CHAPITRE V

De la Génération des Courbes.

462. I. Quelle est la courbe qui résulte de l'intersection continuelle de deux droites 4M, BM (Gg. 268) qui tournent autour de

A et B, et sont toujours à angle droit en #? Prenons les Génératrices dans une de leurs positions 4M, MB : l'origine étant au milieu € de AB, et AC = r; les lignes 4 et A/B qui passent, l’une en À (— r, 0), et l’autre en Z (r, 0), ont pour équ.

y=a(x Lr,y—=a(x—7r), . . . (1) de plus, ona a@ ln Los Dis st 24 ere In Ilm(R)

puisque ces droites sont perpend. : les valeurs de a et a’, qui ne satisfont pas à cette condition, répondent à des droites 4N et BN,

. ’ . , 1 ’ qui ne sont pas génératrices. Si l’on met — — pour a’, les équaa

tions (1), qui sont celles de toutes les droites passant en 4 et B, appartiendront à deux génératrices, dont les directions dépendront de la valeur de a qu’on voudra prendre : la coexistence de ces équ. fera que x et y seront les coordonnées CP, PM, du point de section de ces droites. En éliminant « de ces équations , + et y seront donc les coordonnées du point d’intersection de deux génératrices quelconques, puisqu'elles ne sont distinguées entre elles que par a, quin'y entrera plus.

Ainsi, l'élimination de «& et a’ entre les équations 1 et2, donne

Lots LE x + 7r TT changent (2) en y x = r°: on a un cercle dont le diamètre est 4B.

II. Si les deux génératrices 4M, MB (fig. 269) étaient assujetties à formerun angle donné ÆMB, dont la tangente fût £, l’équ. (2)

léquation de la courbe cherchée : «a —

serait remplacée par {= ——, : on aurait (22 y — r°)1 = 2ry. e placée p Cru sl Gama y En discutant (n° 450) cette équ., où 4C — CB —7r, on verra que

la courbe est un cercle dont le rayon est OB — V ( += :

CO — — donne le centre ©.

En général, an lieu de supposer la courbe décrite par un point qui se meut d’une manière déterminée, on peut la considérer comme engendrée par l'intersection continuelle de deux lignes (droites ou courbes) données, mais variables dans leurs positions ou leurs

formes, suivant une loi connue, On prendra ces génératrices dans 28*

l’une des positions convenables, et l’on aura leurs équ., telles que -

M—0, N— 0: de plus, le changement que ces deux lignes éprouvent tient à celui de deux constantes qui y entrent; mais sont assujetties, dans leurs variations, à une condition donnée P = 0. En faisant de nouveau le raisonnement ci-dessus, on prouvera que, si l'on élimine ces deux constantes entre ces trois équ., on aura pour résultat l’équ. de la courbe engendrée.

S'il y avait trois constantes variables, ontre P — 0, on devrait avoir une autre équation de condition Q — 0; il faudrait éliminer ces trois constantes entre les quatre équ. M —=0,N—0,P—0, Q = 0. Et ainsi de suite... , de manière à avoir toujours une équ. de plus qu’il n’y a de quantités à éliminer.

S'il y avait moins d'équations qu'il n’en faut, l’équation finale serait encore celle de la courbe cherchée ; mais il y aurait un ou plusieurs paramètres variables : le problème serait indéterminé, et l'on y satisferait par une série de courbes. Lorsqu'il y a autant d’équ. que de constantes, il en résulte des valeurs de x et y en nombre fini : on n’a plus que divers points; et s’il y a plus d’équ. encore, le problème est absurde. Tout ceci sera éclairci par des exemples.

III. Étant données les droites DN, Dx (fig. 270) et un point fixe A sur l’une, cherchons la courbe dont chaque point Æ est tel, que la distance MA est égale à la perpend. PAN sur Dry. Goncevons cette courbe comme engendrée par l’intersection continuelle d’une droite mobile PN, perpend. à Dx, pâr un cercle XZ, dont le centre est fixe en 4, le rayon et la droite variant d’ailleurs, de sorte que la condition donnée 4M — PN soit toujours remplie.

