Il résulte de toute cette analyse que

I. Sim, ou B? — 440, est négatif, 4y° + Byx + Ce est plus | grand qu'un carré, C doit être Abe la courbe est fermée; elle est | une ellipse, ou un cercle, ou un point, ou rien. |

IT. Si», ou B° — 440, est positif, 4y° L Bry + Cx° est moin-. dre qu’un carré; la courbe est formée de deux parties illimitées; elle est une hyperbole, ou deux droites qui se croisent. On est dans ce cas, si C'est négatif, ou s’il manque +° ou y”, xy restant.

IT. Sim, ou B° — 44C — 0, 4y° + Bxy + Cx° est un carré, la courbe s’étend à linfini d’un seul côté; elle est wne parabole," une droite, deux parallèles ou rien : quand y manque , avec un des carrés +° ou y”, on tombe dans ce cas.

. 460. On peut composer à volonté une équ. du 2° degré, qui ren-

+ nt mt à on. dire dr er correct

DISCUSS. DES ÉQU. DU SEC, DEGRÉ. 455

tre dans celle qu'on voudra de ces circonstances. Il suflira de recourir à l'équation (1) p. 422, et d'y déterminer arbitrairement les constantes æ, B, m,.... ayant soin de composer le radical de sorte qu’il satisfasse aux conditions requises ; ainsi # sera négatif pour une ellipse, et 2° nx LL p — 0 aura ses racines réelles : » sera positif pour une hyperbole , et suivant que l’équ. précédente à ses racines réelles ou imaginaires, cette courbe coupera ou ne coupera pas son diamètre, etc. On peut enfin se donner des conditions qui déterminent toutes les constantes 4, B.... Voici un ex. de ce calcul:

L'hyperbole ponctuée (fig. 265) a l’origine C au centre, le diamètre BN fait avec les + un angle de 45°; CE — 1 donne G/Æ'tangente et limite de la courbe ; enfin le diamètre conjugué est CO = y 2 : trouver l'équation de cette hyperbole? Elle est visiblement y—=x EY m (x — 1), et il reste à déterminer m. Mais x = 0 donne le radical imaginaire; et changeant le — en -, il faut qu'il soit W/ 2; donc / m —Yy 2, et y? — 2ry — à — — 2 est l’équ. demandée.

Si l’on veut que l’équ. soit celle d’un point, une ou deux droites, ou rien, on peut opérer de même; mais il est plus simple de se conduire comme il suit :

L et M étant de la forme ky + x + g, on a

1° Pour un point, L? M°— 0 (p. 424) ;

20 Pour une droite, L—= 0 (p. 432);

3° Pour deux droites, LM = 0 (p. 426) ; et si l’on veut que ces lignes soient parallèles, le rapport des constantes 4 et / doit être le même dans Z et M (p. 431) ;

4° Pour que l'équation ne représente rien, W doit être un nombre positif quelconque dans Z° + M° + N = 0 (p. 425).

461. Après avoir discuté l'équ. (1), les coordonnées étant rectangulaires, on peut se proposer de Ia construire exactement, sans recourir à la théorie (n° 439), mais en rapportant la courbe à un système de diamètres. Prenons pour axes des +’ une parallèle au diamètre y = ax —- B, sans changer l'origine, ni “, des y.

Comme tang (2x) — «, on a cos (xx) — TES

sin (x2’)—= ak, (ry) — 90”, et les équations B A 3063) deviennent x — ha, y = «hr + y; la transformée de (1) est

ÿ =BEYV (mk 2° + nkx À p).

MATHÉM, PURES, T, 1, 28

1° Si la courbe a un centre, por tons-y l'origine; et l’équ, étant ainsi rapportée à des diamètres conjugués, recevra la forme (n° 427) y=V/(Q + Cx°) : il suffit donc de chasser les termes 8 et nkv.

n Posons y— yL8, x — 2" — ——; ces 2% termes sont les 2 2km et y du centre, et l’on trouve

doter Pr Rings Telle est l'équ. de la courbe proposée, réduite à ses diamètres conjugués. Rien n’est donc plus facile que de construire cette ligne (n° 431, 2°).

Pour Kéquagion # y= x IE V(— 2x + 6% — 4), ona CLS DE NS nn. m=—=— 2..,.,et l’on obtient, pour ti mée, 2 + g' — +; ainsi, après avoir tracé le diamètre BK, y = 2 + 1 (fig. 258), porté l’origine au centre C, comme on l'a vu (n° 454), ; restera à décrire une ellipse, dont les demi-diamètres CO, CD, sont égaux à / =.

2° S'il n’y a pas de centre, » — 0, et le radical devient ÿ' (nkzx'— p) : chassant les termes constants B et p, l’origine sera portée au point où la courbe est coupée par son diamètre ; savoir,

Y=Y +R, x = x" — £; d’où y”? — nkx". Après avoir décrit

le diamètre y = ax + B, l'origine sera prise au point où il coupe la parabole ; l'axe des y” étant parallèle aux y, et l'axe des x” le diamètre, la courbe sera facile à tracer (n° 438).

Pour y —:54—+ 1+#y (25—4), on a (fig. 248) à — +, k =y À, DAN et DF étant les axes, on a l'équation y”? = 4x” J/ +, qui est celle de la parabole MDM'; et comme, page 431-482, on a AB=RL AE = DE x 2: