INTERPOLATION

De quelques autres Courbes.

466. Lorsqu'on donne divers points F, G, M, Z.... (fig. 211), il y a une infinité de courbes qui les unissent ; cependant, parmi celles qu’on peut choisir, il en est une qu’on préfère, comme étant plus simple que les autres ; c'est celle dont l'équation est y = À + Bx + Cx? 4 etc., et qu'on nomme Parabole, par analogie avec la courbe que nous connaissons sous ce nom. Après avoir tracé deux axes 4x, Ay, et marqué les coordonnées 4D, DF, AC, CG.... des points connus, on comprendra dans l'équ. autant de termes qu'il y a de ces points, et il s’agira d'en déterminer les coefficients 4, B, .... par les conditions données, savoir, que Lx= AD — a donney= DF = a; d'où a = 4 + Ba + Ce +... 2° de même, x —8 donne y —b; b — 4 + BB 4 CB +...., en ainsi des autres points. Il faudra ensuite éliminer les inconnues A, B, C,.... afin d'en obtenir les valeurs.

Le calcul peut être présenté d’une manière simple et générale; car, puisque # = « doit donner y — a, la valeur de y est de la forme de y — Aa KX, À et K étant composés de manière que

œ = arende 4 = 1; et À — 0 : ainsi (ne 500), AK —(x — x) K.

! De plus, quand z — B, on a y — b; donc on a en général y= Bb + L, L étant —{(x — 8) L'; de sorte que, pour allier ces deux conditions,

z — L . TL ' K& , 1, JE ptet, Bb He a (rs — 08) Nr;

A'et B' étant = 1, lorsqu'on fait respectivement + — «, ou — £. En continuant le même raisonnement, on verra que

y = Aa+ Bb Ce + etc.,

__(z — BP) (x — 9) (x — d). .

mn IG D (a — >) (x —.d). . .?

pts ce — 9) (2 — dh w.

es à NE diet

en prenant pour chaque coefhcient une fraction ayant autant de facteurs moins 1, qu’il y a de points donnés. On obtient ainsi l’équ. approchée d’une courbe donnée, mais

tracée au hasard ; il suffit d’y distinguer un nombre suffisant de | points, pris surtout aux lieux où la courbe offre des sinuosités mar- | quées, et d’en mesurer les coordonnées «, a, B, b, ....

On pourra ainsi trouver, entre des points isolés F, G, M, Z, . .. d’autres points assujettis à la même loi; et de même, entre plusieurs quantités liées par de certains rapports, obtenir une loi qui puisse servir à faire connaître, par approximation, quelque circonstance intermédiaire. C’est en cela que consiste la méthode de l’Interpola= | tion, dont l'application est si fréquente aux phénomènes naturels | (voy. n°° 637 et 947). |

Les mêmes raisonnements servent à faire passer une courbe de | nature connue par une série de points donnés : l'équation de cette | courbe doit alors renfermer autant de constantes arbitraires qu'il ! y a de ces points, sans quoi le problème serait absurde ou indéter- | miné. Ainsi l’équ. la plus générale du cercle étant

CO cmmt es pe CA PR

on ne peut exiger que cette courbe passe par plus de twis points connus (x, a), (B, b), (>, c), et l’on aurait, pour déterminer les constantes k, k et r, les conditions

@— 1} +(e— (B — 4} + (8 — 4} ( — 4 + —h = nr.

Si le rayon r était connu, on ne pourrait plus se donner que deux points, et ainsi de suite.

En général on peut faire passer une section conique par cinq points, puisqu'il y a cinq arbitraires dans l’équ. générale du 2° degré, dégagée du coefficient du 1° terme.

467. Quelle est la courbe DM, OË (fig. 281) engendrée par l'intersection continuelle de la ligne BM, qui tourne autour de B, et d’un cercle ME OQ, dont le centre C glisse le long de AC, de manière que ce centre soit toujours sur BMW? Prenons 4x et BD pour axes. Soient 4C —«, AB = b, CM — AD — a, les équ. du cercle, et de la droite BM qui passe en B (0, — b) et C (x, 0), sont

M ras don AS

éliminant «, il vient ay = (a — y°) (y + b}, ;

CONCHOIDE, CISSOIDE, LOGARITHMIQUE. 449

Telle est l’équ. de la courbe proposée, que Nicomède a nommée Conchoïde. WU suit de sa génération qu'elle est formée de deux bran ches, l’une au-dessus, l’autre en dessous de 4x, étendues à l'infini, et dont 4x est l'asymptote; que la plus grande largeur est en DD”, lorsque la droite mobile BM est perpénd. à 4x. Si 4B est a, alors il y a en D'un nœud; ce nœud s'évanouit, et ne laisse qu’un point de rebroussement, lorsque 4B = a (voy. fig. 282).