L'origine étant en 4, AM — x, AP —8, AD—=p,t=tang NDA; les équ. du cercle LKÆ et de la droite PN sont -

me, mb ot. Une (1)

L'équation de la droite DN, qui passe en D (— p, 0), est y = t (x + p); l'équation de condition 4 — NP devient a =t (8 + p). Lorsque l'on fait varier la droite et le cercle, « et 8 changent seuls ; il faut donc les éliminer à l’aide des équ. (1), ce qui donne

pe (1 — 6) — 2pe —Pp = 0.

1° Si 1, l'angle donné £'DA = 45, et l’équ, devient

D'ANALYSE GÉOMÉTRIQUE. 437 y = 2px + p’, qui est celle d’une parabole E'S, dont l’origine est au foyer 4, le sommet en $, 24S — 4E' — p.

2 Si < 1, l'angle NDA est <° 45°, on a une ellipse dont le centre C et les axes & et b sont tels, que

Lt EN PRE NE 1 AT r FRET LE? = TG;

Si DN est parallèle à DA, on a un cercle, ce qui résulte aussi de ce que, par la génération, PN est constant.

3° Enfin, sit > 1, ou £DA, changé en ZD4, © 450, on a une hyperbole. |

Cette propriété pourrait donner un moyen facile de tracer nos trois courbes; elles touchent toutes la droite donnée DE, DE”...., en son point de section avec 4E (n° 424).

IV. Imaginons que la ligne 4B (fig. 271) d’une longueur donnée se meuve dans l'angle BC4, de manière que ses extrémités 4 et B restent toujours sur les côtés de cet angle : trouver la courbe décrite par un point # donné sur cette ligne 4B? Soient b— AM, a — MB, AC, CB les axes coordonnés quelconques, et c le cosinus de l'angle 4CB qu’ils forment entre eux ; la courbe peut être considérée comme produite par la section continuelle des deux droites mobiles 4B, PM, dont les équ. sont y — ax + 8, x = >; d'où PM = «y + B, CP — y. Il s’agit de trouver l’'équ. de condition entre «, B et >. Or, le triangle PMB donne (D, n° 855), en faisant PB = 3, @ = 3 + PM: — 2cz. PM; d’ailleurs les parallèles AC, PM donnent bz — a X CP:doncona

bz = ay, a — 2 + (ay + 8} — 203 (ay HB).

Il reste à éliminer z, «, Bet +. Mettons y pour «y + B, nous aurons bz = ax, « = 2° + y — 2cyz; enfin, chassant 5, ab? = by L ax? — 2abcxy est l'équ. demandée, qui appartient à une ellipse (n° 454) dont C est le centre.

Lorsque l'angle 4CB est droit, tout le calcul se simplifie beaucoup : on a l’équ. by? + a°x° — ab, qui est celle de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes 24, 2b. Il en résulte un nouveau moyen très-facile de tracer une ellipse. Après avoir décrit deux lignes indéfinies Cy, Cx, à angle droit, on portera, sur une règle M'B, des parties égales aux demi-axes 4M = b, BM = a, puis on présentera cette règle sur l'angle droit yCx, de manière que les

points 4 et B soient sur les côtés de cet angle. Dans cette position, et toutes celles de même nature, le point # sera l’un dé ceux de l'ellipse ; on marquera ces divers points, et l’on tracera la courbe qui les joint. |

Si le point décrivant est situé en #' sur le prolongement de 4B, la même analyse conduit au même résultat, au signe près du terme — Dabcxy. Ainsi, en prenant BM' = a, AM —b, AB est la différence des demi-axes, au lieu d'en être la somme, et la construction demeure la même.

