul, la proposée est le carré de y — ax — B, nos deux facteurs sont égaux ; 8° enfin, si p est négatif, on veut rendre nulle la somme de deux quantités positives, dont l’une + p ne peut être zéro, et l’équ. est absurde. Telles sont les. causes qui expliquent l'existence de nos trois cas pr