468. Le cercle AFB (fig. 283) et sa tang. BD sont fixes ; la droite AD tourne en 4, et AM est toujours pris — FD : quelle est la courbe des points #7? Elle résulte de la section continuelle de AD ; par un 2° cercle, dont le centre est en 4, et dont le rayon Æ variable est sans cesse — FD. Les équ. de nos deux cercles, l’origine étant en À, sont à + y — R°, y = 2ax — x° ; celle de 4D est y — Ax; À et À varient, et l’on a An À FD, ou AP = EB.

2a 4° Or, on trouve (n° 372, 354) AE = —— ï . Ti 1 EB — TE R Mg De PT ARSREULEURNANNE OBS TVA RP NT DA

c’est l’équ. de condition.

Éliminant R et.4, à l’aide de #° y R, y — Az, on a l'éqn. cherchée CET. æ° a+ x — 2ay; d'où y — ge Il résulte de cette équ. que, 1° x ne peut être > 2a, ni négatif: . ainsi la courbe est renfermée entre 4y et BD ; 2° elle estsymétrique de part et d'autre de 4B ; 8° elle passe par l’origine 4 (où elle a un rebroussement) ; #° x — a donne y — + a : les points ZZ et A’, où la courbe coupe la circonf. directrice, partagent celle-ci en ses quatre quadrans ; 5° x — 2a donne y — « : BD est asymptote. Cette courbe est nommée Cissoïde de Dioclès.

469. La courbe OBM (fig. 284), dont les abscisses 4£, AP.... sont les logarithmes des ordonnées correspondantes £F, MP. est nommée Logarithmique : son équ. est x — log y, ou y = a", a étant la base (n° 145). IL est facile de voir que, 1° la courbe n’a qu’une seule branche, qui est infinie à droite et à gauche; 2° l’ordonnée 4B à l’origine est = 1; 8° soit 4£ — 1 — AB, on a EF = a=— la base ; 4 si a est > 1, la partie BM de la courbe qui est dans la région des x positifs, s’écarte sans cesse de 4x (le con- MATHÉM, PURES, T, 1, 29

traire a lieu lorsque a < 1); l'autre partie FO s'approche de 40 ; QAx est l'asymptote. 5° Si l’on prend des abscisses successives en progression par différence, les ordonnées correspondantes formeront une progression par quotient.

Les différentes espèces de logarithmiques sont distinguées entre elles par la base a. |

470. Formons la courbe des sinus (fig. 289) : l'équ. est y — sin x. Chaque abscisse x est le développement d'un arc de cercle dont l’ordonnée y est le sinus, le rayon étant r. Si l'arc est 0, 7r, 27r, .…. le sinus est nul : à partir de l'origine 4, et de part et d'autre, on'prend 4AB= BC—= AB" Fr, les points 4B}BS"C, C’.... sont ceux 6ù la courbe coupe l'axe des x. L’arc croissant depuis zéro jusqu’à + 7r — 4£, le sinus croît aussi jusqu’à £F—r; mais # continuant de croître, y diminue ; la portion 4FB de courbe est symétrique par rapport à FÆ, Lorsque æ passe 4B — 7r, le sinus devient négatif; et comme il reprend les mêmes valeurs, on

a une autre partie de courbe BC égale à la première. Le cours se continue ainsi à l'infini. Ces courbes ne diffèrent entre elles que par le rayon r.

471. Un point Æ (fig. 285) se meut le long de CH, en même temps que CA tourne en €; quand ce rayon mobile était couché sur CA, M était en À; et l’on exige que 4C soit toujours à 4P, comme le quadrans ac est à l'arc décrit ab. On demande quelle est la courbe 4MDB décrite par 4? Elle est produite par l’intersection continuelle du rayon CMet de PM perpend. à C4. Cétant l'origine, soient 4C— a, ab —= 8, CP = à, les équ. de CM et PM

: + AC ac sont y — x tang 0, x — «x. Mais la condition imposée —— — — J 5% P AP ah a Et UNE Alpe nf donne = “—; éliminons « et 0, il vient a — «x 6) r(a — x y —= %& tang Es)! Ouy—+x CO Bd Ve a 2a

ILest aisé de voir, 1° que’ la courbe est symétrique de part et

d'autre de Cy; 2° que Æ x © a rend y négatif; 8° que + x — 2a. donne les asymptotes ON, O'N'; x — 0 donne y — 0 X « ; ex-"

pression singulière de l’ordonnée CD, et dont nous rechercherons plus tard la valeur (n° 786). Dinostrate, inventeur de cette courbe,

QUADRATRICE, CYCLOIDE, 451

lui a donné le nom de Quadratrice, à cause de l'utilité qu'il lui supposait pour là quadrature du cercle.