V. Si, du foyer F” d’une ellipse (fig. 238), on abaisse une perpendiculaire sur chaque tangente, quelle est la courbe qui passe par tous les points Z de rencontre de ces tangentes et de leurs perpendicülaires ? «y + b’xx' — a’b° est l’équ. dé la tangente au point (x”, y’) (n° 408). La droite, qui passe par le foyer (— x, 0), a pour équ. y — B (x + «); pour qu'elle soit perp. à la tangente, il. faut (n° 370) que B satisfasse à l’équation b°x'B — ay — 0 : les équ. dés génératrices sont donc à

œyy + bar =@b, bx'y= ay (x + à).

Lorsque le point de tangence varie, ces lignes changent de position avec +’ et y’; l'équ. de condition est celle qui exprime que ce point est sur l’ellipse, «y? + ba"? — a°b?. I] reste à éliminer 2’ et y’ entre nos trois équ. On tire des 1 x’ et y’, et l’on substitue dans la 8° ; on trouve f

By + a (a + a) = [y + a (e + ap.

En développant, on a

garage — PI (ed (0) = 03 or, = b— æ& — a? (n° 386) : le second terme devient donc

y° [(& + «)° + à? — a]; de sorte qu’en réunissant les termes affectés de x? — æ,ona

Le second facteur est visiblement étranger à la question, puisqu'il donne le foyer; l’autre donne le cercle circonscrit à l’ellipse ; c'est la courbe cherchée. | 1° b n'entrant pas ici, le cercle inscrit dans l’hyperbole résout la question proposée pour cette courbe (n° 397).

2° Ce cerele est commun à toutes les ellipses décrites sur le grand axe, et même au cercle qui se reproduit ainsi lui-même.

8° Comme y° +- x? = a° est indépendant de x, on trouve le même cercle en opéränt sur l’un et l’autre foyer.

VI. Pour résoudre le même problème pour la parabole (fig. 234), on verra aisément qu'il faut éliminer +’ et entre

y=pite), pn=—y(@—:p, y2=2p, Il vient 0 = (— 2xy° + 22° — pr) (p — ke ou en réduisant, æ [4y° + (2x — p}] = 0. Le 2° facteur donne le foyer; il faut le supprimer : le 1°, + — 0, donne l'axe des y ; c’est le lieu des pieds des perpend. (+, fig. 234, p. 382).

VII. La parabole NAK (fig. 272) étant donnée, trouver le lieu de tous les points 7, tels qu’en menant les deux tangentes NM et KM, l'angle qu’elles formeront soit toujours égal à un angle donné #.

Les tang. à la parabole aux points (4, y), (x”, y”), ont pour équ. (n° 404) fig. 272,

y'=pat+e), y =p@t+s) L’angle XMN, que forment entre elles ces droites (n° 370), a, pour

tang, { — Er = ESS Lorsqu'on change les points Æ et NN de con-

tact, cet ie doi rester le même ;£est constant : maisæ,Y,2";%") varient ; il faut les éliminer, et l'on a pour cela, outre les trois équ. prétédentés: 2 — 2pr, y? —= 2pr'. x et x”, tirées de celles-ci, changent les deux premières en

ÿ®—2yy + 2pr = 0, y —2yy" + 2pr = 0.

Ainsi, des deux racines de la première de ces équ., l’une est y’, et l’autre y’; donc yy" — 2px, d'où t — Er mt : deplus, y = y EV (y — Vpr) donne y” — y — 2 fois le radical; ainsi, léqu. cherchée est g° — Pa? — pr (2 Le) — à ep = 0.

c’est celle d’une hyperbole; et comme # n'entre qu’au carré, l’une des branches est décrite par le sommet #' de l'angle obtus X'M'N, et l’autre par celui #7 de son supplément NWKX. On trouvera aisément le centre C et les axes de la courbe.

Si l'angle donné } était droit, on { = « , on aurait (n° 398) 9x + p — 0; en sorte que si de chaque point de la directrice on mène deux tangentes à la parabole, elles font toujours entre elles un angle droit.

VIII. Il arrive souvent que l’équ. même de la courbe est donnée, ou presque exprimée dans sa définition, plutôt que par sa génération : ceci mérite à peine de nous arrêter. En voici un exemple : Quelle est la courbe dont chaque ordonnée est la moyenne proportionnelle entre celles de deux droites données, correspondant à la même abscisse? Il est clair que y = ax LD, y—=ax + D étant les équ. des droites données, celle de la courbe est

= (ax + b) (ax +), où y — aux? — x (ab + ab) = bb’.

1° Si l’une des droites est parallèle aux x, «& — 0 donne g = ab'x + bb', qui appartient à une parabole qu'on décrira aisément, Quand a — 0, y — bb’ donne deux droites parallèles, une droite ou rien, suivant les grandeurs et les signes de b et D’. Lorsqu’on fait abstraction du signe des ordonnées des droites, outre notre parabole, on en a encore une deuxième égale et opposée, et qui a même sommet.

2 Si a et a’ sont de signes contraires, on a une ellipse ; lorsque aa — — 1, les lignes données sont perpend., et l’on a un cercle (on à aussi un point, ou rien).

8° Enfin, si a et a’ sont de même signe, on a une hyperbole : quand & — a’, l’une des asymptotes est parallèle aux droites données, d’où l’on peut conclure lautre (n° 450 et 457). On peut aussi avoir deux droites qui se croisent.

Dans ces deux derniers cas, en faisant abstraction des signes des ordonnées , on a à la fois l’ellipse et l’hyperbole décrites sur les mêmes axes, comme fig. 247.

On pourrait varier beaucoup ces problèmes. M. Puissant en a mis plusieurs dans son Recueil de diverses propositions de Géométrie. En voici quelques autres :

IX. Deux angles de 45°, BAC, BDU (fig. 272) étant donnés de position, les faire tourner autour de leurs sommets fixes 4 et D, de sorte que deux côtés 4B, BD se coupent toujours sur BE parallèle à AD. Quelle est la courbe décrite par le point C d’intersection des deux autres côtés 4C, DC?

On peut prendre les angles mobiles quelconques, ainsi que la droite B£.

X. Soit un point # (fig. 274) tel, que ses distances 4M, BM, à deux points fixes 4 et B , soient entre elles dans un rapport donné; quelle est la courbe dont tous les points jouissent de cette propriété ?

En quel lieu de cette courbe 4 sera-t-elle tangente? Comment déterminer le point 7, tels que les distances M4, MB, MD à trois points fixes 4, B et D aient entre elles des rapports connus?

XI. Un cercle et une droite étant donnés, trouver le lieu de tous les centres des cercles tangents à l’un et à l’autre.

Le mème problème pour deux cercles donnés.

XII. Les côtés d’un angle droit glissent sur une ellipse ou une hyperbole, à laquelle ils demeurent sans cesse tangents ; quelle est la courbe décrite par le sommet (fig. 272) ?

On peut prendre aussi l'angle quelconque, comme au problème VII.

XIII. Deux droites 4F, CD (fig. 220) tournent autour des extrémités 4 et C de la base d’un triangle donné ABC ; trouver le lieu BE de tous leurs points G d’intersection, en supposant que Det F

sont, dans leur mouvement , à la même distance de la base (voyez n° 376, VIII).

Problèmes qui passent le second degré.

463. Nous avons construit page 314, les racines des équations du 2° degré. L'exemple suivant montre ce qu'il faut faire lorsqu'on est conduit par la résolution d’un problème déterminé à une équ. où l'inconnue est élevée au delà du 2° degré. Soit

œ4 — pq? + pre + pm = 0.