472. Si un cercle G} (fig. 290) roule sur une droite 4B, le point M, qui originairement était en contact en À, aura décrit l’arc 4M; et le nouveau point de tangence avec 4B sera en D, de sorte que AD sera le développement de l'arc de cercle MD. En continuant le mouvement du cercle, le point # tracera la courbe AMFB, qu’on nomme Cycloïde, Roulette ou Trochoïde.

Après une révolution complète, le point # se retrouvera au contact en B, qui sera un point de la courbe, 4B étant la circonférence du cercle générateur : en £, milieu de 4B, le diamètre FE — 9r de cecerele, est la plus grande ordonnée; la courbe estsymétrique de part et d'autre de l’axe FE. La cycloïde continue son cours à l'infini, en formant en 4, B... . des rebroussements.

Prenons l’origine en 4, 4P — x, PM — y; comme . . . . .. AP = AD — PD, on a x — MD — 3, en faisant PD = 2; z est l’ordonnée OM du cercle CM, l’abscisse y étant DQ; d’où 8 = 2ry — y”. Or, MD est un arc qui, dans le cercle dont le rayon estr, à & pour sinus; Ce qu'on exprime ainsi :

MD = arc (sin — 5); donc on a æ = arc (sin — 3) — g, ou 3 = sin (x + 5); 3 = 2ry — y’.

Si lorigineesten F, FS— x, SM —y, FK —=u,ona FS = AE — AP = AE — (AD — PD) — demi-circ. FKE — arc MD + MQ — FX 4 KN, ouz—=arc (sin —=z)-E 3, 3=—=sin(x — 5), ou x — u sin w.

Les travaux de Fermat, Descartes, Roberval, Pascal, Huyghens, .... ont rendu cette courbe célèbre ; elle jouit de propriétés géométriques et mécaniques très-singulières, mais ce n’est pas ici le lieu de nous en occuper. Foy. le second volume.

Si l’on eût cherché la courbe décrite par un point du plan circulaire différent de ceux de la circonférence, on aurait eu une autre espèce de cyeloïde. On aurait aussi pu donner au cercle mobile un mouvement de translation dans l’un ou l’autre sens, outre celui dont nous venons de parler, ce qui aurait allongé ou accouret la

cycloïde. Enfin on aurait pu faire rouler la circonférence sur une autre courbe : on aurait eu ce qu’on nomme les À picycloïdes. Mais nous ne pouvons qu'indiquer ces objets.

473.0On nomme Spirale une courbe qui est coupée en une infinité de points par toute ligne passant par un point fixe ou pôle. Les spirales forment un genre de courbes dont la génération nécessite, pour ainsi dire, les coordonnées polaires. Telle est celle de Conon, qui porte le nom de Spirale d’Archimède , parce que ce célèbre géomètre en a le premier reconnu les propriétés. La droite 47 (Hg. 286) tourne autour de 4, pendant qu'un point mobile Æ glisse le long de 47. Cherchons l’équ. de la courbe 4MNC, qu'il trace, en supposant que Æ4Z est placée en 4C, quand le mobile est en À ; qu'après une révolution, lorsque 41 se retrouve en Æ4C, le mobile # est en C; qu’enfin les espaces AM = r qu'il parcourt sont proportionnels aux angles Z4C— 0 que décrit 42.

La valeur angulaire 27 devant répondre à 4C = a, on a

6) —— —<— — —; donc, 27rr = 4 T

est l’équ. cherchée. La courbe passe en 4, en C...; les révolutions successives de 47 donnent 0 — 27, — 47, —..,. ; d’où r— a, —= da,.... de sorte que, chaque fois, le rayon vecteur augmente de a. Comme, pour un nombre quelconque # de révolulions, l’équ.

aë : aô FT —= ce devient r — ak + 9”

k étant un entier quelconque, tous les rayons vecteurs s'accroissent aussi de a.

474. Soient menées les perpend. 4C, CD (fig. 287), et décrit du centre C des arcs, tels que PM, égaux en longueur à une ligne donnée CD — a; les extrémités A de ces arcs déterminent une te " Ch CM.

courbe NA, dont on trouve aisément l’équ.; car on a 38 Et or, PM = a, Ch = 1; donc r — a. L’analogie de cette équ. avec xy Em à fait donner à cette courbe le nom de Spirale hyperbolique : on voit d'ailleurs que DE, parallèle à AC, est asymptote.