Si l’on fait 2° = py, on a y — qy + rx + m° = 0; la proposée provenant de l'élimination de y entre celles-ci, si l’on construit les sections coniques qui s’y rapportent, les abscisses des points d’intersection seront les racines cherchées : ce sont ici deux paraboles, La proposée aura ses quatre racines réelles, quand les deux courbes se couperont en quatre points : il n'y aura que deux points d’intersection s’il n’y a que deux racines réelles : elles seront toutes quatre

imaginaires, s'il n’y à aucun point commun entre les courbes, Au cas qu’il y eût quelques racines égales , les deux courbes : se toucheraient, ete. -

Mais comme l’une des deux courbes est arbitraire , il convient toujours de préférer le cercle comme plus aisé à décrire. Après avoir tracé les deux axes rectangulaires 4x, Ay (fig. 275), on décrira l’hyperbole xy = pm entre ses asymptotes ; éliminant pm, la proposée devient l’équ. d'un cercle facile à décrire,

r1 æ? = y [1 = pq.

Prenez 4C — mn ; du centre C, avec le rayon V/( Li pe),

me)

tracez un Pc RATE sérà coupée en des points M, M”, N, N', dont les abscisses 4P, AP, 4Q, A4Q', seront les 4 racines x. cherchées ; deux sont positives dans la fig., les deux autres négatives. Il pourrait n’y avoir aucun point d'intersection, ou seulement deux.

De même, pour æ4 — px? EL p’qx + pr — 0, on prendra 2 = py; d'où y? — py + gx + pr = 0; ajoutant x? — py = 0, il vient

pa — Dpy + gr +pr=0, = py,

équ. d’un cercle et d’une parabole faciles à décrire. Pour 2 E «x — aq — 0, multipliez par x; faites à? = ay; d’où y Æ ay — gx —= 0; ajoutez la précédente, il vient

pag, où y°—+ a = 2ay gr, suivant que la proposée contient 4 a? on — &?. On construit le cercle que cette équ. représente; les abscisses des points communs « avec la parabole, x? — ay, sont les racines cherchées; x = 0 répond à la racine introduite.

Pour x? — 8a°x — 24, le même calcul donne

= ay, y + à = hay + 2ar.

Soit décrite la parabole HA (fig. 276) dont le paramètre est a, et le cercle C4M, dont le centre est C (a, 2a), etlerayon 4C—=ay/ 8;

le point # d'intersection à pour abscisse x = AP ; c'est la seule. racine réelle.

On peut, par cette construction, obtenir la valeur de V4 UE

Étant données déux droites & et b, trouver entre elles deux moÿennes proportionnelles # et y, a : x : y : b. Puisque 2° = ày, y” —= bx, en construisant deux paraboles, dont a et b soient les paramètres, qui aient l’origine pour sommet commun, et dont les axes respectifs soient ceux des y et des x; on aura, pour äbscisse > et l’ordonnée y de leur point commun, les lignes demandées.

Mais les constructions sont plus simples en employant le cercle au lieu de l’une des deux paraboles. Ajoutons nos équations, il vient 2° y? — ay — bx — 0, et l’on retombe sur la fig. 276, où BC = + a, AB — © b.

Lorsque b — 2a, on a x? — 24°; ce qui résout le célèbre pro-

x . . . . nm blème de /a duplication du cube. Si l’on fait b — — 4, comme on

3 m 3 0 3 . . 1 a &° —— à : on peut donc aussi former un cube z°, qui soit à un n

cube donné @, :: mn.

En général, ces constructions peuvent être variées de bien des manières ; car, puisqu'elles dépendent de deux courbes dont on a les équ., en multipliant ces équ. par des indéterminées et les ajoutant, on obtient différentes courbes PRAREeE à la résolution du pro- Mmé.

464. Au reste, il peut arriver qu'une question proposée comme déterminée ne le soit pas (voy. n° 376, Il), ou même qu’on puisse en faciliter la solution, lorsqu'elle est déterminée, en la faisant dépendre d’une autre question qui ne le soit pas. L'analyse indique d’elle-même ces modifications ; c'est ce qui va être éclairci par les questions suivantes.

I. Étant donnés deux points 4 et B (fig. 277), trouver un 3° point , tel, qu'en menant 4M et MB, l'angle MAB soit la moitié de MBA. pion AB — m; les équations-de 4M, MB sont y—=at,y—=— «à (x — m), Pere étant en À : or, a et a’ sont des tangentes d’angles doubles l’un dé l’autre; donc. .

2a TE » . 4 .

Le (L, 359). Éliminons a et a’ entre ces trois équations,

et faisons abstraction de y — 0, qui n’apprend rien; il vient

> — 82° + 2mx = 0.

On voit que la question est indéterminée , et qu’on y satisfait en prenant pour #7 chaque point de l’hyperbole que nous allons construire, Faisons 4C— CD == m — + AB; C sera le centre, 4 et D les sommets; les asymptotes CG, CH, font avec AB un angle égal aux deux tiers d’un droit, }/ 8 en étant la tangente (n° 852); cette courbe MD sera celle dont il s’agit.

Si l’on veut partager un arc de cercle 4£EB, ou un angle 4XB, en trois parties égales, on prendra le tiers 4C de sa corde 4B ; construisant l’hyperbole ci-dessus, l'intersection avec l’arc donnera (n° 212) le tiers £B de l'arc, ou le tiers E XB de l'angle. |

Pour résoudre le problème de /a trisection de l'angle, nous l’avons d’abord présenté sous une forme indéterminée, et même plus générale, puisque nous aurions pu de même trouver le point d’un arc d’ellipse Z£B, ou de toute autre courbe, qui remplit une condition analogue.

IT. Mener une droite DD”, y — ax + b (fig. 278), de manière que la somme des perpend. MD, M'D', abaissées de deux points: donnés # et M, soit égale à une longueur connue — mn. Il s’agit de déterminer a et b par la condition MD + MD' = m.

La distance du point M (x, y) à cette ligne (n° 374) est ax — y + b VU a) (a — y +5) La —yÿ +=my (4e) : (D) Cette équ. ne pouvant faire connaître que a ou b, le problème est

indéterminé ; si l’on met y — ax pour b dans (1),on a

y—i (y +y=ale—i(+e)]+inp (+); c’est l'équation de la droite cherchée. Transportons l’origine au

milieu de MW’, en C[£ (x x”), (y +y')],ona y= ar LE mp a)s ee, Ju, 1(0)

La direction de la droite est restée arbitraire ; seulement on voit que lorsqu'on à choisi «a à volonté, l’ordonnée à l'origine est = mW/ (1—+ a); ainsi (n° 374) la distance FC— + m, ce qui fournit cette construction. Du centre C des moyennes distances aux axes,

. e". A ‘4 172 1, ; en raisonnant de même pour #' (x”, y’), on a

on décrira un cercle avec le rayon + m» : toute tangente à ce cercle satisfera seule à la condition exigée. C’est ce que rend évidente la propriété connue du trapèze MDD'M (n° 219, 4°).

Si l'on eût donné trois points, il aurait suffi d'ajouter ax” — y" +b

au 1e membre de (1) : en général pour # points, il faudrait remplacer » dans (2) par —. Donc la somme des perpendiculaires

menées de » points sur la droite DD’ est — m, quand DD' est tangent au cercle FC décrit du centre des moyennes distances avec un rayon FC= la n° partie de m.

TI. Étant données deux droites 4P, AD (fig. 279), cherchons un point Æ, tel que les perpend. MP, MD soient entre elles dans un rapport donné= n : m. Prenons 4P pour axe des x, 4 pour origine; AP = x, PM = y; enfin y = ax pour l'équation de 4D.

La perp. (n° 374) MD — VU a) — —— par condition ; d’où anx'

A J n=my (La) Donc, tous les points d’une droite 4M passant en 4, satisfont à la question. Prenons des parties 4C— m, AB — n , sur les perpendiculaires aux droites données , et menons des parallèles BM, CH, à ces droites ; # sera l’un des points de la ligne cherchée, puisqu'il satisfait à la condition : cette ligne est donc 4M.

Si l’on voulait obtenir sur la courbe AN Îles points M et NW, qui jouissent de la propriété assignée, il faudrait construire la droite AM, et prendre ses points d’intersection # et N avec la courbe.

Le point # pourra être situé au-dessous de 4D ; alorsp/ (1 ls a?) ayant un signe contraire, il faudra prendre 4C’ = m en sens opposé de AC, et la section de BM avec C'I.

IV. D'un point Æ (fig. 280) menons deux tang. XM, KN à l'ellipse donnée CMN, et la corde ÆZN qui joint les points de contact. Si l’on fait parcourir au point À une droite quelconque 4B donnée, les points M, N varieront ainsi que MN ; on demande la courbe qui est le lieu des intersections successives de ces cordes HN.

Menons, par le centre C, CD parallèle à 4B, et CA diamètre conjugué de Cy ; prenons ces lignes pour axes. En partant de l’équ. de la tang. à l'ellipse, et exprimant qu'elle passe par un point donné K (x, B), on a prouve (413) qu’il y a deux tang., et que la corde MAN, qui jointles points de contact, a pour équ. «By + b'ax = «b?. Si l’on place le point Æ en B, l’'équ. de la nouvelle corde mn sera la même en changeant B en £’. Le point de section de ces cordes se trouve en éliminant # et y entre leurs équations. En les retran-

chant, il vient @y (8 — 8°) =0, ou y = 0, Ilest donc prouvé que le

point de section est sur l’axe des x, et cela, quels que soient 8, L'; d’où

résulte que toutes ces cordes se coupent en un seul point. La même

propriété a lieu pour l’hyperbole et la parabole (voy. n°s 407 , 413). 465. Les principes exposés précédemment suffisent quelquefois

pour discuter les équ. de degrés supérieurs en z et y. Par ex.,

ÿ — a$ (a — b) x? + abx — 0,

d’où y=EV x (x —a)(x +b); la courbe (fig. 288) est symétrique des deux côtés de l’axe des y, qu’elle coupe aux trois points 4, C et B, pour lesquels x = 0,

a et —'b. On ne peut prendre x positif <a; mais æ peut croitre indéfiniment au delà ; ainsi la courbe s'ouvre à l'infini et ne s’étend pas entre 4 et C. Dans le sens des x négatifs, elle forme une feuille entre À et B, et ne dépasse pas B.

Si a —=0,y— + y (x + b), l'espace 4C est nul, et la double branche infinie a son point C soudé en 4. Si b — 0, y—= + x (x — a), la feuille 4B se réduit à un point 4, isolé de la branche infinie CH.

e ED . \ 1 Soit encore l'équation y —x°y° = 1, d’où y = +

V (A — +) DE 2 AE Pt la courbe est symétrique par rapport aux æ et aux y, et si l’on plie la fig. selon lun ou l’autre de ces axes, les parties coïncident; x est <7 1, et comme x = Æ 1 donne y —< , deux parallèles aux y menées des deux côtés de cet axe à la dis-

tance 1, sont asymptotes de la courbe qui est entièrement renfermée «

entre elles. Enfin x <°Æ 1 ; ainsi la courbe est composée de deux branches infinies et opposées, séparées par un intervalle, comme dans la fig. 263, excepté qu’elles sont rénfermées entre deux parallèles aux y, et > + 1.

Enfin l’équ. 292 y# — y — a — ay +az= 0, équivaut à (a? + y — I] ES 0,

en égalant chaque facteur séparément à zéro, on trouve que la

courbe est formée du système d’un cercle BCP (fig. 2838) dont le rayon est 1 et le centre à l'origine C ; et d’une parabole Z4W", Les s

choses se passent ici comme n° 460, &°,